一次方程式とは？「解」と「等式の性質」をわかりやすく解説

中学１年生の数学で学習する「方程式」について、方程式とはなにか、一次方程式とはどういうことか、「解」とはなにか、等式の性質とはどういうもので、どのように使うのか？をわかりやすく解説するよ。

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目次

• 方程式とは
• 等式の性質とは
• まとめ

方程式とは

教科書

ｘの値によって、成り立ったり、成り立たなかったりする式のことをｘについての方程式という

方程式をひとことで言うと、「正体不明の文字が入っている等式」。

「等式」とは何かは、「文字式の利用」について解説しているページでも説明したね。そう、「＝（イコール）」で結ばれた式のことだったね。
つまり、○○＝✖✖という形の式のこと。

この等式に、文字が入ったものを、まず「方程式」と呼ぶんだ。

教科書が言っている「ｘの値によって、成り立ったり、成り立たなかったり」という部分は、つまりは「ｘという文字が使われているよ」というイメージで考えてOK。

そうすると「ｘという文字が使われている方程式を、ｘについての方程式という」というごく当たり前のことを言っているだけだね。

「一次方程式」とは？

方程式がなにかは分かったけれど、では「一次方程式」ってなんだろう？

数学では、式の中で、掛け合わされている文字の個数のことを「次数」と呼ぶんだ。つまり、式の中に、文字が何個「かけられているか」の数。

たとえば、「ｘ＝４」という式だったら、「ｘ」は１つだけだよね。
これをちょっとややこしいけれど、「１つだけ”かけられている”」と考えてあげてね。

そうすると、この式は「一次」の式になるんだ。

では、「ｘｙ＝８」という式はどうだろう。
「ｘ」と「ｙ」の２つの文字がかけられているね。
だから、これは「２次」の式だよ。

「ｘ^２＝１６」はどうかな？
「ｘ^２」は、「ｘ」に「ｘ」をかけたものだよね。
だから、２つのｘ（２つの文字）がかけられているから、これも「２次」の式だよ。

ここで注意したいのが、「ｘ＋ｙ＝８」というような式。

これも、２つの文字が登場しているから、「２次なのかな？」と思ってしまうよね。

でも、これは「ｘ」と「ｙ」は「かけられてはいない」よね。足されているだけ。

だから、これは「ｘ」も「ｙ」も、それぞれ「１つの文字がかけられている」と考えるから、「１次」の式なんだ。

そして、式の「次数」は、その式の中にある一番多い次数で呼ぶんだ。

たとえば、「ｘ＋ｘｙ＝１２」なんて式があったとするよ。
「ｘ」は１次だね。「ｘｙ」は２次だよね。

そうすると、一番多い次数は「２次」だよね。

そのとき、この式は「２次の式」と呼ぶんだ。

たとえば「次数」のことは「レベル」だとイメージしてみて。
辛さレベルが「１～３」まであるカレー屋さんのメニューがあったとして、
「辛さレベル１のチキンカレーと辛さレベル３のエビカレー」のセットは、きみだったらどの辛さレベルのページに載せる？

辛さレベル「１」のページに載せるわけにはいかないよね。
より辛いほうの「レベル３」のページに載せるんじゃないかな？

数学でも、次数が多くなるほど複雑な式になるんだから、その式の中の一番多い次数で呼んでおこうね、ということなのかもしれないね。

１年生では、ｘ^２とかがでてこない、最高次数が「１」の一次の方程式を学習するんだ。それが「一次方程式」だよ。

方程式の例題

さて、方程式のことは分かったけれど、じゃあ、結局「方程式で何するの？」ってなるよね。

これからの学習では、「方程式を解く」ということをするんだ。

方程式は、文字が使われている等式だよね。
文字って、いくつの数字なのか、正体が不明だよね。
その文字の正体を見つけちゃおう！！ということ。

例えば、次の問題を考えてみよう。

ぱっとわかる人はいいんだけど、わからない人はｘに順番に数字を入れてみよう。ｘに０～４まで入れてみたよ。左辺と右辺の値が同じになる（これを「方程式が成り立つ」というよ)のは、ｘがいくつのときかな？

上の表から、ｘが１のとき、左辺と右辺が同じになって、方程式が成り立つね。

方程式の解とは

方程式を成り立たせることができる、ｘの正体「１」を見つけることができたね。

くまごろう

この、方程式を成り立たせるｘの値を方程式の解かいというよ。

「解」は、「問題の答え」という意味があるよ。
つまり、方程式の「答え（文字の正体）」ということだね。

方程式ｘ＋４＝５の解はｘ＝５になるよ。

ぱっとわかる人はいいんだけど、わからない人はｘに順番に数字を代入してみよう。ｘに０～４まで代入してみたよ。左辺と右辺の値が同じになるのは、ｘがいくつのときかな？

上の表からｘ＝２のときに、左辺と右辺が等しくなるから、ｘ＝２が解になることがわかるね。

くまごろう

こんな感じで方程式の解を求めることを、方程式を解とくっていうよ。

この問題は、さすがにぱっとわかる人は少ないんじゃない？今までの２問と何が違うかっていうと、右辺にも「ｘ」があるってことだね。

だから下の表で考えてみよう。

上の表からｘ＝４のときに、左辺と右辺が等しくなるから、ｘ＝４が解になることがわかるね。

方程式で出てくる用語

方程式では次の言葉が出てきたよ。もう一度しっかり確認して覚えよう。

方程式の練習問題

方程式の基本がわかったところで練習問題を２問やってみよう。

たろう

２ｘ＋５＝１１に、ｘ＝１、２、３を順番に代入してみればいいよね。

ｘ＝１のときを考えよう。

（左辺）＝２×１＋５＝７　　（右辺）＝１１　　→　７と１１だから違うな。

ｘ＝２のときを考えよう。

（左辺）＝２×２＋５＝９　　（右辺）＝１１　　→　９と１１だから違うな。

ｘ＝３のときを考えよう。

（左辺）＝２×３＋５＝１１　（右辺）＝１１　　→　両方１１だ！ということはｘ＝３が解だね。

たろう

ア～エの方程式にｘ＝－２を代入していけばいいよね。

答えを先にいうと・・・ウが正解だよ。他のやつはｘ＝－２では等式が成り立たないよ。実際に代入して確かめてみよう。

ア：３ｘ＋２＝８にｘ＝－２を代入しよう。

（左辺）＝３ｘ＋２

　　　　＝３×ｘ＋２

　　　　＝３×（－２）＋２　　←マイナスを代入するときは（　）をつけよう

　　　　＝－６　　　　＋２

　　　　＝－４

（右辺）＝８

→－４と８だから違うな。

イ：ｘ－５＝３にｘ＝－２を代入しよう。

（左辺）＝ｘ－５

　　　　＝（－２）－５

　　　　＝－７

’（右辺）＝３

→－７と３だから違うな。

ウ：－２ｘ＝４にｘ＝－２を代入しよう。

（左辺）＝－２ｘ

　　　　＝－２×ｘ

　　　　＝－２×（－２）

　　　　＝４

（右辺）＝４

→両辺が４になったから、この問題は解が－２になる。

エ：２ｘ－３＝ｘ－１にｘ＝－２を代入しよう。

（左辺）＝２ｘ－３

　　　　＝２×ｘ－３

　　　　＝２×（－２）－３

　　　　＝－４－３

　　　　＝－７

（右辺）＝ｘ－１

　　　　＝（－２）－１

　　　　＝－３

→－７と－３で違うな。

たろう

なんか方程式っていちいち代入するから面倒だなあ。

実はもっと簡単に解を求める方法があるんだ。

その方法は次の「方程式の解き方」を解説するページで説明するんだけれど、その学習をする前に、「等式の性質」のことを知っておく必要があるんだ。

等式の性質とは

方程式を簡単に解くために、必要な知識が「等式の性質」。
等式の性質は次の通りだよ。

等式の性質が成り立つ理由

くまごろう

等式の性質はそのまま覚えてしまえばいいのだけれど、なんでそうなるのか理由も考えてみよう。

１円玉とクリップの重さをてんびんで考えてみよう。下のようになっていたら、「クリップ４個」＝「１円玉２枚とクリップ２個」の重さは等しいってことだよね。

式にしたら、「４クリップ＝１円２枚＋２クリップ」みたいな感じ。

てんびんの両方にクリップ１枚を置くよ。左右の重さが変わらないことがわかる？当たり前だよね。両方に同じものを乗っけているんだから。

じゃあ、両方からクリップ１枚を減らすよ。左右の重さが変わらないことがわかる？同じ重さのものを左右から取っているから、重さは変わらないようね。

じゃあ、両方を２倍してみると、

左はクリップ４個だから８個になるよ。

右はクリップ２個と１円２枚だから、クリップ４個と１円４枚になるよ。

左の図で○と□が等しいから、右の図で○○と□□は等しくなることがわかるかな？

両方を２で割ってみるよ。

左はクリップ４個だから２個になるね。

右はクリップ２個と１円２枚だから、クリップ１個と１円１枚になるね。

等式の性質のまとめ

きちんとした教科書通りの表現で書くなら次の通りになるよ。

まとめ

「方程式とは何か」

「等式の性質」についてわかったかな？

方程式を簡単に解くためには等式の性質が必要になるから、しっかり覚えよう。

今回学習したことを下にまとめるね。

運営者情報

ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る

青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。