一次式の加法・減法・乗法・除法の解き方を解説（項と係数とは）

中学１年の数学で学習する「一次式」について、「項」とは何か、「係数」とは何か、一次式の加法と減法のやり方と注意点、乗法・除法の解き方を実際に例題を使って解説するよ。

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目次

• 項とは
• 係数とは
• 一次式とは
• 一次式の加法と減法
• 一次式の乗法と除法
• 一次式の問題例
• 一次式のまとめ

項とは

教科書

項とは＋で結ばれた数のこと

【例１】

３＋４ｘ

この式の項は「３」と「４ｘ」だよ。

【例２】

２ｘ＋３

この式の項は「２ｘ」と「３」だよ。

【例３】

４ｘ＋１

この式の項は「４ｘ」と「１」だよ。

たしかに、教科書の説明どおり、それぞれ「＋で結ばれた数」だね。
「なんだ、項を見つけるのなんてカンタンじゃん」と思った人もいるんじゃないかな？
では、たとえば次の場合はどうだろう。

項で間違えやすい問題

次の式の項は何になるかな？

７ｘ－２ｙ

たろう

７ｘと２ｙじゃないの？

それは間違いなんだ。
だって、項は「＋で結ばれた数」のことだったよね。
この式は、「－（マイナス）」で結ばれていて、「＋（たす）」で結ばれていないから、項ではないんだ。

でも、項を探さなきゃいけないよね。
なので、この式をちょっとアレンジして、項がある状態にするよ。

項は、「＋で結ばれた」ものなんだから、この式を「－（マイナス）」ではなく「＋（プラス）」で結びなおせばいいんだよ。

次のように式をアレンジすれば、「＋で結ばれている」状態にすることができるよ。

　７ｘ　　－２ｙ

＝７ｘ＋（－２ｙ）

何が起きたかわからない！と思ったら読もう

たとえば「７－２」を考えてみよう。
答えは５だね。

７ー２って、「７」から「２を引く」とも考えられるけれど、「７」に「－２を足す」という風に考えることもできるよね。

たとえるなら、カードゲーム。プラスポイントのカードと、マイナスポイントのカードがあって、配られたカードの合計ポイントで勝負するとゲームがあるとしよう。

もしそのゲームをしていて、「プラス７」と、「プラス２」のカードがあったのに、「プラス２」のカードを相手に取られちゃったら、ポイントはどうなる？

そう、「７－２＝５ポイント」になるよね。

では、「プラス７」のカードを持っていたところに、もう一枚カードを受け取ったら「マイナス２」のカードだったらポイントはどうなる？

そう、「７－２＝５ポイント」という計算をするよね。
これって、つまりは「７＋（－２）」をしているんだよ。だって、「－２」のカードを「加えて」いるでしょ。

「プラスの数を引く（７－２）」と、「マイナスの数を足す（７＋（－２）」は答えが一緒になるね。

なので、項を作り出すために、式をアレンジすることができるんだよ。

７ｘ－２ｙ

＝７ｘ＋（－２ｙ）

という形にできたら、もう項を見つけるのはカンタンだね。
「プラスで結ばれた数」を探せばいいんだから。

項は「７ｘ」と「－２ｙ」ということがわかるね。

たろう

「－」で結ばれているときには、式をアレンジする必要があるから要注意だね。

係数とは

係数とは、文字に係っている（かけられている）数字のことだよ。
「係」という漢字は、糸で結びついている様子を表しているんだ。
「項」は、その場（式の中）に一緒にいる別々の家族だったとしたら、
「係数」は結婚して家族になっているイメージかな。

例えば、
３ｘだったら、係数は３。
－２ｙだったら、係数は－２。
という感じ。項よりもわかりやすいね。

じゃあ、少しレベルアップしてみよう。

係数で間違えやすい問題

係数で間違えやすい問題を３問紹介するね。

①ｘの係数は？

②－ｙの係数は？

③\(\frac{ｘ}{３}\)の係数は？

文字に係っている数字が係数だったよね。

①は・・・「あれ？数字なんてないよ」と思う人もいるんじゃないかな？

だけど「ｘ」は丁寧に書くと「１ｘ」のことだったね。
だから係数は「１」になるよ。

同じように②を考えてみよう。「－ｙ」を丁寧に書くと「－１ｙ」だから、係数は「－１」だね。

じゃあ、③の分数の場合はどうなるのかな？

\(\frac{ｘ}{３}\)も同じように、丁寧に書くと\(\frac{１ｘ}{３}\)だから、係数は\(\frac{１}{３}\)だよ。

項と係数を組み合わせた問題

「項と係数、両方求めてみよう」という問題を紹介するね。

【例１】ｘ－３ｙの項と係数を求めよう。

「－」で結ばれているから注意が必要だったね。

まず

ｘ－３ｙ
＝ｘ＋（－３ｙ）

という形にすると、項は「ｘ」と「－３ｙ」であることがわかるよね。

係数は、文字にかけられている数だから、

「ｘ」の係数は「１」
「－３ｙ」の係数は「－３」

だね。

一次式とは

１年生で勉強する一次式とは何だろう？
ひとことで説明すると、「文字が1つだけかけられている式」のことだよ。

一次式があるなら・・・そう、文字が２つかけられている二次式とか、文字が３つかけられている三次式もあるよ。

中学２年生で二次式、高校生で三次式を学習するよ。

教科書に書いてある「一次の項」とは何かというと、
「２ｘ」や「３ｙ」のように文字が１つだけの項のことなんだ。
「数の項」とはなにかというと、そのまま「数字だけの項」のこと。

さっきの「一次式の条件」をもう一度確認してみるよ。

①「一次の項」だけの式（例：２ｘ、３ｙ）

②「一次の項」と「数の項」の和（例：５ｘ－２、－４ｘ＋２）

①は、文字が1つだけの「一次の項」だけの式なら、文字は１つしかかけられていないからセーフだね。

②ももちろん、一次の項と、数の項だけの式なら、文字は1つしかかけられていないからセーフだね、

一次式に関する問題

次のうちで一次式はどれですか？

ア：－８ｘ
イ：ｘ^２＋１
ウ：２ａ＋８
エ：\(\frac{２}{５}\)ａ－２
オ：ｘｙ＋４　

【解答】

ア・ウ・エ

【解説】

イは「ｘ^２」という項があるので、二次式になるよ。
オも、「ｘとｙ」の２つの文字がかけられているので、二次式になるよ。
※ｘ＋ｙ＋４だったら一次式だけどね。

一次式の加法と減法

ここまでで、一次式とはどんな式かがわかったかな？
それでは、実際に一次式の加法や減法の計算をしてみよう。

まず次の問題を考えてみよう。

２ａ＋３ａ

先に答えを言ってしまうと

２ａ＋３ａ＝５ａ

たろう

なんで２ａ＋３ａ＝５ａになるの？

２ａ＋３ａ＝５ａになる理由

図形を使って①～③の順に考えてみよう。

①２ａってａ×２だよね。
たとえば、「縦がａ」で「横が２」の長方形の面積は「２ａ」ということになるよね。

②３ａってａ×３だよね。
たとえば、「縦がａ」で「横が３」の長方形の面積は「３ａ」ということになるよね。

③２ａ＋３ａは２つの長方形の面積を足したらいいよね。そうすると、下の図のように、縦ａで横が２＋３＝５の長方形になるから、面積はａ×５＝５ａだね。

２ａ＋３ａ＝５ａになることが説明できるね。

同じように計算してみよう。

【例１】３ｘ＋４ｘ＝（３＋４）ｘ＝７ｘ

【例２】７ａ＋３ａ＝（７＋３）ａ＝１０ａ

たろう

文字の前の係数を足せばいいんだね。

２ａ＋３ｂや２ａ＋３は計算できない

さっき２ａ＋３ａ＝５ａになることはわかったんだけど、次の計算はどうなるだろうか？

２ａ＋３ｂ

答えは「これ以上計算できない」だよ。

たろう

なんで計算できないの？

２ａ＋３ｂが計算できない理由

さっきは２ａと３ａで縦の長さが両方ともａの長方形だったけど、２ａ＋３ｂは縦の長さがａとｂでバラバラだから、面積を合計することできないよね。

同じ理由で２ａ＋３も計算できないよ。

一次式の加法と減法のポイント

一次式の加法と減法のポイントは次の通りだよ。これだけはしっかり頭にいれておこう。

一次式の加法と減法の計算練習

次の問題に挑戦してみよう。

（１）４ｘ＋７＋５ｘ－６

＝４ｘ＋５ｘ＋７－６
＝（４＋５）ｘ＋１
＝９ｘ＋１　　　　　　

（２）－３ａ＋１－２ａ－３

＝－３ａ－２ａ＋１－３
＝（－３－２）ａ－２
＝－５ａ－２

くまごろう

できたかな？じゃあ次は（　）がある計算に挑戦だ！

（　　）＋（　　）の場合は（　　）の中身をそのまま書くだけでいいよ。

　（３）（２ｘ＋３）＋（－２ｘ＋４）

＝２ｘ＋３－２ｘ＋４ ←「＋」を省くだけ
＝２ｘ－２ｘ＋３＋４
＝（２－２）ｘ＋７　　　　　　　　　
＝０ｘ＋７←０ｘ＝０
＝７

（　　）－（　　）の場合は「＋」に変えて考えよう。

　（４）（２ｘ＋３）－（－２ｘ＋４）

＝（２ｘ＋３）＋（＋２ｘ－４）
※「－」を「＋」に変えたら、後ろの符号が変わるよ。
＝２ｘ＋３＋２ｘ－４
＝２ｘ＋２ｘ＋３－４
＝（２＋２）ｘ－１
＝４ｘ－１　

一次式の乗法と除法

一次式の乗法と除法は簡単だよ。ポイントは「数字同士、文字同士かけたり、割ったりする」だけ。

（例１）４ａ×３＝１２ａ

（例２）８ｘ÷（－２）＝－４ｘ

（例３）４ｘ÷（－\(\frac{２}{３}\)）
　　　　＝４ｘ×（－\(\frac{３}{２}\)）
　　　　＝－６

分配法則を使った問題

一次式の乗法は簡単なんだけど、分配法則がかかわってくると難易度がアップするよ。

例えば次の問題を考えてみよう。

【例】２（ｘ＋３）

２（ｘ＋３）は、丁寧に書いたら２×（ｘ＋３）だよね。

これを図形で考えると、縦が「２」で横が「（ｘ＋３）」の長方形の面積を求めることと同じ計算になるね。

下の図を見てわかるように、面積は「２×ｘ」＋「２×３」になるよ。
さっきの分配法則の式と比べてみると、同じだということがわかるね。

　２（ｘ＋３）
＝２×ｘ＋２×３
＝２ｘ＋６

一次式の問題例

一次式の問題に挑戦してみよう。

一次式の基本問題

（１）２ｘ＋３－５ｘ＋２

＝２ｘ－５ｘ＋３＋２
＝（２－５）ｘ＋３＋２
＝－３ｘ＋５

（２）（－２ｘ＋１）＋（ｘ＋１）
＝－２ｘ＋１＋ｘ＋１
＝－２ｘ＋ｘ＋１＋１
＝（－２＋１）ｘ＋１＋１
＝－ｘ＋２

（３）（－２ｘ＋１）－（ｘ＋１）

＝（－２ｘ＋１）＋（－ｘ－１）←「－」を「＋」にすると符号が変わる
＝－２ｘ＋１－ｘ－１
＝－２ｘ－ｘ＋１－１
＝（－２－１）ｘ＋１－１
＝－３ｘ　

（４）３ｘ×（－４）

＝－１２ｘ

（５）－３ｘ×（－２）

＝６ｘ

（６）３（ｘ－４）

＝３×ｘ＋３×（－４）
＝３ｘ－１２←文字と数字の足し算・引き算はできない

一次式の応用問題

２（ｘ＋１）－３（ｘ－２）

この問題を解くときは、前半と後半に分けよう。

①まず前半は２（ｘ＋１）。

分配法則で（　　）を外すと

２（ｘ＋１）
＝２ｘ＋２になるね。

②後半は－３（ｘ－２）。

分配法則で（　　）を外すと

－３（ｘ－２）
＝－３ｘ＋６になるね。←－３×（－２）だから「＋６」になるよ。

準備が完了したので計算してみよう。

２（ｘ＋１）－３（ｘ－２）

＝２ｘ＋２－３ｘ＋６
＝２ｘ－３ｘ＋２＋６
＝－ｘ＋８

まとめ

「項」や「係数」とは何かわかったかな。

一次式の計算のやり方は中学２年生と３年生はもちろん、高校でも使う知識だよ。
だから、今のうちに完璧にしておこうね。

一次式の計算で気を付けるポイントを下にまとめたよ。

運営者情報

ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。