「反比例のグラフ」の書き方をわかりやすく解説（双曲線とは）
中学１年生の数学で学習する「反比例」について、反比例の関係を表す表と、式からグラフを書く方法をわかりやすく解説しているよ。
目次
表から反比例のグラフを書いてみよう
表から反比例のグラフを書くときに一番大切なことは座標を理解できているかだから、わからなかったらグラフの座標について説明しているページにもどって復習をしよう。
比例でも座標が大事だったけど、反比例でも大事なんだよ。
次の表はｘとｙが反比例の関係であることを表しているよ。
だってｘが２倍、３倍になると、ｙは\(\frac{１}{２}\)倍、\(\frac{１}{３}\)倍になっているからね。
では、この表から反比例のグラフを書いてみよう。
表からグラフを書くときは、表を「縦のかたまり」で見ていくよ。
たとえば、「ｘが１のとき、ｙは４」になっているね。
ということは、この反比例をグラフにすると、ｘが１のとき、ｙは４の場所に点がくるということなんだ。
座標（住所）で表すと、（１,４）になるね。
こうやって、表にあるｘとｙの数字を、縦のかたまりごとに全部座標で表してみるよ。
ｘ＝１のとき、ｙ＝４
→座標で表したら（１,４）
ｘ＝２のとき、ｙ＝２
→座標で表したら（２,２）
ｘ＝３のとき、ｙ＝\(\frac{４}{３}\)
→座標で表したら（３,\(\frac{４}{３}\)）
ｘ＝４のとき、ｙ＝１
→座標で表したら（４,１）
ｘ＝－１のとき、ｙ＝－４
→座標で表したら（－１,－４）
ｘ＝－２のとき、ｙ＝－２
→座標で表したら（－２,－２）
ｘ＝－３のとき、ｙ＝－\(\frac{４}{３}\)
→座標で表したら（－３,－\(\frac{４}{３}\)）
ｘ＝－４のとき、ｙ＝－１
→座標で表したら（－４,－１）
このことからグラフは次の点を通ることがわかるね。
（１,４）（２,２）（３,\(\frac{４}{３}\)）（４,１）（－１,－４）（－２,－２）（－３,－\(\frac{４}{３}\)）（－４,－８）
これらの点をグラフ上にとってみると次のようになるよ。ちなみに（３,\(\frac{４}{３}\)）はおよその場所に点をとったよ。
点をとったら線を結べばいいんだけど、どうやって結ぶかというと、反比例のグラフは曲がった線（曲線）になるよ。だから定規を使って書くのはダメなんだ！
反比例のグラフの特徴は、２つの「曲線」になるんだ。２つの曲線は原点に対して点対称になっているね。そして比例とは違って、「原点」は通らないんだよ。
よくある間違いはこんな感じで、ｙ軸の右側の点と左側の点を結んでしまうこと。反比例のグラフはｘ軸やｙ軸をまたがないと覚えておこう。
表から反比例のグラフを書く手順
- 表を縦にみて、ｘとｙの値を読み取る。
例：ｘ＝１のときｙ＝４ - 読み取ったｘとｙの値をもとに座標に点を書きこむ。
例：（１,４）に点を書きこむ - 書きこんだ点を曲線で結ぶ。
※ｙ軸の右側の点、左側の点でそれぞれ結ぶ
反比例の表で０の下が×（ばつ）の理由
反比例のグラフがｘ軸やｙ軸をまたがないことにも関係しているんだけど、反比例の表では、ｘ＝０のときのｙの値は計算ができないから「×（ばつ）」になっているよ。
反比例ってｙ＝\(\frac{ａ}{ｘ}\)っていう形だったよね。ｘ＝０だったら、ｙ＝\(\frac{ａ}{０}\)＝ａ÷０になって計算ができないよ。だから「×」を書くんだ！
ａ÷０が計算できない理由
ａ÷０って計算できないから「×（ばつ）」を書くんだったよね。実は割り算には「０（ゼロ）」で割ってはいけないというルールがあるんだ。なんで割ってはいけないかを説明するね。
① ８÷４＝２
② ８÷８＝１
③ ８÷０＝？
この計算ってこういう見方もできるよね。
① ８っていうのは、４×２
② ８っていうのは、８×１
つまり
○÷★＝△という式があったとき、★と△をかけたら○になるってことだよね。同じように考えると③は
③ ８っていうのは、？×０
「？」がいくつか考えればいいんだけど、「？」がいくつであっても「０（ぜろ）」をかけたら０になってしまう。（８にならない）
だから、８÷０という計算はできないから、０で割っていけないんだよ。
式から反比例のグラフを書いてみよう
それでは、今度は「反比例の式」から反比例のグラフを書く方法を説明するよ。
比例みたいに比例定数に注目して、ｘが１増えたら、ｙは○○増えるみたいな必殺技はないんだ。
だから、反比例のグラフは比例とは違って地道に座標を取っていくんだよ。
実際に例題を見てみよう。
ｙ＝\(\frac{６}{ｘ}\)のグラフ
式から反比例のグラフを書くために、ｘに数字を代入していくよ。ただ、適当な数字を入れるのではなく、\(\frac{６}{ｘ}\)が整数になるようなｘを代入しよう。
●まずは正の数を考えよう。
ｘ＝１のとき ｙ＝\(\frac{６}{ｘ}\)＝\(\frac{６}{１}\)＝６
ｘ＝２のとき ｙ＝\(\frac{６}{ｘ}\)＝\(\frac{６}{２}\)＝３
ｘ＝３のとき ｙ＝\(\frac{６}{ｘ}\)＝\(\frac{６}{３}\)＝２
ｘ＝４とｘ＝５を代入してもいいけど、答えは分数になって、座標をとれないよね。
ｘ＝６のとき ｙ＝\(\frac{６}{ｘ}\)＝\(\frac{６}{６}\)＝１
ｘ＝７以上の数を代入しても\(\frac{６}{ｘ}\)は分数になっちゃうからやらないよ。
●次に負の数を考えよう。
ｘ＝－１のとき ｙ＝\(\frac{６}{ｘ}\)＝\(\frac{６}{－１}\)＝－６
ｘ＝－２のとき ｙ＝\(\frac{６}{ｘ}\)＝\(\frac{６}{－２}\)＝－３
ｘ＝－３のとき ｙ＝\(\frac{６}{ｘ}\)＝\(\frac{６}{－３}\)＝－２
ｘ＝－４とｘ＝－５を代入してもいいけど、答えは分数になって、座標をとれないよね。
ｘ＝－６のとき ｙ＝\(\frac{６}{ｘ}\)＝\(\frac{６}{－６}\)＝－１
ｘ＝－７以下の数を代入しても\(\frac{６}{ｘ}\)は分数になっちゃうからやらないよ。
この計算から、（１，６）（２，３）（３、２）（６，１）（－１，－６）（－２，－３）（－３、－２）（－６，－１）を通ることがわかるよね。
だからｙ＝\(\frac{６}{ｘ}\)のグラフは下のようになるよ。
ｙ＝－\(\frac{４}{ｘ}\)のグラフ
式から反比例のグラフを書くために、ｘに数字を代入していくよ。ただ、適当な数字を入れるのではなく、－\(\frac{４}{ｘ}\)が整数になるようなｘを代入しよう。
●まずは正の数を考えよう。
ｘ＝１のとき ｙ＝－\(\frac{４}{ｘ}\)＝－\(\frac{４}{１}\)＝－４
ｘ＝２のとき ｙ＝－\(\frac{４}{ｘ}\)＝－\(\frac{４}{２}\)＝－２
ｘ＝３を代入してもいいけど、答えは分数になって、座標をとれないよね。
ｘ＝４のとき ｙ＝－\(\frac{４}{ｘ}\)＝－\(\frac{４}{４}\)＝－１
ｘ＝５以上の数を代入しても－\(\frac{４}{ｘ}\)は分数になっちゃうからやらないよ。
●次に負の数を考えよう。
ｘ＝－１のとき ｙ＝－\(\frac{４}{ｘ}\)＝－\(\frac{４}{－１}\)＝４
ｘ＝－２のとき ｙ＝－\(\frac{４}{ｘ}\)＝－\(\frac{４}{－２}\)＝２
ｘ＝－３を代入してもいいけど、答えは分数になって、座標をとれないよね。
ｘ＝－４のとき ｙ＝－\(\frac{４}{ｘ}\)＝－\(\frac{４}{－４}\)＝１
ｘ＝－５以下の数を代入しても－\(\frac{４}{ｘ}\)は分数になっちゃうからやらないよ。
この計算から、（１，－４）（２，－２）（４、－１）（－１，４）（－２，２）（－４、１）を通ることがわかるよね。
だからｙ＝－\(\frac{４}{ｘ}\)のグラフは下のようになるよ。今までのグラフは右上と左下にできていたけど、ｙ＝－\(\frac{４}{ｘ}\)は右下と左上にあるね。
反比例のグラフでよくある間違いはこんな感じ。
左上にあるグラフがｘ軸に交わっていることがわかるかな？反比例のグラフは絶対にｘ軸やｙ軸に交わらないんだよ。
グラフの端っこまで集中してね。
ｘ軸、ｙ軸に交わらない理由
反比例のグラフがｘ軸、ｙ軸に交わらない理由だけど、ちゃんと習うのは、高校３年生の「極限」という単元になるんだ。
ただ、ここではｘ軸に交わらない理由についてざっくりと説明するね。
ｘ軸に交わるってことはｙ＝０になることだよね。ｙ＝－\(\frac{４}{ｘ}\)はｘがどんなに小さくなってもｙは０にならないよ。
代入して確かめてみよう
ｘ＝－１０００のときｙ＝－\(\frac{４}{－１０００}\)＝0.004
ｘ＝－１００００のときｙ＝－\(\frac{４}{－１００００}\)＝0.0004
ｘ＝－１０００００のときｙ＝－\(\frac{４}{－１０００００}\)＝0.00004
ｘの値がどんなに小さくなってもｙは０にならないから、反比例のグラフはｘ軸に交わらないことがわかるね。
双曲線とは
さっきまで書いていた反比例のグラフは「双曲線」と呼ばれているよ。「双」は「双子」という言葉があるように、「２つ」という意味。「曲線」は曲がった線。だから「双曲線」とは、２つの曲がった線のことだね。
反比例のグラフは必ず２つ曲線ができるんだ。
ｙ＝\(\frac{ａ}{ｘ}\)の比例定数ａによって、どこにグラフができるかが決まるよ。
反比例のグラフの特徴
反比例のグラフの特徴をまとめると次の通り。
反比例のグラフの特徴
- 双曲線（２つの曲がった線）になる。
- 原点に対して点対称。
- 原点やｘ軸やｙ軸は通らない。
- ｙ＝\(\frac{ａ}{ｘ}\)の比例定数ａによって、どこにグラフができるかが決まる。
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ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
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