角柱と円柱・角錐と円錐の体積の求め方と公式を解説「立体の体積」

中学数学で学習する「立体の体積」について、角柱と円柱の体積の求め方と公式、角錐と円錐の体積の求め方と公式をわかりやすく説明するよ。

テスト対策に覚えるべきポイントを確認しよう！

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目次

• 角柱の体積の求め方
• 円柱の体積の求め方
• 角柱・円中の体積の公式
• 角錐の体積の求め方
• 円錐の体積の求め方
• 角錐・円錐の体積の公式

角柱の体積の求め方

角柱って、三角柱や四角柱や五角柱などをひとまとめにしたものだったよね。

角柱の体積は次の式で求められるよ。

底面積×高さ

小学校でもやったことがあると思うけど、実際に問題をやってみよう。

次の三角柱の体積を求めなさい。

STEP１　底面積を求めよう。

底面積っていうのは、底面の面積のことだったよね。上の三角柱の底面は、底辺が１cm、高さが２cmの三角形だから、底面積は

（底辺）×（高さ）÷２　　←三角形の面積を求める公式

＝１×２÷２

＝１cm²

STEP2　体積を求めよう。

底面積が１cm²とわかったから、体積は

（底面積）×（高さ）　←角柱の体積を求める公式

＝１×２

＝２cm³

と求めることができるね。

円柱の体積の求め方

円柱の体積も角柱と同じように求めることができるよ。

底面積×高さ

実際に問題を見てみよう。

次の円柱の体積を求めなさい。

STEP１　底面積を求めよう。

底面は、半径２cmの円だから、底面積は

（半径）×（半径）×（円周率）　←円の面積を求める公式

＝２×２×π

＝４π　cm²

小学校では「円周率」を3.14で計算したと思うけど、中学生では「π（パイ）」を使うよ。

STEP2　体積を求めよう。

底面積が４πcm²とわかったから、体積は

（底面積）×（高さ）　←円柱の体積を求める公式

＝４π×３

＝１２π　cm³

と求めることができるね。よく「π（パイ）」をつけ忘れることが多いから気をつけよう。

角柱・円柱の体積の公式

角柱も円柱も同じ体積の公式が使えるよ、「○○柱はこういう公式だ」と覚えてしまってもいいかもね。

底面の形によって、（底面積）の求め方が変わってくるよ。例えば次の通りだよ。

角錐の体積の求め方

角錐って、三角錐や四角錐や五角錐などをひとまとめにしたものだったよね。

角錐の体積は次の式で求められるよ。

底面積×高さ×\(\frac{１}{３}\)

なんで\(\frac{１}{３}\)倍するのかは後で説明するね。

実際に問題をやってみよう。

次の正四角錐の体積を求めなさい。

STEP１　底面積を求めよう。

底面は、１辺が４ｃｍの正方形だから、底面積は

（１辺）×（１辺）　←正方形の面積を求める公式

＝４×４

＝１６　cm²

STEP2　体積を求めよう。

底面積が１６cm²とわかったから、体積は

（底面積）×（高さ）×\(\frac{１}{３}\)　←角錐の体積を求める公式

＝１６×３×\(\frac{１}{３}\)

＝１６　cm³

と求めることができるね。

円錐の体積の求め方

円錐の体積も次のような式で求めることができるよ。

底面積×高さ×\(\frac{１}{３}\)

実際に問題をやってみよう。

次の円錐の体積を求めなさい。

STEP１　底面積を求めよう。

底面は、半径３cmの円だから、底面積は

（半径）×（半径）×（円周率）　←円の面積を求める公式

＝３×３×π

＝９π　cm²

STEP2　体積を求めよう。

底面積が９πcm²とわかったから、体積は

（底面積）×（高さ）×\(\frac{１}{３}\)

＝９π×５×\(\frac{１}{３}\)

＝１５πcm³

と求めることができるね。

角錐・円錐の体積の公式

角錐も円錐も同じ体積の公式が使えるよ、「○○錐はこういう公式だ」と覚えてしまってもいいかもね。

とにかく「○○錐」は\(\frac{１}{３}\)がポイントだよ。

錐の体積が柱の\(\frac{１}{３}\)倍になっている

○○錐の体積は○○柱の\(\frac{１}{３}\)倍になるんだよ。

錐の体積が柱の\(\frac{１}{３}\)倍になる理由

○○錐の体積は○○柱の\(\frac{１}{３}\)倍になる理由を紹介するね。ここでは、四角錐が四角柱の\(\frac{１}{３}\)倍になることを取り上げるよ。

次のような正四角錐を考えよう。

この正四角錐を６つ組み合わせると下のような１辺が４ｃｍの立方体になるよね。

この立方体の体積は

（１辺）×（１辺）×（１辺）

＝４×４×４

＝６４cm²

だね。

じゃあ、正四角錐１つ分の体積は立方体の\(\frac{１}{６}\)になるから

６４×\(\frac{１}{６}\)

＝\(\frac{３２}{３}\) cm³

と求まるね。

正四角錐の体積が\(\frac{３２}{３}\) cm³ということがわかったよ。

もし、

下の正四角錐の体積が

（底面積）×（高さ）だったとすると

＝４×４×２

＝３２cm³

になっちゃうね。ただ、実際の体積は\(\frac{３２}{３}\) cm³なので

（底面積）×（高さ）×\(\frac{１}{３}\)

になるってことだよ。

柱の体積の\(\frac{１}{３}\)が錐の体積になることがわかったかな。

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ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。