放物線とは？「ｙはｘの二乗に比例する」グラフの書き方を解説

中学３年生の数学で学習する「ｙはｘの二乗に比例する（y=ax²）」グラフの書き方をわかりやすく解説するよ。

y=ax²のグラフは、どのような形になるのか？
比例定数が増えたときや、比例定数が負の数のときにはどのような形になるのか？
「放物線」とはどんなものか、くわしく紹介していくよ。

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y=x²のグラフはどんな特徴があるのか？

中学数学で学習してきた関数のグラフを復習しよう。

まずは1年生の数学で学習した「比例のグラフ」

比例のグラフは、直線で、原点を必ず通るなどの特徴があったね。

「反比例のグラフ」

反比例のグラフは、原点を通らなくて、ｘ軸とｙ軸をまたがなかったね。「双曲線」と呼ばれる２つの曲がった線がかならずできるんだったね。

2年生の数学で学習した「一次関数のグラフ」

一次関数（y=ax+b）のグラフは、比例のグラフと同じで直線だけれど、「切片」でｙ軸と交わり、原点を通らない特徴があったね。

さて、いよいよ本題。
3年生の数学で学習するのは「ｙはｘの二乗に比例する関数のグラフ」だよ。

名前だけだとピンとこないね。
実際に、どんなグラフになるのかを考えていこう。

「ｙはｘの二乗に比例する関数」は「y=ax²」と表すことができるんだったよね。

今回は比例定数「a=1」だと仮定してグラフを書いてみよう。

y=x²のグラフを書いてみよう

①から③の手順でy=x²のグラフを書こう。

①表をうめる

y=x²の「x」に-3から3までの値を代入して「y」の値を求めよう。

②座標をとる

表を縦にみて、xとyの座標をグラフにとろう

③線で結ぶ

座標を線で結ぼう。

ここで「ｙはｘの二乗に比例する関数」のポイント。

「ｙはｘの二乗に比例する関数」は直線ではなく、曲線（曲がった線）になるんだ。

だから定規を使って書いちゃいけないんだ。

こんな感じになるよ。

y=x²のグラフが曲線になる理由

じゃあ、なんで曲線になるかを考えていこう。

さっきの表をもっと細かくとってみたよ。

「x」と「y」の座標をとると、なんと「なめらかな曲線」っぽくなることがわかるかな。

たとえば、「y=ax²」の式になる例として、「坂道を転げ落ちるボール」をイメージしてみよう。

ボールの転げ落ちるスピードは、どんどん加速していくよね。
でも、この加速って、「なめらかに、だんだんと加速していく」よね。
けっして、スピードが速くなるたびに「ガクン、ガクン」とスピードの早さが変わったりしないよね。
だから、グラフの線もカクカクしない、なめらかな曲線になるんだよ。

反比例のグラフと同じで、「ｙはｘの二乗に比例する関数のグラフ」は曲線になること、定規を使って書いてはいけないということを覚えておこう。

y=x²のグラフの特徴

y=x²のグラフを見て特徴を考えてみよう。

この曲線は、y軸で折り曲げたらぴったり重なるよね。このことを「y軸対称」っていうよ。

あと原点(0,0)を通っているよね。

y=x²のグラフの特徴は次の通りだよ。

y=x²のグラフの特徴

必ず原点を通る
なめらかな曲線になる
y軸対称になる。

y=ax²のグラフの特徴

「ｙはｘの二乗に比例する関数（y=ax²）」の比例定数「a」にはいろいろな数字が入るんだけれど、「a」の値が変わるとグラフがどのように変化していくかを考えていこう。

y=2x²のグラフ

まずはa=2のときのy=2x²を書いていこう。

①表をうめる

y=2x²の「x」に-3から3までの値を代入して「y」の値を求めよう。

②座標をとる

表を縦にみて、xとyの座標をグラフにとろう

③曲線で結ぶ

座標をなめらかな曲線で結ぼう。

y=3x²のグラフ

次にはa=3のときのy=3x²を書いていこう。

①表をうめる

y=3x²の「x」に-3から3までの値を代入して「y」の値を求めよう。

②座標をとる

表を縦にみて、xとyの座標をグラフにとろう

③曲線で結ぶ

座標をなめらかな曲線で結ぼう。

aの値によってグラフがどのように変化しているか

3つのグラフy=x²、y=2x²、y=3x²を今まで書いてきたね。

3つのグラフを比べると次のようになっているよ。

グラフを見てわかることは次の通りだね。

aの値が1→2→3と増えると、グラフの開き方は小さくなる

グラフは上に開いている

どうしてaの値が増えると、グラフの開き方は小さくなるのかというと、
「グラフの開き方が小さい」＝より急な増え方なんだよね。

aの値が大きくなればなるほど、ｘが増えたときのｙの増え方は急になるよね。

y=-ax2のグラフの特徴

じゃあ次に比例定数「a」がマイナス（負の数）になる場合のグラフについて考えていこう。

y=-x²のグラフ

まずはa=-1のときのy=-x²を書いていこう。

①表をうめる

y=-x²の「x」に-3から3までの値を代入して「y」の値を求めよう。

②座標をとる

表を縦にみて、xとyの座標をグラフにとろう

③曲線で結ぶ

座標をなめらかな曲線で結ぼう。

y=-2x²のグラフ

次にa=-2のときのy=-2x²を書いていこう。

①表をうめる

y=-2x²の「x」に-3から3までの値を代入して「y」の値を求めよう。

②座標をとる

表を縦にみて、xとyの座標をグラフにとろう

③曲線で結ぶ

座標をなめらかな曲線で結ぼう。

y=-3x²のグラフ

最後にa=-3のときのy=-3x²を書いていこう。

①表をうめる

y=-3x²の「x」に-3から3までの値を代入して「y」の値を求めよう。

②座標をとる

表を縦にみて、xとyの座標をグラフにとろう

③曲線で結ぶ

座標をなめらかな曲線で結ぼう。

aの値によってグラフがどのように変化しているか

3つのグラフy=-x²、y=-2x²、y=-3x²を書いてきたね。

3つのグラフを比べると次のようになっているよ。

aの値が-1→-2→-3と減ると、グラフの開き方は小さくなる

グラフは下に開いている

今度は、aの値が減ると、グラフの開き方が小さくなるんだね。
比例定数がプラス（正の数）の時とは反対だね。

どうしてかというと、負の数の場合、数自体は減って「-1→-2→-3」と小さくなっていっていても、「a」の絶対値だけに注目すると、数字自体は「1→2→3」と大きくなっているよね。

つまり、やっぱり「急」になっているんだ。

ｘが減ったときの、ｙの減り方がより「急」になるので、グラフの開き方が小さくなるというわけだね。

y=ax²とy=-ax²のグラフの比較

比例定数「a」が正の場合と負の場合ではグラフはどのように変わってくるかをまとめてみよう。

今まで書いたグラフは次の通り。

a>0（aがプラスの場合)

グラフは上に開く

aが大きくなると(1→2→3)、グラフの開きは小さくなる

a<0（aがマイナスの場合）

グラフは下に開く

aが小さくなると(-1→-2→-3)、グラフの開きは小さくなる