「おうぎ形の弧の長さと面積（平面図形）」をわかりやすく解説

中学数学「おうぎ形の孤の長さと面積」がどうしても理解できないという子にも分かるように、ひとつひとつのつまずきポイントを丁寧に解説していくよ！

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おうぎ形の弧の長さと面積
つまずきポイント

つまずきポイント

公式が複雑で、見ただけで挫折してしまう
公式が「どうしてそうなるのか」分からない
「おうぎ形」というだけで苦手意識がある

どんなに説明を受けても、とにかくピンとこないんだよ・・
どうせ難しそうと思って諦めちゃうんだ。

おうぎ形の弧の長さと面積を
身近な話に変えてみよう！

じゃあ、「おうぎ形」とか「弧」とかは一旦いったん忘れて、
身近な話で考えてみよう。

考えてみよう

太郎くんのクラスは、全部で40人の生徒がいるよ。

でも、インフルエンザでみんなお休みになって、２分の1の生徒だけが残ったんだ。

さて、何人の生徒が残っている？

そんなのカンタンだよ。
40人の半分の、20人でしょ。

計算で表すと、

40×\(\frac{1}{2}\)＝20

ということだね。

もちろん、これが2分の1でなくて、4分の1でも同じ考え方でいいよね。

これって、「円」と「おうぎ形」でも同じことなんだよ。

「全部で」というのが「円」のこと。
「残った生徒」が「おうぎ形」のことで考えてみて。

「円」＝「全部」

円というのは、「パーフェクトな状態」のことだよね。

ホールケーキとかピザで例えるなら、「食べる前」の状態。
つまり、全部揃った状態。満タン状態。

さっきのクラスの例えで言うと、「クラス全員の人数」。

「おうぎ形」＝「残ったもの」

おうぎ形というのは、パーフェクトだった円が欠けた状態。

※イメージしやすいように、このページでは　おうぎ形のことを「残った部分」という表現をするよ。

ケーキやピザでいうなら、何切れか食べられてしまった状態。
さっきの例えなら、「インフルエンザで何人かがお休みして、残った生徒」のことだね。

この、
「残ったもの」が実際どのくらいの量とか数があるのかは、「もとのパーフェクトな状態とくらべてどのくらいの割合残っているのか」でもとめられるよね。

クラスで考えた時のように、「もとの生徒の数」とくらべて「半分」残ったから、「残った生徒の数」は

40（全部）×　\(\frac{1}{2}\)（どのくらい残ったか）＝20（残った生徒の数）

になるんだよね。

おうぎ形も、

「円（全部）の時の円周」× 「残った割合」　＝　「おうぎ形（残った部分）」の円周」

というように求めることができるんだ。

説明だけだとピンとこないので、例題を解きながら説明していくよ。

おうぎ形の弧の長さと面積を
例題で考えてみよう

例題

次のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

まずはもとの円（全部）の弧の長さと面積を求める。

クラスの生徒の例えだと、
「クラスの生徒は全部で40人」とあらかじめ分かっていたよね。

でも、このおうぎ形の「もともとの円の円周や面積はいくつなのか？」は
あらかじめ分かっていないね。

だから、まずは「もともとの円の弧の長さや面積はいくつなのか？」を求める必要があるんだ。

もともとの円が描いていないから、そんなの分からないよ。

くまごろう

ここで手がかりになるのが、おうぎ形にある「3㎝」という数字。
これって、実はもとの円の半径の部分なんだよね。

ということは、この半径を使えばもとの円の円周も面積も求めることができるね。

円周の求め方は　「直径（半径×2）×π」なので、

　3×2×π＝6πcm

つまり、もとの円だった時の円周は6πだね。

円の面積の求め方は　「半径×半径×π」なので、

　3×3×π＝9π㎠

ということになるね。

じゃあ、おうぎ形が、この円の半分だったとしたら？

円周も、面積も、もちろん半分になるよね。

だから円周なら6π㎝の半分の「3π㎝」になるし、
面積は「9π㎠の半分の「\(\frac{9}{2}\)π㎠」になるね。

4分の１だったら？
3分の2だったら？

とにかく、
もとの円の円周や面積を求めれば、
もとの円と比べておうぎ形がどのくらい残っているかによって、
おうぎ形の面積や円周も求めることができるんだね。

でも、おうぎ形が「もとの円」のどのくらい残っているのかは、どうやって分かるの？

それが分かるのがおうぎ形の「中心角」なんだ。

中心角を見れば
「おうぎ形がもとの円に対してどのくらい残っているか」が分かる！

おうぎ形が、もとの円にたいしてどのくらい残っているかの割合を求めるには、
円の中心核360度に対して、おうぎ形の中心角がどのくらいあるのかで求められるんだ。

例えば、ちょうど半分のおうぎ形の中心角は180度。

180度は、360度に対してどのくらいあるかの割合を求めると、

180÷360
＝\(\frac{180}{360}\)
＝\(\frac{1}{2}\)

90度の場合なら、
90÷360
＝\(\frac{90}{360}\)
＝\(\frac{1}{4}\)

こうやって、「おうぎ形の中心角」÷360をすれば、おうぎ形がどのくらい残っているのかの割合が求められるんだよ。

例題のおうぎ形の中心角は、120度だね。

そうすると、
120÷360
＝\(\frac{120}{360}\)
＝\(\frac{1}{3}\)

このおうぎ形は、もとの円に対して\(\frac{1}{3}\)残っているということだね。

求めた割合を、円周や面積にかける

そうしたら、あとは「もとの円だったときの円周や面積」に、求めた割合をかけてあげれば、おうぎ形の弧の長さや面積が求められるということだね。

もう一度、ひとつひとつ手順を表すと

①もとの円の円周や面積をもとめる

②おうぎ形が、もとの円に対して「どのくらい残っているか」をもとめる

③ ①に②をかける

例題で考えると、

①もとの円の円周は6π

②おうぎ形は、もとの円に対して\(\frac{1}{3}\)残っている。

③ ①に②をかけると、\(6π×\frac{1}{3}＝2π\)

というわけで、弧の長さは2π㎝だね。

くまごろう

同じように、おうぎ形の面積を求めると、3π㎠になるよ。

この作業をいっぺんに表したのが教科書の公式なんだよ。

弧の長さの公式：\(l＝2πr×\frac{a}{360}\)

弧の長さの公式の意味のイラスト

おうぎ形の面積の公式：\(s＝πr^2×\frac{a}{360}\)

おうぎ形の面積の公式の意味のイラスト

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ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。