いろいろな方程式(小数・かっこ・分母を払う方程式)の解き方とは
中学1年生の数学で学習する「いろいろな方程式の解き方」について、
- かっこ( )をふくむ方程式の解き方、
- 小数をふくむ方程式の解き方、
- 分数をふくむ方程式の解き方
を解説。分母を払うやり方など、くわしく説明していくよ。
かっこ( )をふくむ方程式の解き方
かっこ( )をふくむ方程式は、たとえばこんなパターンの問題で出てくるよ。
2(x-5)+1=7
難しそうに感じるかもしれないけど、ポイントは落ち着いて「かっこを外す」だけだね。
上の方程式の2(x-5)に注目しよう。
分配法則を使うと
2(x-5)
=2×x+2×(-5)
=2x-10
になるよね。
じゃあ、分配法則ができたところで2(x-5)+1=7の方程式を解いていこう。
2(x-5)+1=7 ←分配法則を使って、かっこ( )を外すよ。
2x-10 +1=7 ←計算できるところは計算しよう
2x -9 =7 ←文字の項は左辺に、数字の項は右辺に移項。
2x =7+9
2x =16 ←両辺を2で割ろう。
2x ÷2 =16÷2
x =8
なんか計算が長いな~と感じるかもしれないけど、慣れたら4行くらいでできるようになると思うよ。
じゃあ、もう少し慣れるために練習問題に挑戦しよう。
かっこ( )を含む方程式の練習問題
(問)方程式4x-7(x+2)=-5を解きなさい。
4x-7(x+2)=-5 ←分配法則を使って、かっこ( )を外そう
4x-7x-14 =-5 ←計算できるところは計算しよう
-3x -14 =-5 ←数字の項は右辺に移項。
-3x =-5+14
-3x =9 ←両辺を3で割ろう
-3x ÷ 3 =9 ÷3
-x =3 ←両辺に(-1)をかけよう
-x ×(-1)=3 ×(-1)
x =-3
ちょっとワンポイント
方程式を解いていると、「-x=3」みたいな形になることがあるよ。求めたいのは「x=」だから「-(マイナス)」がじゃまだよね。
そんな時は両辺に(-1)をかけることを覚えておこう。
-x =3
-x×(-1)=3×(-1)
x =-3
となって、「x」が求まるよ。
かっこ( )をふくむ方程式の注意点
かっこ( )をふくむ方程式を解くポイントは、「かっこ( )を外すこと」なんだけど、注意しなくてはいけないことがあるよ。
それは分配法則での計算ミス。
2x-3(x-1)=4の左辺に注目してみよう。
左辺を正しく計算すると次のようになるよ。
2x-3(x-1)
=2x-3x+3
じゃあ、間違いの例を2つ紹介するね。
分配法則での計算ミスの例
- ①「-3」を「x」にかけただけになって、「-1」にかけていない。
2x-3(x-1)
=2x-3x-1 - ②「-3」と「-1」をかけるので「+(プラス)」になるのに、
-3にしてしまう。
2x-3(x-1)
=2x-3x-3
かっこ( )をふくむ方程式のミスのほとんどは、分配法則が正しくできていないところにあるんだよ。
だから、慎重にかっこ( )を外してから、方程式を解いていこうね。
小数をふくむ方程式の解き方
小数をふくむ方程式の解き方のポイントは「小数を整数にするために、両辺を10倍や100倍すること」
例えば、0.1を整数にするためには10倍したらいいよね。
同じように、0.01を整数にするためには100倍したらいいよね。
方程式も同じ考えでできるから、小数を含む方程式は簡単だよ。
(例1)0.4x+2=0.3x
0.4と0.3は小数だから、整数にするために両辺を10倍するよ。
0.4x +2 =0.3x ←すべての項を10倍しよう。
0.4x×10+2×10=0.3x×10
4x +20 =3x ←文字の項は左辺に、数字の項は右辺に移項。
4x -3x =-20
x =-20
(例2)0.25x=0.2x-0.1
0.25と0.2と0.1が小数だから、さっきの問題と同じように、整数にするために両辺にある数をかけるんだけど、この問題の場合では「いくつをかければいいのか」わかるかな?
「10をかけて10倍にする」と考えた人は要注意。
10倍しただけだと、0.25が2.5になるだけで、まだ小数のままになってしまうね。
答えは、両辺を100倍するんだ。
100倍だったら、0.25も0.2も0.1も整数になるよね。
つまり、式の中に小数点第何位まであるかを確認して、それに合わせて10倍するのか、100倍するのか、もしくは1000倍するのかを決めればいいね。
0.25x =0.2x -0.1 ←すべての項を100倍しよう。
0.25x×100 =0.2x×100-0.1×100
25x =20x -10 ←文字の項は左辺に、数字の項は右辺に移項
25x-20x = -10
5x = -10
5x÷5 = -10÷5 ←両辺を5で割ろう
x = -2
小数をふくむ方程式の注意点
小数をふくむ方程式の注意点は、「すべての項」に10や100をかけるということ。
例えば、方程式0.4x+2=0.3xについて間違いやすいことを確認してみよう。
正しく計算すると、次の通りになるよね。
0.4x +2 =0.3x
0.4x×10+2×10=0.3x×10
では、間違いの例を紹介するね。
小数をふくむ方程式の間違いの例
0.4x +2 =0.3x
0.4x×10+2 =0.3x×10
どこが間違っているかわかるなかな?
方程式では、すべての項を10倍しなくてはいけないよね。
なのに、「2」が10倍されていないままになってしまっているよね。
これはよくある間違いなんだ。
「小数を整数にすればいい」って考えていると、整数も10倍することを忘れてしまうことがあるよ。
だから、「すべての項を10倍する」と覚えておこうね。
分数をふくむ方程式の解き方
中学1年生で学習する方程式の中でもっともやっかいなのが、分数をふくむ方程式なんだ。難しいので、ていねいに説明していくね。
分数をふくむ方程式を解くときのポイントは「分母を払う」ということ。
これさえできてしまえば、あとは今までと一緒なので安心してね。
では、「分母を払う」とは一体どういうことかを見ていこう。
「分母を払う」とは
分母を払うとは「等式の両辺に同じ数をかけて分母をなくすこと」だよ。
イメージはこんな感じだよ。

では、実際にできるように練習してみよう。
分母を払う練習①
①\(\frac{1}{3}\)の分母3をなくすには何倍したらいいだろう?
「3」倍すれば、\(\frac{1}{3}\)×3=1で分母がなくなるよ。
②\(\frac{2}{5}\)の分母5をなくすには何倍したらいいだろう?
「5」倍すれば、\(\frac{2}{5}\)×5=2で分母がなくなるね。
ということは、分母の数をかけたらよいのかな?
分数がひとつだけだったら、そのイメージでよいかもしれないね。
でも、分数が2つ以上だったらどうだろう?
分母を払う練習②
①\(\frac{1}{3}\)x=\(\frac{1}{4}\)の分母「3」と「4」をなくすには何倍したらいい?
→両方の分母をなくさなくてはいけないよ。だから、「3」をかけてもだめだし、「4」をかけてもだめだよね。
答えは「12」
\(\frac{1}{3}\)x =\(\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{3}\)x×12=\(\frac{1}{4}\)×12
4x =3
になって、分母がなくなっているよね。
2つ以上の分数の場合は、分母の最小公倍数をかけたら、分母を払えるよ。
分母を払う練習③
次の方程式の分母を払うためには何倍すればよいだろう?
①\(\frac{1}{5}\)x=\(\frac{1}{2}\)
分母「5」と「2」の最小公倍数は「10」だから、10倍
②\(\frac{2}{7}\)x=\(\frac{1}{2}\)
分母「7」と「2」の最小公倍数は「14」だから、14倍
①\(\frac{1}{5}\)x=\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{3}\)
分母「5」と「2」と「3」の最小公倍数は「30」だから、30倍
では、実際に分母を払う方程式を解いていこう。
分数をふくむ方程式を解く練習
分数をふくむ方程式を解いていこう。ポイントは分母を払うことだったね。
例えば、次の問題を考えてみよう。
(問1)方程式\(\frac{5}{6}\)x-2=\(\frac{1}{3}\)xを解きなさい。
分母を払うために、分母の最小公倍数をかけよう。この方程式の場合、分母は「6」と「3」だから最小公倍数は「6」だよね。
\(\frac{5}{6}\)x -2 =\(\frac{1}{3}\)x ←分母を払うために最小公倍数「6」をかける。
\(\frac{5}{6}\)x×6-2×6=\(\frac{1}{3}\)x×6
5x -12 =2x
5x -2x =+12
3x =+12
3x÷3 =+12÷3
x =4
(問2)方程式\(\frac{1}{2}\)x=\(\frac{2}{5}\)x-1を解きましょう。
分母を払うために、分母の最小公倍数をかけよう。この方程式の場合、分母は「2」と「5」だから最小公倍数は「10」だよね。
\(\frac{1}{2}\)x =\(\frac{2}{5}\)x -1 ←分母を払うために最小公倍数「10」をかける。
\(\frac{1}{2}\)x×10=\(\frac{2}{5}\)x×10-1×10
5x =4x -10
5x -4x = -10
x = -10
分数をふくむ方程式の注意点
分数をふくむ方程式の注意点は、「すべての項に最小公倍数をかける」ということ。
小数の時とおなじだね。
例えば、方程式\(\frac{5}{6}\)x-2=\(\frac{1}{3}\)xについて間違いやすいことを確認してみよう。
正しく計算すると、次の通りになるよ。
\(\frac{5}{6}\)x -2 =\(\frac{1}{3}\)x
\(\frac{5}{6}\)x×6-2×6=\(\frac{1}{3}\)x×6
では、間違いの例を紹介するね。
分数をふくむ方程式の間違いの例
\(\frac{5}{6}\)x -2=\(\frac{1}{3}\)x
\(\frac{5}{6}\)x×6-2=\(\frac{1}{3}\)x×6
どこが間違っているかわかるかな?
方程式では、すべての項を6倍しなくてはいけないよ。なのに、「2」が6倍されていないよね。
小数と同じで、分数をふくむ方程式でもよくある間違いなんだ。分母を払えばいいって考えてやると、どうしても整数にもかけることを忘れてしまうんだ。
だから、「すべての項に最小公倍数をかける」と覚えておこうね。
まとめ
かっこ( )や小数や分数をふくむ方程式の解き方はわかったかな?
いろいろな方程式を解くためのポイントを下にまとめるよ。
いろいろな方程式を解くためのポイント
- かっこ( )をふくむ方程式はかっこ( )をはずす
※分配法則のミスに気を付けよう! - 小数をふくむ方程式は、両辺を10倍・100倍して整数にする。
※すべての項を10倍・100倍したか確認しよう! - 分数をふくむ方程式は、分母を払うために、分母の最小公倍数を両辺にかける。
※すべての項に最小公倍数をかけたか確認しよう!
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ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る
青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。2児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
