「一次方程式の利用」道のり・時間・割合などの問題の解き方を解説
中学１年生の数学で学習する「一次方程式」を使って、道のりや時間、割合についての問題を解く方法をわかりやすく解説するよ。
文章題のどこをヒントにして、文字にすればいいのか、式を作ればいいのか、ひとつひとつくわしく説明するよ。
目次
一次方程式の利用「個数の問題」
一次方程式を利用して「個数の問題」を解いてみよう。一次方程式の利用の中でも簡単な問題だと思うから、がんばろう！
問
１個２４０円のケーキ４個と１個９０円のプリンを何個か買ったところ、代金の合計が１５００円になりました。プリンを何個買ったでしょうか。
ステップ１：図でイメージする。
くまごろう感のいい人はプリン何個買ったかわかるんじゃない？
ステップ２：求めたいものを確認する。
問題をもう一度見てみよう。
問
１個２４０円のケーキ４個と１個９０円のプリンを何個か買ったところ、代金の合計が１５００円になりました。プリンを何個買ったでしょうか。
赤字のところが今回求めたいものだよね。一次方程式では、求めたいものを「ｘ」と置くので、今回は
プリンをｘ個買った
としよう。
ステップ３：表にまとめる
今回求めたいのはプリンの個数だよね。だからプリンをｘ個買ったとして、表にまとめてみたよ。（今回の問題で必要ないところは「・・・・」にしたよ）
| ケーキ | プリン | 合計 | |
| １個の値段 | ２４０ | ９０ | ・・・・ |
| 買った個数 | ４ | ｘ | ・・・・ |
| 代金 | ① | ② | １５００ |
表の①②をうめよう。
①１個２４０円のケーキ４個だから、ケーキだけで２４０×４＝９６０円だね。
②１個９０円のケーキｘ個だから、プリンだけで９０×＝９０ｘ円だね。
もう一度表を確認するとこんな感じになるよ。
| ケーキ | プリン | 合計 | |
| １個の値段 | ２４０ | ９０ | ・・・・ |
| 個数 | ４ | ｘ | ・・・・ |
| 代金 | ９６０ | ９０ｘ | １５００ |
ステップ３：方程式をたてよう。
表の一番下に注目しよう。
| ケーキ | プリン | 合計 | |
| 代金 | ９６０ | ９０ｘ | １５００ |
（ケーキの代金）＋（プリンの代金）＝１５００円になるから、
９６０ ＋９０ｘ ＝１５００
という方程式がたつよね。
ステップ４：方程式を解こう。
９６０ ＋９０ｘ ＝１５００
＋９０ｘ ＝１５００－９６０
＋９０ｘ ＝５４０
ｘ ＝６
プリンの個数をｘ個としたから、プリンを６個買ったということがわかるね。
一次方程式の利用「値段の問題」
一次方程式を利用して「値段の問題」を解いてみよう。「個数の問題」ができたら１００％、この問題もできると思うよ。
問
１個２４０円のケーキ４個とプリン６個を買ったところ、代金の合計が１５００円になりました。プリン１個の値段を求めなさい。
ステップ１：図でイメージする。
くまごろう感のいい人はプリンの値段がわかるんじゃない？
ステップ２：求めたいものを確認する。
問題をもう一度見てみよう。
問
１個２４０円のケーキ４個とプリン６個を買ったところ、代金の合計が１５００円になりました。プリン１個の値段を求めなさい。
赤字のところが今回求めたいものだよね。一次方程式では、求めたいものを「ｘ」と置くので、今回は
プリンを１個の値段をｘ円
とします。
ステップ３：表にまとめる
今回求めたいのはプリンの値段だよね。だからプリン１個ｘ円だとして、表にまとめてみたよ。（今回の問題で必要ないところは「・・・・」にしたよ）
| ケーキ | プリン | 合計 | |
| １個の値段 | ２４０ | ｘ | ・・・・ |
| 買った個数 | ４ | ６ | ・・・・ |
| 代金 | ① | ② | １５００ |
①②に入るものを考えよう。
①１個２４０円のケーキ４個だから、ケーキだけで２４０×４＝９６０円だね。
②１個ｘ円のケーキ６個だから、プリンだけで６×＝６ｘ円だね。
もう一度表を確認するとこんな感じになるよ。
| ケーキ | プリン | 合計 | |
| １個の値段 | ２４０ | ｘ | ・・・・ |
| 個数 | ４ | ６ | ・・・・ |
| 代金 | ９６０ | ６ｘ | １５００ |
ステップ４：方程式をたてよう。
表の一番下に注目しよう。
| ケーキ | プリン | 合計 | |
| 代金 | ９６０ | ６ｘ | １５００ |
（ケーキの代金）＋（プリンの代金）＝１５００円になるから、
９６０ ＋６ｘ ＝１５００
という方程式がたつよね。
ステップ５：方程式を解こう。
方程式をたてられたら、後は楽勝だね！
９６０ ＋６ｘ ＝１５００
＋６ｘ ＝１５００－９６０
＋６ｘ ＝５４０
ｘ ＝９０
プリン１個ｘ円としたから、プリン１個９０円だということがわかるね。
一次方程式の利用「道のりの問題」
一次方程式を利用して「道のりの問題」を考えてみよう。中学校の「道のりの問題」を解く前に小学校の復習をしよう。
小学校の復習
小学校で、速さ、時間、道のりを学習したよね？こんなやつ覚えなかった？
この図からわかることは、次の通りだよ。
①み（道のり）＝は（速さ）×じ（時間）
②は（速さ）＝み（道のり）÷じ（時間）
③じ（時間）＝み（道のり）÷は（速さ）←「道のりの問題」ではこの関係を使うよ！
一次方程式を利用して「道のりの問題」を解く
「道のりの問題」は次の通りだよ。
問
家から１５００ｍのところにある学校に向かいました。分速５０ｍで歩いていましたが、途中から分速１００ｍで走りました。合計で２０分で着きました。歩いた道のりは何ｍだったしょうか。
ステップ１：図でイメージする。
どういう状況かを図で確認しよう。
くまごろうのんびり歩いていて、途中で何かに気づいて猛ダッシュしたことって経験ないかな？
ステップ２：求めたいものを確認する。
問題をもう一度見てみよう。
（問）
家から１５００ｍのところにある学校に向かいました。分速５０ｍで歩いていましたが、途中から分速１００ｍで走りました。合計で２０分で着きました。歩いた道のりは何ｍだったしょうか。
赤字のところが今回求めたいものだよね。一次方程式では、求めたいものを「ｘ」と置くので、今回は
歩いた道のりをｘｍ
とします。
ステップ３：表にまとめる
速さ、時間、道のりを表にまとめよう。今回は「歩き」と「走り」と「合計の時間や距離」もあるから次のような表になるよ。（今回の問題で必要ないところは「・・・・」にしたよ）
| 歩き | 走り | 合計 | |
| 速さ（ｍ/分） | ５０ | １００ | ・・・・ |
| 時間（分） | ③ | ④ | ２０ |
| 道のり（ｍ） | ① | ② | １５００ |
①②に入るものを考えよう。
①歩いた道のりをｘｍとしたので、①には「ｘ」が入るよ。
②走った道のりを考えよう。
歩いた道のりと走った道のりを足したら１５００ｍになるということは、
（歩いた道のり）＋（走った道のり）＝１５００
ｘ ＋（走った道のり）＝１５００
だから、
（走った道のり）は１５００－ｘ（ｍ）になるよね。
今の段階で表は次のようになっているよ。残るは③と④だね。
| 歩き | 走り | 合計 | |
| 速さ（ｍ/分） | ５０ | １００ | ・・・・ |
| 時間（分） | ③ | ④ | ２０ |
| 道のり（ｍ） | ｘ | １５００－ｘ | １５００ |
③④に入るものを考えよう。
速さ、時間、道のりの関係を使おう。
時間＝道のり÷速さなので
③歩いた時間＝ｘ÷５０＝\(\frac{ｘ}{５０}\)
④走った時間＝（１５００－ｘ）÷１００＝\(\frac{１５００－ｘ}{１００}\)
表をもう一度確認しよう。
| 歩き | 走り | 合計 | |
| 速さ（ｍ/分） | ５０ | １００ | ・・・・ |
| 時間（分） | \(\frac{ｘ}{５０}\) | \(\frac{１５００－ｘ}{１００}\) | ２０ |
| 道のり（ｍ） | ｘ | １５００－ｘ | １５００ |
ステップ４：方程式をたてる
次のことはわかるかな？
方程式をたてるポイント
・（歩きの時間）＋（走りの時間）＝（全部の時間）
\(\frac{ｘ}{５０}\)＋\(\frac{１５００－ｘ}{１００}\)＝２０
という方程式がたつよ。
ステップ５：方程式を解く。
最後に分数をふくむ方程式を解いてみよう。
\(\frac{ｘ}{５０}\)＋\(\frac{１５００－ｘ}{１００}\)＝２０
分数の方程式は分母を払う必要があるんだったよね。払うために両辺に「５０」と「１００」の最小公倍数「１００」をかけよう。
\(\frac{ｘ}{５０}\)×１００＋\(\frac{１５００－ｘ}{１００}\)×１００＝２０×１００
２ｘ＋１５００－ｘ＝２０００
ｘ ＝２０００－１５００
ｘ ＝５００
解はｘ＝５００だね。歩いた道のりが「ｘ」だったから、５００ｍ歩いたということがわかるね。
一次方程式の利用「時間の問題」
一次方程式を利用して「時間の問題」を考えてみよう。
中学１年生でよく出てくる「時間の問題」は、「１人がもう１人に追いつくまでの時間を求める問題」が多いよ。
（問）
弟は家を出発して学校に向かいました。その４分後に、兄は家を出発して弟を追いかけました。弟は分速５０ｍ、兄は分速７０ｍで歩くとすると、兄は家を出発してから何分後に追いつきますか？
ステップ１：図でイメージする。
どういう状況かを図で確認しよう。
０分のとき 弟も兄も家にいるよね。
１分のとき 弟は５０ｍ進んでいるよ。
４分のとき 弟は２００ｍ進んでいるよ。兄が出発するよ。
５分のとき 弟は２５０ｍ進んでいるよ。兄は７０ｍ進んでいるよ。
くまごろう兄の方が速いので、いつか追いつくよね。この問題は何分後に追いつくかを求めたいんだったね。
たろうこの図の続きを書いていったら、何分後に追いつくかわかりそうだね。
くまごろう確かに求めることができるけど、一次方程式を利用したやり方をできるようにしよう。
ステップ２：求めたいものを確認する。
問題をもう一度見てみよう。
（問）
弟は家を出発して学校に向かいました。その４分後に、兄は家を出発して弟を追いかけました。弟は分速５０ｍ、兄は分速７０ｍで歩くとすると、兄は家を出発してから何分後に追いつきますか？
赤字のところが今回求めたいものだよね。一次方程式では、求めたいものを「ｘ」と置くので、今回は
兄は家を出発してからｘ分後に追いつく
とします。
図にすると下のようになるよ。兄が出発してから追いつくまでの時間がｘになるよ。
ステップ３：表にまとめる
速さ、時間、道のりを表にまとめよう。今回の登場人物は２人なので次のような表になるよ。また、２人の速さは始めからわかっているね。
| 弟 | 兄 | |
| 速さ（ｍ/分） | ５０ | ７０ |
| 時間（分） | ② | ① |
| 道のり（ｍ） | ③ | ④ |
①②に入るものを考えよう。
①兄が追い付くまでに歩いた時間をｘ分としたので、①には「ｘ」が入るよ。
②弟が追い付かれるまでに歩いた時間はどうなるかな？
下の図で赤矢印にかかった時間は同じだよね。
だから下のようになるよ。
弟からしてみたら、追いつかれるまでに歩いた時間は４＋ｘ（分）になるので、②には「４＋ｘ」が入る。
今の段階で表は次のようになっているよ。残るは③と④だね。
| 弟 | 兄 | |
| 速さ（ｍ/分） | ５０ | ７０ |
| 時間（分） | ４＋ｘ | ｘ |
| 道のり（ｍ） | ③ | ④ |
③④に入るものを考えよう。
③④を求めるには、速さ、時間、道のりの関係を使おう。
道のり＝速さ×時間で求まるから、次のようになるよ。
③弟の歩いた道のり＝５０×（４＋ｘ）＝５０（ｘ＋４）
④兄の歩いた道のり＝７０×ｘ＝７０ｘ
表をもう一度確認しよう。
| 弟 | 兄 | |
| 速さ（ｍ/分） | ５０ | ７０ |
| 時間（分） | ４＋ｘ | ｘ |
| 道のり（ｍ） | ５０（４＋ｘ） | ７０ｘ |
ステップ４：方程式をたてる。
追いつくってことはさ、歩いた道のりが等しくなるってことだよね。
例えば、弟が１０００ｍ歩いたのに、兄が８００ｍしか歩いていなかったら追いつくはずがないよね。
追いつくってことは２人の道のりは等しくなるので
５０（ｘ＋４）＝７０ｘ
という方程式がたてられるよ。
ステップ５：方程式を解く
最後にかっこ（ ）をふくむ方程式を解いてみよう。
５０（ｘ＋４）＝７０ｘ
５０ｘ＋２００＝７０ｘ
５０ｘ－７０ｘ＝－２００
－２０ｘ ＝－２００
ｘ ＝１０
解はｘ＝１０だね。ｘって兄が家を出発してから弟に追いつくまでの時間だったら、１０分が答えになるよ。
一次方程式の利用「割合の問題」
一次方程式を利用して「割合の問題」を考えてみよう。方程式をやる前に少し割合の復習をしよう。
割合の復習
次の問題を考えてみよう。
①１００円の３０％は何円ですか？
１００×0.3＝３０円
②ｘ円の３０％は何円ですか？
ｘ×0.3＝0.3ｘ円
３０％を0.3という小数にして計算しているけど、分数\(\frac{３}{１０}\)をかけてもいいよ。
一次方程式を利用して「割合の問題」を解こう
問
あるクラスの生徒数は３６人です。男子の４０％と女子の２５％は眼鏡をかけていて、その合計は１２人です。クラスの男子の人数は何人ですか。
ステップ１：図でイメージする。
どういう状況かを図で確認しよう。
ステップ２：求めたいものを確認する。
問題をもう一度見てみよう。
（問）
あるクラスの生徒数は３６人です。男子の４０％と女子の２５％は眼鏡をかけていて、その合計は１２人です。クラスの男子の人数は何人ですか。
赤字のところが今回求めたいものだよね。一次方程式では、求めたいものを「ｘ」と置くので、今回は
クラスの男子の人数をｘ人
とします。
ステップ３：表にまとめる
男子や女子の人数を表にまとめよう。今回は「男子」と「女子」と「合計」もあるから次のような表になるよ。（今回の問題で必要ないところは「・・・・」にしたよ）
| 男子 | 女子 | 合計 | |
| 人数（人） | ① | ② | ３６ |
| 眼鏡の人の割合（％） | ４０％ | ２５% | ・・・・ |
| 眼鏡の人の人数（人） | ③ | ④ | １２ |
①②に入るものを考えよう。
①クラスの男子の人数をｘとしたので、①には「ｘ」が入るよ。
②女子の人数を考えよう。
男子と女子の人数を合わせたら３６人になるから、
女子の人数は３６－ｘ（人）と表されるね。
今の段階で表は次のようになっているよ。残るは③と④だね。
| 男子 | 女子 | 合計 | |
| 人数（人） | ｘ | ３６－ｘ | ３６ |
| 眼鏡の人の割合（％） | ４０％ | ２５% | ・・・・ |
| 眼鏡の人の人数（人） | ③ | ④ | １２ |
③④に入るものを考えよう。
③④を求めるには、割合の考え方が必要になってくるよ。
③男子ｘ人の４０％が眼鏡をかけているので、その人数は
ｘ×0.4＝0.4ｘ人
④女子（３６－ｘ）人の２５％が眼鏡をかけているので、その人数は
（３６－ｘ）×0.25 ←分配法則を使ってかっこを外すよ。
＝３６×0.25－ｘ×0.25
＝９－0.25ｘ
表をもう一度確認してみよう。
| 男子 | 女子 | 合計 | |
| 人数（人） | ｘ | ３６－ｘ | ３６ |
| 眼鏡の人の割合（％） | ４０％ | ２５% | ・・・・ |
| 眼鏡の人の人数（人） | 0.4ｘ | ９－0.25ｘ | １２ |
ステップ４：方程式をたてる
男子で眼鏡をかけている人数と女子で眼鏡をかけている人数を足したら１２人になるということは方程式は次のようになるよ。
0.4ｘ＋９－0.25ｘ＝１２
ステップ５：方程式を解こう
小数をふくむ方程式を解いていこう。
0.4ｘ＋９－0.25ｘ＝１２
小数を分数にするために、両辺を１００倍しよう。
0.4ｘ×１００＋９×１００－0.25ｘ×１００＝１２×１００
４０ｘ＋９００－２５ｘ＝１２００
４０ｘ －２５ｘ＝１２００－９００
１５ｘ ＝３００
ｘ ＝２０
解はｘ＝２０だね。ｘって男子の人数だったら、２０人が答えになるよ。
まとめ
「一次方程式を利用した問題」はどうだったかな？
方程式をたてることが難しかったと思うよ。
方程式をたてて、答えを求めるための手順を下にまとめてみたよ。
①図でイメージする
②求めたいものを確認する
③表にまとめる
④方程式をたてる
⑤方程式を解く
運営者情報
ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る
青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
