「点対称な図形」とは？図形一覧と中心の点・問題の解き方を解説

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点対称な図形とは

今回は「点対称てんたいしょうな図形」について学んでいくよ。

点対称な図形とは、１８０°回転させたとき、もとの図形にピッタリ重なる図形のことだよ。

３６０°が一周だから、半分の１８０°は半周だね。

次のような図形が点対称になるよ。

この図形を点Oを中心に１８０°（半周）回転させると、もとに図形とピッタリ重なることがわかるかな？

アニメーションの途中で写真を撮ると次のようになるよ。

もとの図形（灰色）から、青→赤→・・と回転させていくと、もとの図形（灰色）と重なるよね。

教科書では、点対称な図形とは
「１つの点のまわりに１８０°回転させたとき、もとの図形とピッタリ重なる図形」と書いてあるよ。

対称の中心（中心の点）とは

「点対称な図形」の学習で登場する大事な言葉が「対称の中心（中心の点）」。
点対称な図形と「対称の中心」という言葉はセットで出てくるから必ず覚えておこう。

点対称な図形とは、１つの点のまわりに１８０°回転させたとき、もとの図形とピッタリ重なる図形だと説明したよね。
その「１つの点」を、対称の中心と呼ぶんだ。

もっとわかりやすくいってしまえば
「１８０°回転させるときの中心になる点」だとイメージすればOKだよ。

たとえば下のような点対称な図形だったら、赤い点が「対称の中心」になるよ。

点対称な図形の一覧

点対称の図形についてなんとなくわかったかな？
では、どんな図形が点対称で、どんな図形が点対称ではないかを紹介するね。

点対称な図形の例の一覧

もとの図形　　　　　→　１８０°回転

→点Oを中心に１８０°回転させても、もとの図形とピッタリ重なるよね。

点対称ではない図形

もとの図形　　　　　　　→　１８０°回転

→３つの図は、１８０°回転させると、もとの図形とピッタリ重ならないよね。だから、点対称ではないんだよ。

「点対称な図形」と「点対称ではない図形」の違いがわかったかな？
１８０°回転させたとき、もとの図形とピッタリ重なる図形が点対称だと覚えておこうね。

点対称な図形の性質

それでは、点対称な図形にはどんな性質・特徴があるのか確認していくよ。

点対称な図形とは、１８０°回転させたとき、もとの図形とピッタリ重なる図形のことだったよね。
今から、「当たり前だよ！」ってツッコミを入れたくなるようなことを紹介するね。

対応する角の大きさと対応する辺の長さ

回転させたときに、重なる角のことを「対応する角」、重なる辺のことを「対応する辺」っていうよ。

以前、線対称な図形のところでも登場したから大丈夫だよね。

下の図を見てみよう。

もとの図形　　　　　　　　　→１８０°回転させた図形

角Aと対応する（重なる）のは角Cだから、角Aと角Cの大きさは等しい
角Bと対応する（重なる）のは角Dだから、角Bと角Dの大きさは等しい
辺ADと対応する（重なる）のは辺BCだから、辺ADと辺BCの長さは等しい
AD＝BC
辺ABと対応する（重なる）のは辺CDだから、辺ABと辺CDの長さは等しい
AB＝CD

点対称な図形は、回転の中心のまわりを１８０°回転させたとき、もとの図形とピッタリ重なる図形なんだから、上のことは、当たり前のことだよね。

「対応する〇〇」って、線対称でもやったから、大丈夫だったと思うけれど、対応する辺や角は等しくなるってことがわかったかな？

点対称な図形と対称の中心の性質

点対称な図形と対称の中心の関係について考えてみよう。

次の点対称な図形で、対応する点同士を結ぶんでみたよ。そうすると２つ性質があることに気付けるかな。

点対称な図形と対称の中心の性質

対応する点同士を結んだ線が「対称の中心」を通る

「対称の中心」から対応する点までの長さが等しい
OA＝OC　　OB＝OD

他の点対称な図形でも、「点対称な図形と対称の中心の性質」を確認してみよう。

見てわかると思うけど、
対称の点同士を結んだ線（赤い線）の上に「対称の中心」があるし、
長さも等しそうだね。

点対称な図形の性質のまとめ

点対称な図形の性質についてまとめよう。

点対称な図形の性質

点対称な図形では、対応する辺の長さや角の大きさは等しくなる。
角A＝角C　　角B＝角D　　　AB＝CD　　　AD＝BC

対応する点同士を結んだ線が「対称の中心」を通る

「対称の中心」から対応する点までの長さが等しい
OA＝OC　　OB＝OD

点対称な図形の問題

点対称な図形の性質がわかったところで問題に挑戦しよう。

次の図は点対称な図形です。
角Cの大きさと辺DEの長さを求めなさい

Oを中心を１８０°回転させると次のようになるよ。

今回求めたい角Cって、角Fと重なることがわかるかな？
だから、角Cの大きさは、角Fと同じで７０°と求まるよ。

辺DEは辺ABと重なることがわかるかな？
だから、辺DEの長さは辺ABと同じで３ｃｍと求まるよ。

下の図は、対称の中心がＯの点対称な図形です。
点Gに対応する点Hを書きなさい。

なんか難しそうに感じるかもしれないけど、次の性質を知っていれば楽勝だよ。

点対称な図形と対称の中心の性質
・対応する点同士を結んだ線が「対称の中心」を通る
・「対称の中心」から対応する点までの長さが等しい

STEP1 対応する点同士を結んだ線が「対称の中心」を通る

対応する点同士を結んだ線が「対称の中心」を通るから、点Oと点Gを結んだ先に対応する点（点H）があるってことだね。

この段階で、点Hを求めることはできるよね。

STEP2 「対称の中心」から対応する点までの長さが等しい

「対称の中心」から対応する点（点Gと点H）までの長さが等しいから、点Hは次の場所にあるよね。

「点対称な図形」まとめ

点対称な図形とは、１つの点のまわりに１８０°回転させたとき、もとの図形とピッタリ重なる図形のこと
対称の中心とは、１８０°回転させるときの中心になる点のこと
点対称な図形では、対応する辺の長さや角の大きさは等しくなる
対応する点同士を結んだ線は「対称の中心」を通る
「対称の中心」から対応する点までの長さは等しい

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ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る

青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。