「角錐・円錐・球」とは?(円錐の展開図つき)円柱や角柱との違い

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目次

角錐とは

角錐かくすい」っていうのは、ピラミッドを想像したらOK。ピラミッドって先がとがっているよね。先がとがっているものを「すい」っていうんだ。

小学校では、先がとがった形は学習していないよね。

角錐の「角」は、底面が「多形」であるということ。
例えば、三角形とか、四角形とか、五角形とか。

だから、角錐っていうのは、底面が多角形で先がとがった立体のことをいうよ。

底面の形によって、「○角錐」と名前が変わるよ。

  三角錐   四角錐   五角錐    

三角錐と四角錐と五角錐の画像

ちょっとおまけの話だけど、「角錐」のことを英語で「pyramid(ピラミッド)」っていうんだよ。

円錐とは

「円錐」っていうのは、次のような立体のことだよ。

円錐の画像

先がとがっていて、底面が円になっているね。

身近な例でいうと、カラーコーンなんかが円錐といえそうだね。ちょっとおまけの話だけど、「円錐」のことを英語で「cone(コーン)」っていうんだよ。

正三角柱と正三角錐のちがい

正三角柱と正三角錐のちがいについて考えよう。ちがいは「柱」か「錐」かだけだね。両方とも底面は「正三角形」なんだけど、「正三角錐」の場合は先がとがっているよ。

正三角柱    正三角錐(先がとがっている)

正三角柱と正三角錐の画像

円柱と円錐の違い

円柱と円錐のちがいについて考えよう。両方とも底面は「円」なんだけど、「円錐」の場合は先がとがっているよ。

   円柱     円錐

円柱と円錐の画像

球とは

球っていうのはボールを想像してもらったらOK。つまりどこから見ても丸く見えるものが球だよ。

球の画像

ちょっとおまけの話だけど、「球」のことを英語で「ball(ボール)」っていうんだよ。

円錐の展開図

円錐の展開図を用意したよ。
ダウンロードして、実際に作ってみよう。

円錐の展開図のイラスト

運営者情報

青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。2児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。

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  1. もっちゃん より:

    ご無沙汰してます。また教えてください。
    正四角錐の定義についてです。正四角錐に関する問題で、側面の三角形が正三角形であるものも少なくないのですが、正四角錐の定義を見てみると側面が二等辺三角形と書かれたものを見かけます。なぜ底辺が正方形で側面が二等辺三角形または正三角形からなる…….という言い方がされてないのか理由を教えてください。よろしくお願いいたします。

    • yumineko より:

      正四角錐の定義、特に側面の三角形の形についての疑問ですね。
      これは、数学における「定義」の厳密さと、一般的な「名称」の使われ方に関わる、非常に面白いところです。

      もっちゃんさんの疑問は、
      正四角錐の定義に「側面が二等辺三角形」とあるのに、問題では「側面が正三角形」のものも多いのはなぜか?
      なぜ「底辺が正方形で、側面が二等辺三角形または正三角形からなる」という言い方をしないのか?
      という点ですね。

      【正四角錐の定義と側面の三角形の形】
      まず、数学における「定義」は、できるだけシンプルかつ、それ以上の条件を必要としないように定められます。

      正四角錐の厳密な定義:
      底面: 正方形
      頂点: 底面の正方形の中心の真上にあり、底面の各頂点と結ばれた線分(側稜)の長さがすべて等しい。
      側面: 底面の各辺と頂点を結んでできる三角形。

      ここで、「側面が二等辺三角形」というのは、正四角錐の定義から自然に導かれる性質なのです。
      なぜかというと、
      底面が「正方形」なので、底面の各辺の長さはすべて等しいです。
      頂点から底面の各頂点までの「側稜」の長さは、定義からすべて等しいです。

      側面の三角形は、
      底辺:底面の正方形の一辺
      残りの2辺:側稜
      で構成されます。

      底面の正方形の一辺はすべて等しく、側稜の長さもすべて等しいので、側面の三角形は「2辺の長さが等しい」ということになります。
      なので、側面の三角形は 二等辺三角形 になるのです。

      では、なぜ「側面が正三角形」のものも多いの?と思いますよね。
      これは、「正三角形」は「二等辺三角形」の特別な場合だからです。
      二等辺三角形というのは、「少なくとも2辺の長さが等しい」三角形です。

      正三角形は、「3辺すべて長さが等しい」三角形ですね。
      ということは、正三角形は、もちろん2辺の長さが等しいので、二等辺三角形でもある のです。

      つまり、
      「側面が正三角形である正四角錐」は、「側面が二等辺三角形である正四角錐」という、より大きなグループの中に含まれる特別なケースなのです。

      「なぜ底辺が正方形で側面が二等辺三角形または正三角形からなる…という言い方をしないのか?」
      これは、数学の「定義」の考え方と関係しています。

      ➀最小限の条件で定義する
      数学の定義は、その図形が持つ「本質的な特徴」を、できるだけ少ない条件で表そうとします。
      正四角錐の場合、本質的な特徴は「底面が正方形であること」と「頂点が底面の真上にあり、各頂点からの距離が等しいこと」です。
      これらの条件から、側面の三角形が二等辺三角形であることは「導かれる性質」であり、「定義の一部」にする必要がないのです。

      ➁「二等辺三角形」という一般的な性質で十分だから
      「二等辺三角形」という性質があれば、それが「正三角形」であるかどうかは、さらに追加の条件(例えば、底角が60度である、など)で決まります。
      「正四角錐」の定義として「側面が二等辺三角形」とすることで、すべての正四角錐を漏れなく含めることができます。もし「正三角形」と限定してしまうと、側面が二等辺三角形だけれど正三角形ではない(つまり、底辺と側稜の長さが異なる)正四角錐を定義から外してしまうことになります。

      ③「または」を避ける
      数学の定義では、できるだけ「または」という言葉を使わずに、一つの明確な定義で表そうとします。
      「側面が二等辺三角形または正三角形」と定義すると、2つのケースを同時に考慮しなければならず、定義が複雑になってしまいます。
      「側面が二等辺三角形」と定義しておけば、その中には自動的に「側面が正三角形」という特別な場合も含まれるので、一つで済むのです。

      結論
      「正四角錐」の定義で「側面が二等辺三角形」となっているのは、それが正四角錐という図形から自然に導かれる、最も一般的で必要十分な性質だからです。
      そして、「側面が正三角形」であるものは、その「二等辺三角形」という性質の特別なケースとして存在します。
      「底辺が正方形で、側面が二等辺三角形または正三角形からなる」という言い方をしないのは、数学の定義が、必要最小限の条件で、かつ一般的に適用できる性質で定められているためです。

      • もっちゃん より:

        ありがとうございました。
        本文の解説を読んでいて…錐(すい)は、大工道具の穴を開ける錐(きり)と同じ字なんですね。とがった刃先からなるほどと思いました。