「多面体・正多面体」とは？種類と特徴一覧表（展開図つき）まとめ
「多面体・正多面体」とは？ 種類と特徴一覧表（展開図つき）まとめのPDF （20枚） がダウンロードできます。
PDFを印刷して手書きで勉強したい方は以下のボタンからお進み下さい。
中学１年生の数学で学習する「多面体・正多面体」について、どんな種類があるのかの一覧表、正多面体の定義と性質とは？正多面体の覚え方と、なぜ正多面体は５種類なのかなど、わかりやすく紹介しています。
正多面体の展開図をダウンロードすることもできます。
目次
多面体とは
多面体とは、「平面だけで囲まれた立体」のことだよ。
例えば、サイコロなんかを想像したらわかりやすいと思うよ。
サイコロって６つの面が平らな面（平面）でできているよね。
逆に平面じゃないのは、缶ジュースやペットボトルなんかだね。
どちらとも周りは「曲がった面（曲面）」でできているよね。
多面体とは
平面で囲まれた立体のこと（例：サイコロ）
その多面体を作っている「面の数」によって名前が変わるよ。
四面体 五面体 六面体
多面体ではないものの例は下図のようなものだよ。
両方とも曲がった面（曲面）で囲まれているよね。
正多面体の種類
多面体とはどういうものかわかったかな？
多面体には、実はさらに「正多面体」というものがあるんだ。
小学校でも「正三角形」「正方形」「正五角形」「正○○○」なんかを学習したよね。
「三角形」の仲間の中に、さらに「正三角形」があったり、「四角形」の仲間の中に、さらに「正方形」があったりしたのと同じ。
「正三角形」「正方形」「正五角形」「正○○○」というのは、すべての辺が同じ長さだとそう呼ばれるんだったよね。
中１で学習する「正多面体」は、「すべての面が同じになる立体」のことなんだ。
それでは実際に正多面体の図を見てみよう。
正多面体の図
正多面体を紹介するね。すべての面が同じになっていることがわかるかな？
正四面体
正四面体は、「同じ形の正三角形」の、「四つの面」でできている立体だよ。
正六面体
正六面体は、「同じ形の正方形」の、「六つの面」でできている立体だよ。
正八面体
正八面体は、「同じ形の正三角形」の、「八つの面」でできている立体だよ。
正十二面体
正十二面体は、「同じ形の正五角形」の、「十二の面」でできている立体だよ。
正二十面体
正二十面体は、「同じ形の三角形」の、「二十の面」でできている立体だよ。
正多面体の一覧表
正多面体は５種類しか存在しないんだ。
正多面体の面の形や面の数などを下の表にまとめたよ。
なぜ「５種類しか存在しないのか」は、あとで詳しく説明するので安心してね。
| 正多面体の名 | 面の形 | 頂点の数 | 辺の数 | 面の数 |
|---|---|---|---|---|
| 正四面体 （せいしめんたい） | 正三角形 | ４ | ６ | ４ |
| 正六面体 （せいろくめんたい） | 正方形 | ８ | １２ | ６ |
| 正八面体 （せいはちめんたい） | 正三角形 | ６ | １２ | ８ |
| 正十二面体 （せいじゅうにめんたい） | 正五角形 | ２０ | ３０ | １２ |
| 正二十面体 （せいにじゅうめんたい） | 正三角形 | １２ | ３０ | ２０ |
５種類とも、面の形が「正○○形」になっているね。
正多面体の定義（特徴）
正多面体とは、「すべての面が同じ」と説明したけれど、実はこの表現では少し”あいまい”なんだ。
正多面体にはきちんとした定義と呼ばれる特徴が２つあるんだよ。
この２つの特徴を満たしてこそ正多面体ということになるんだ。
正多面体の定義
- ①どの面もすべて合同な正多角形である。
- ②どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている。
正直、これを聞いただけではピンとこないよね。
だけれど、①はなんとなく理解できるんじゃないかな？
「①どの面もすべて合同な正多角形である」
というのは、すべての面が合同な正多角形ということだよね。
一覧表にもあったけれど、すべての正多面体は「正三角形」・「正方形」・「正五角形」のどれかで囲まれていたよね。
「②どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている」については立方体を例に考えてみよう。
立方体は正多面体なのか？
実際に立方体が正多面体かどうかを調べてみよう。
正多面体の定義に合っているかチェック！
☑どの面もすべて合同な正多角形である。
→すべての面が「正方形」になっている。（OK！）
☑どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている。
→どの頂点にも３つの面が集まっている。（OK！）
２つの条件をクリアしているから、立方体は「正多面体」だよ。
たろうたとえば、下の赤い点に注目してみよう。
ここが「頂点」だよ。（頂点はたくさんあるんだけれど、例として一つだけを赤い点にしているよ）
この頂点を含んでいる平面は色の付けたところ３つになるよね。
「頂点を含んでいる面」や「頂点に接している面」を「頂点に面が集まっている」と表現しているんだね。
図で確認するとわかりやすいね。
この「頂点に３つの面が集まっている」かどうかは、他の頂点で試してもやっぱり同じ状態になっているよ。
だから、「どの頂点にも３つの面が集まっている」と言えるんだね。
このように、正多面体の２つの条件を満たしているから、立方体は正多面体といえるんだね。
正多面体のように見えるけれど、正多面体ではない「六面体」
下図のような「六面体」という立体は、すべて合同な正三角形で囲われているよ。
そうすると、ぱっと見た感じでは「正多面体なのかな」と思ってしまうね。
でも、１つの頂点に集まっている面の数を確認してみよう。
頂点によって、集まっている面の数は「３つ」とか「４つ」になってしまって、バラバラなんだ。
だから、正多面体の定義の①はクリアしているんだけれど、②がクリアできていないから、「六面体」は正多面体ではないんだよ。
正多面体かどうかを判断する時は、正多面体の定義２つともをクリアしているかをちゃんと確認しよう。
正多面体の定義（おさらい）
- ①どの面もすべて合同な正多角形である。
- ②どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている。
オイラーの多面体定理とは
多面体には実はすごい性質があるんだ。
１８世紀の数学者オイラーが発見した性質で、それを「オイラーの多面体定理」というよ。
さっきの表を見てみよう。
| 正多面体の名 | 面の形 | 頂点の数 | 辺の数 | 面の数 |
|---|---|---|---|---|
| 正四面体 （せいしめんたい） | 正三角形 | ４ | ６ | ４ |
| 正六面体 （せいろくめんたい） | 正方形 | ８ | １２ | ６ |
| 正八面体 （せいはちめんたい） | 正三角形 | ６ | １２ | ８ |
| 正十二面体 （せいじゅうにめんたい） | 正五角形 | ２０ | ３０ | １２ |
| 正二十面体 （せいにじゅうめんたい） | 正三角形 | １２ | ３０ | ２０ |
オイラーが発見したのは、多面体において、以下の計算式が成り立つということ。
オイラーの多面体定理
（頂点の数）−（辺の数）＋（面の数）＝２
本当にこんな計算式が成り立っているのかな？
例えば、正四面体で計算して確かめてみよう。
（頂点の数）−（辺の数）＋（面の数）
＝４−６＋４
＝２
確かに「２」になっているね。
正六面体でも計算してみよう。
（頂点の数）−（辺の数）＋（面の数）
＝８−１２＋６
＝２
これも「２」になっているね。
多面体ってふしぎな性質を持っているんだね。
この「オイラーの多面体定理」を覚えておくと、「頂点の数」「辺の数」「面の数」のどれか２つが分かれば、残りの1つも計算すれば分かるということだね。
これを知らないと、問題に出てきたときに、実際に頭の中か紙にその多面体の立体図を描かないとわからない、なんてことになってしまうね。
四面体くらいだったらなんとかなるかもしれないけれど、二十面体なんて言われてしまったら、大変だよね。
ぜひ覚えておこうね。
正多面体の覚え方（語呂合わせ）
多面体はいっぱい種類があるけれど、「正」多面体となると５種類しか存在しないんだよ。
テストで「正多面体５種類答えなさい」という問題が出たときに、ぱっと答えられるように、語呂合わせを紹介するね。
正多面体の覚え方①
「よーろっぱじゅうに２０ある」
正四面体（よー）
正六面体（ろっ）
正八面体（ぱ）
正十二面体（じゅうに）
正二十面体（２０）
※最近だと、「２０」のところをアイドルグループの「NiziU」で覚えても面白いね。
正多面体の覚え方②
「二十歳になったらじゆう（じゅうに）にしろや」
正二十面体（二十）
正十二面体（じゅうに）
正四面体（し）
正六面体（ろ）
正八面体（や）
正多面体はなぜ５種類なのか？
今まで多面体や正多面体を学習してきて、こんな疑問をもった人はいないかな？
「正多面体はなぜ５種類しかないのか？」
すごくいい疑問だと思うから説明していくね。
STEP1 正多面体とは何か
正多面体の定義は次の通りだったよね。
正多面体とは
①どの面もすべて合同な正多角形である。
②どの頂点にも面が同じ数だけ集まっている。
STEP2 正多面体の定義に１言追加
追加したいのは、
②どの頂点にも面が３つ以上の同じ数だけ集まっている。
ということ。
難しいことを言っているかもしれないけれど、当たり前のことなんだよ。
なぜなら、どんな立体でも１つの頂点に面が３つ以上でないと立体の角を作ることはできないよね。
自分で立体を描いてみたらわかると思うよ。
１つの頂点に面が２枚の立体なんて描けない思うよ。
だから正多面体の定義は次のようになるよ。
正多面体とは
①どの面もすべて合同な正多角形である。
②どの頂点にも面が３つ以上の同じ数だけ集まっている。
ここまでは大丈夫かな？
それでは、この正多面体の定義を使って、なぜ５種類しかないかを説明するね。
STEP３ 正四面体・正八面体・正二十面体の展開図を考えよう
まず正四面体で考えよう。
上の頂点の周りの展開図は次の通りになるよね。
１つの頂点の周りに正三角形の面が３枚接していることがわかるね。
次に正八面体で考えよう。
１つの頂点の周りの展開図は次のようになるね。
１つの頂点の周りに正三角形が４枚あることがわかるね。
次に正二十面体を考えよう。
１つの頂点の周りの展開図は次のようになるね。
１つの頂点の周りに正三角形が５枚あることがわかるね。
正四面体・正八面体・正二十面体の展開図
１つの頂点の周りに３～５枚の正三角形があることがわかるね。
１つの頂点の周りに集まる正三角形の数が「３」枚、「４」枚、「５」枚とくれば、こんなふうに予想する人もいるんじゃないかな？
予想
次は１つの頂点の周りに６枚の正三角形ができる正多面体になるのかな？
回答
１つの頂点の周りに６枚の正三角形ができる立体は作れないよ。
実際に１つの頂点の周りに６枚の正三角形があったとすると、次のようになるよ。
正三角形の１つの角度が６０°だから６枚あると、６０×６＝３６０°でぴったり１周分になるね。
ただ、これでは「立体は作れない」よ。
だって「すき間」がないと折れないから立体はできないんだ。
試しに、一枚の紙を折って、その部分を頂点にして立体を作ろうとしてみて。
一部を重ねたり、切り取ったりして「すき間」を作らないと立体にはならないはずだよ。
だから、１つの頂点の周りに６枚の正三角形がある立体は作ることができないんだ。
ほかには、「３枚」「４枚」「５枚」があるなら、「２枚」もあるのでは？という疑問も出てくるかもしれないね。
疑問
１つの頂点の周りに２枚の正三角形ができる正多面体はないの？
回答
これはさっきも説明したね。２枚の面だけでは、そもそも「立体」はできないよね。
これらのことから、１つの頂点の周りに正三角形ができる正多面体は、１つの頂点に３つの正三角形が集まる「正四面体」・１つの頂点に４つの正三角形が集まる「正八面体」・１つの頂点に５つの正三角形が集まる「正二十面体」しか存在しないんだよ。
同じように他の正多面体も考えていくよ。
STEP４ 正六面体の展開図を考えよう
１つの頂点の周りの展開図は次のようになるね。
１つの頂点の周りに正方形が３枚あることがわかるね。正方形って１つの角度が９０°だから、３枚だったら９０×３＝２７０°になるね。
ただ、４枚になると９０×４＝３６０°で、ぴったり１周分になってしまうね。
これでは、さっき説明したとおり立体は作れないよ。
だってすき間がないと折れないから立体はできないからね。
つまり、１つの頂点の周りに４枚の正方形ができるなんてことはありえない。
もちろん、２枚の正方形でも立体にはならない。
つまり、「３枚の正方形が集まった」立体しか存在しないんだ。
これらのことから、１つの頂点の周りに正方形ができる正多面体は、１つの頂点に３つの正方形が集まる「正六面体」しか存在しないんだよ。
STEP５ 正十二面体を考えよう
１つの頂点の周りの展開図は次のようになるね。
１つの頂点の周りに正五角形が３枚あることがわかるね。正五角形は１つの内角の角度が１０８°だから、３枚だったら１０８×３＝３２４°。
３６０°よりも小さいから、すき間がちゃんとできるね。
ただ、４枚になってしまうと１０８×４＝４３２°になっちゃうよね。３６０°を超えるから、立体にはならなくなってしまうね。
それどころか、描ききることさえできないね。
つまり、１つの頂点の周りに４枚の正五角形ができるなんてことはありえないよ。
もちろん、２枚の正五角形でも立体にはならないね。
これらのことから、１つの頂点の周りに正五角形ができる正多面体は、１つの頂点に３つの正五角形が集まる「正十二面体」しか存在しないんだよ。
STEP６ STEP３～５をまとめる
今までのことから次のことがわかったよ。
１つの頂点の周りに正三角形ができる正多面体は、正四面体・正八面体・正二十面体しか存在しない。
１つの頂点の周りに正方形ができる正多面体は、正六面体しか存在しない。
１つの頂点の周りに正五角形ができる正多面体は、正十二面体しか存在しない。
だから正多面体は５種類しか存在しなんだね。
おまけ：正六角形で囲まれた正多角形は存在しない
実は正六角形で囲まれた正多角形は存在しなんだよ。なんでかというと、正六角形の１つの内角の角度は１２０°。
もし１つの頂点の周りに正六角形が３つあったら、それだけで１２０×３＝３６０°になってしまうんだ。３６０°は１周分だから、これでは、立体は作れないね。
同じように、正七角形・正八角形で囲まれた正多角形というのも存在しないんだよ。３つ以上集まった時点で３６０°を余裕で超してしまうからね。
つまり、１つの頂点に正多角形が集まった時、３６０°を超してしまうかどうかがカギということだね。
多面体・正多面体の世界って、なかなか奥が深くて面白いね。
正多面体展開図一覧
正多面体の展開図を用意したよ。
ダウンロードもできるので、印刷して組み立ててみるのも面白いよ！
立体として実際に観察することで、もっとよく多面体・正多面体のことが理解できるといいな。
正四面体の展開図
正六面体の展開図
正八面体の展開図
正十二面体の展開図
正二十面体の展開図
正多面体展開図ダウンロード
正四面体の展開図ダウンロード
正六面体の展開図のダウンロード
正八面体の展開図のダウンロード
正十二面体の展開図のダウンロード
正二十面体の展開図のダウンロード
運営者情報
檜垣 由美子（ゆみねこ）
詳しいプロフィールを見る
青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。 ※サイト全体の運営実績についてはこちらにまとめています。
-
-
ぽんこさん
お役に立てて嬉しいです！！こちらこそありがとうございます。
-
-
ご無沙汰してます。本年もよろしくお願いいたします。
正多面体が５種類しかない理由の説明すごくわかりやすいです。また、教えてください。
１，「正多面体」は、「すべての面が同じになる立体」とありますが、「すべての面の側辺の長さが等しい立体」ってことですよね？
２、三角錐と四面体についてです。
三角錐の定義では１つの三角形を底面とし、三角錐の頂点と底面の三角形の各頂点を結んでできる立体となっています。このことから次のようにいっていいのでしょうか？
(1)三角錐は四面体である。
三角錐は底面の三角形と側面の３つの三角形とからなるので、三角形の面が４つなので 四面体である。
(2)四面体は３角錐の一種である。
四面体のどれか一つの三角形を底面とみなせば三角錐として扱えるので三角錐の一種である。-
もっちゃんさん、あけましておめでとうございます！
本年もよろしくお願いいたします。記事の感想もありがとうございます、とても励みになります。
返信が遅くなってしまい申し訳ないです。さて、今回のご質問ですが、言葉の定義をしっかり捉えようとする素晴らしい視点ですね。順にお答えします。
１について
結論から言うと、その通りです！正多面体の定義には「すべての面が合同な正多角形である」という条件があります。
「合同」ということは大きさも形も全く同じということであり、さらに「正多角形」はすべての辺の長さが等しい図形のことですから、結果として正多面体に使われているすべての辺の長さは等しくなります。
補足ですが、単に「すべての辺の長さが等しい」だけでは正多面体とは言えない（例：ひし形だけでできた多面体など）のですが、「正多面体ならば、すべての辺の長さは等しい」というのは間違いなく正しい性質です。２について
こちらも、もっちゃんさんの考え方で完璧に合っています！
(1) 三角錐は四面体である。
→ 正解です。「四面体」という名前は「面が４つある立体」という意味なので、底面１枚＋側面３枚＝計４枚の面を持つ三角錐は、四面体です。
(2) 四面体は三角錐の一種である。
→ これも正解です。四面体は４つの面すべてが三角形でできています。どの面を下（底面）にして置いたとしても、必ず「底面が三角形で、そこから頂点に向かって伸びる立体」に見えますよね。だから、四面体はどの向きから見ても三角錐と言えます。まとめると
中学数学の範囲では、「四面体」と「三角錐」はほぼ同じ立体（同じものとして扱ってOK）です。
・面の「数」に注目して呼ぶときは「四面体」
・底面や頂点という「形・構造」に注目して呼ぶときは「三角錐」
というように、場面によって呼び方を使い分けているだけなんですね。
またいつでも気になったことがあれば質問してくださいね！-
回答いただきありがとうございます。
三角錐と四面体、面の「数」に注目するか、底面や頂点という「形・構造」に注目するかの違いなんですね。考え方のポイントが示されていてとてもすっきりしました。場面によって呼び方を使い分けしているだけという部分には納得できました。
昨年のサーバーメンテ以来サイト内も変わってきているように感じます。先生の詳しいプロフィールにも書かれてませんが、猫を飼われているのですか？
-
もっちゃんさん
すっきりしていただけて良かったです！！
お役に立てて嬉しいです。サイト内ですが、特にシステム的には変更はしていませんが、広告をかなり減らしたのはあります。
特に動画広告などは、みなさんの集中の妨げになってしまっていたので排除できて良かったです。でもち実はょうど今、システムの大きな改修を進めています。
3月～4月に、新機能などを告知出来るかと思います。
もし「こんな機能があったらいいな」「ここ、使いにくいな」というものがあったらぜひお知らせください。
より便利に使っていただけるようにしていくために頑張りますね！「ゆみねこ」なのに、猫は飼っていないです笑（昔飼っていましたが）
現在は、黒柴を飼っています。もっちゃんさんも何か飼われているのですか？-
できれば検索欄は画面下側ではなくトップ側にしていただきたいです。また質問をして先生に教えていただいた内容を振り返ろうとするとき、どの項目のところで質問したのか探し回る手間が省ければいいなと思います。
父は犬、母は猫好きということで、昔は犬も猫も飼い続けていて、途中から猫だけになり、今は猫も飼うのもやめてます。猫を湯たんぽ代わりにしていた頃が懐かしいです。
-
ご意見ありがとうございます！
参考にさせていただきますね。犬も猫もいる生活だったんですね。賑やかで楽しそうです。
猫ちゃんの湯たんぽもとても癒されますね。
-
-
-
-
-
定義ばかり質問して申し訳ないんですがまた教えてください。
中学数学で、空間図形、立体、平面図形という用語が出てきますが、この区別をどう考えればよいのか教えてください。以下は断片的には理解しているつもりですが頭の中がうまく整理できてません。
１、空間とは幅、長さ、奥行きの3つの方向（３次元）で構成される。
２、図形とは数学的には、形のあるものというより点の集合を指す。
３、空間図形というときは、空間上の点、直線、曲線、平面、曲面、立体などが含まれる。従って立体は空間図形の一部を指す。（立体とは？と聞かれるとどう説明すればいいのかはわかりません）
４，平面図形とは幅、長さをもつ２次元の平面上に、点の集合として直線や、曲線等で構成される形状を指す。独立変数が一つの１次関数や２次関数もグラフ化すれば平面図形となる。-
定義についての質問、大歓迎ですよ！
言葉の意味が曖昧だと、問題を解いていてもモヤモヤしますもんね。もっちゃんさんが整理された１～４の内容、数学的にとても正確で、素晴らしい理解度です！
特に「図形とは点の集合である」という視点は、高校数学や大学数学にもつながる本質的な捉え方です。
頭の中をスッキリ整理するために、中学数学の視点で少し補足しますね。【「立体」と「空間図形」の違いについて】
もっちゃんさんの書かれている通り、「空間図形」という大きな枠組みの中に「立体」が含まれます。空間図形（Space figures）
「同一平面上にない図形」の総称です。
３次元空間にある「点、直線、平面、曲面、立体」すべてを含みます。
（例：ねじれの位置にある２直線、平面と直線の関係など）立体（Solid）
空間図形の中でも、「空間の一部を界面（平面や曲面）で限り取ったもの」つまり「体積（中身）を持つもの」を指します。
（例：立方体、円錐、球など）中学数学では、
「紙（平面）の上にペタッと描けるのが平面図形」
「紙から飛び出してしまう（高さや奥行きがある）のが空間図形」
というイメージで区別します。【もっちゃんさんの整理の仕方について】
空間（３次元）：その通りです。縦・横・高さの世界ですね。
図形（点の集合）：その通りです。非常に鋭い視点です。
空間図形と立体：ここが一番の悩みどころだったと思いますが、「立体は空間図形の一部（体積を持つもの）」という理解で完璧です。
平面図形：その通りです。関数グラフも平面上の点の集合なので、平面図形の一種と言えます。【まとめ】
図形という大きな世界の中に、
・平面図形（2次元：三角形、円、関数のグラフなど）
・空間図形（3次元：ねじれの位置、平面、立体など）
がある、という包含関係でイメージすると整理しやすいですね。「立体とは？」と聞かれたら、シンプルに「空間内で、体積（中身の広がり）をもつ図形」と答えるのが一番わかりやすいかと思います。
-
お忙しい中、回答いただきありがとうございます。
立体とは、空間内で、体積（中身の広がり）をもつ図形、、、この定義だとイメージしやすいです。文中の「空間の一部を界面（平面や曲面）で限り取ったもの」という説明で「限り取る」って切り取られた、囲まれたという意味ですか？
-
イメージが湧いてよかったです！
定義がスッキリすると気持ちいいですよね。ご質問の「限り取る」の意味ですが、もっちゃんさんの解釈で大正解です！
数学的な表現として「限り取る」という言葉を使うことがありますが、これはまさに「囲む」「区切る」という意味です。囲まれた：無限に広がる空間の中で、面（皮のようなもの）で囲んで、内側と外側を分けるイメージ。
切り取られた：空間という大きな粘土の塊から、ある形の部分だけをスパッと切り出すイメージ。どちらのイメージも正しいです。
「どこまでがその図形なのか、境界線（面）をはっきりさせて、範囲を限定する」ことを、数学ではかっこよく「限り取る」と言ったりするということですね。
ですので、「面で囲まれていて、中身が詰まっているもの」という理解でOKです！-
ありがとうございます。やっぱり先生の回答が一番理解しやすいです。
-
そう言っていただけると、とても嬉しいです！
定義の言葉ひとつとっても、深く考えていくと面白いですよね。
スッキリしていただけて何よりです。
また何かあれば、いつでもコメントくださいね。
-
-
-
-
-
関東もよく雪が降っているみたいで大変ですね。自分の住んでいるところは琵琶湖の南側なので余り降らないので助かってます。
また教えてください。正多面体の定義から次のように言うことができますか？
多面体が立体になるには、その一つの頂点に集まる3つ以上の多角形の内角の和が360度未満であることが必要条件である。
-
琵琶湖の南側にお住まいなんですね！雪が少ないのは助かりますね。こちらはこの数日寒くて大変です（笑）
ご質問の件ですが、その通りです！
頂点に集まる多角形の内角の合計がちょうど360度になると、平面（平ら）になってしまって立体になりません（「敷き詰め模様」になります）。
さらに360度を超えると、面同士が重なってしまったり、波打ったりして、凸多面体の頂点を作ることができません。
なので、「頂点に集まる角の和が360度未満であること」は、凸多面体（出っ張った立体）を作るための必要条件と言えます。
この「360度との差（不足分）」があるからこそ、そこを埋めるように折り曲げて、立体的な「角（かど）」を作ることができるということですね！
-
-
また教えてください。正多面体の頂点、面の数に関連して正六と正八、正八と正六、、、、には、双対という関係があると書かれていたことについて。
１．そもそも双対ってどういう意味なんですか？
２、例えば正六面体の隣り合う面の中点を結ぶと正八面体ができる。この時 正六面体と正八面体とは双対関係にあるという書き方がされているのですが、正六面体と正八面体の双対関係ってどういうことを指しているのですか？ 初めは正多面体の面の中点を結ぶと別の正多面体ができることが双対の意味なんかなと考えたのですが、頂点と面の数を入れ替えた、、とも書かれていてどうもそういう事ではないのではと。
３．この双対という用語は正多面体だけ、それとも凸多面体でも使われるのですか？-
「双対」、なかなかかっこいい響きの言葉ですよね。
高校数学や大学数学で深く学ぶ概念ですが、イメージがつかめればとても面白いところですね。「双対」とは、ざっくり言うと「裏表の関係」や「対になる関係」のことを指します。
ある操作（今回は「面と頂点を入れ替える」こと）を行ったとき、AがBになり、BがAに戻るような、互いに入れ替えが可能なペアの関係を言います。【正六面体と正八面体の関係について】
もっちゃんさんが気づかれた「２つの視点」、実はどちらも正解で、同じことを別の角度から言っているだけです。図形的な作り方として、正六面体の「面の中心」を結んでいくと、正八面体ができます。
逆に、正八面体の「面の中心」を結んでいくと、正六面体ができます。数的な性質としては、
正六面体（面が6、頂点が8）
正八面体（面が8、頂点が6）このように、「面」の数と「頂点」の数が完全に入れ替わっていますよね。
つまり、「ある立体の『面』を『頂点』とみなして（中心を結んで）新しい立体を作ると、面と頂点の数が入れ替わったペアができる」。
この関係を「双対」と呼んでいるということですね。では、正多面体以外でも使われるか？ということですが、結論から言うと使われます。
へこみのない多面体（凸多面体）であれば、一般的に双対な多面体を考えることができます。
ただ、「正多面体の双対は、また正多面体になる」という性質が非常にきれいなので、正多面体の話でよく取り上げられているようです。
（ちなみに、サッカーボールの形「切頂二十面体」の双対などもありますよ！）
-
四角錐、正四面体、三角錐もゴッチャになってしまう私…ですが
「正多面体」は、展開図を今回 描き写してみて 先生の説明がすんなり入りました
ありがとうございました