「点対称な図形」とは?図形一覧と中心の点・問題の解き方を解説
点対称な図形とは
今回は「点対称な図形」について学んでいくよ。
点対称な図形とは、180°回転させたとき、もとの図形にピッタリ重なる図形のことだよ。
360°が一周だから、半分の180°は半周だね。
次のような図形が点対称になるよ。

この図形を点Oを中心に180°(半周)回転させると、もとに図形とピッタリ重なることがわかるかな?

アニメーションの途中で写真を撮ると次のようになるよ。

もとの図形(灰色)から、青→赤→・・と回転させていくと、もとの図形(灰色)と重なるよね。
教科書では、点対称な図形とは
「1つの点のまわりに180°回転させたとき、もとの図形とピッタリ重なる図形」と書いてあるよ。
対称の中心(中心の点)とは
「点対称な図形」の学習で登場する大事な言葉が「対称の中心(中心の点)」。
点対称な図形と「対称の中心」という言葉はセットで出てくるから必ず覚えておこう。
点対称な図形とは、1つの点のまわりに180°回転させたとき、もとの図形とピッタリ重なる図形だと説明したよね。
その「1つの点」を、対称の中心と呼ぶんだ。
もっとわかりやすくいってしまえば
「180°回転させるときの中心になる点」だとイメージすればOKだよ。
たとえば下のような点対称な図形だったら、赤い点が「対称の中心」になるよ。

点対称な図形の一覧
点対称の図形についてなんとなくわかったかな?
では、どんな図形が点対称で、どんな図形が点対称ではないかを紹介するね。
点対称な図形の例の一覧
もとの図形 → 180°回転

→点Oを中心に180°回転させても、もとの図形とピッタリ重なるよね。
点対称ではない図形
もとの図形 → 180°回転

→3つの図は、180°回転させると、もとの図形とピッタリ重ならないよね。だから、点対称ではないんだよ。
「点対称な図形」と「点対称ではない図形」の違いがわかったかな?
180°回転させたとき、もとの図形とピッタリ重なる図形が点対称だと覚えておこうね。
点対称な図形の性質
それでは、点対称な図形にはどんな性質・特徴があるのか確認していくよ。
点対称な図形とは、180°回転させたとき、もとの図形とピッタリ重なる図形のことだったよね。
今から、「当たり前だよ!」ってツッコミを入れたくなるようなことを紹介するね。
対応する角の大きさと対応する辺の長さ
回転させたときに、重なる角のことを「対応する角」、重なる辺のことを「対応する辺」っていうよ。
以前、線対称な図形のところでも登場したから大丈夫だよね。
下の図を見てみよう。
もとの図形 →180°回転させた図形

- 角Aと対応する(重なる)のは角Cだから、角Aと角Cの大きさは等しい
- 角Bと対応する(重なる)のは角Dだから、角Bと角Dの大きさは等しい
- 辺ADと対応する(重なる)のは辺BCだから、辺ADと辺BCの長さは等しい
AD=BC - 辺ABと対応する(重なる)のは辺CDだから、辺ABと辺CDの長さは等しい
AB=CD
点対称な図形は、回転の中心のまわりを180°回転させたとき、もとの図形とピッタリ重なる図形なんだから、上のことは、当たり前のことだよね。
「対応する〇〇」って、線対称でもやったから、大丈夫だったと思うけれど、対応する辺や角は等しくなるってことがわかったかな?
点対称な図形と対称の中心の性質
点対称な図形と対称の中心の関係について考えてみよう。
次の点対称な図形で、対応する点同士を結ぶんでみたよ。そうすると2つ性質があることに気付けるかな。

点対称な図形と対称の中心の性質
- 対応する点同士を結んだ線が「対称の中心」を通る
- 「対称の中心」から対応する点までの長さが等しい
OA=OC OB=OD

他の点対称な図形でも、「点対称な図形と対称の中心の性質」を確認してみよう。

見てわかると思うけど、
対称の点同士を結んだ線(赤い線)の上に「対称の中心」があるし、
長さも等しそうだね。
点対称な図形の性質のまとめ
点対称な図形の性質についてまとめよう。
点対称な図形の性質
- 点対称な図形では、対応する辺の長さや角の大きさは等しくなる。
角A=角C 角B=角D AB=CD AD=BC

- 対応する点同士を結んだ線が「対称の中心」を通る

- 「対称の中心」から対応する点までの長さが等しい
OA=OC OB=OD
点対称な図形の問題
点対称な図形の性質がわかったところで問題に挑戦しよう。
次の図は点対称な図形です。
角Cの大きさと辺DEの長さを求めなさい

Oを中心を180°回転させると次のようになるよ。

今回求めたい角Cって、角Fと重なることがわかるかな?
だから、角Cの大きさは、角Fと同じで70°と求まるよ。
辺DEは辺ABと重なることがわかるかな?
だから、辺DEの長さは辺ABと同じで3cmと求まるよ。
下の図は、対称の中心がOの点対称な図形です。
点Gに対応する点Hを書きなさい。

なんか難しそうに感じるかもしれないけど、次の性質を知っていれば楽勝だよ。
点対称な図形と対称の中心の性質
・対応する点同士を結んだ線が「対称の中心」を通る
・「対称の中心」から対応する点までの長さが等しい
STEP1 対応する点同士を結んだ線が「対称の中心」を通る
対応する点同士を結んだ線が「対称の中心」を通るから、点Oと点Gを結んだ先に対応する点(点H)があるってことだね。

この段階で、点Hを求めることはできるよね。
STEP2 「対称の中心」から対応する点までの長さが等しい
「対称の中心」から対応する点(点Gと点H)までの長さが等しいから、点Hは次の場所にあるよね。

「点対称な図形」まとめ
- 点対称な図形とは、1つの点のまわりに180°回転させたとき、もとの図形とピッタリ重なる図形のこと
- 対称の中心とは、180°回転させるときの中心になる点のこと
- 点対称な図形では、対応する辺の長さや角の大きさは等しくなる
- 対応する点同士を結んだ線は「対称の中心」を通る
- 「対称の中心」から対応する点までの長さは等しい
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ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る
青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。2児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。

星の点対称の書き方が分かりませんでした。
巣やったらかけますか