「因数分解の公式一覧」公式を使った解き方をわかりやすく解説

中学3年生の数学で学習する「因数分解」について、因数分解の公式とはなにか、公式の使い方をわかりやすく解説するよ。

因数分解の公式は乗法公式がもとになっていることも紹介しているので、「なぜ因数分解の公式が使えるのか」を本質から理解することができるよ。

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目次

乗法公式を逆に使って因数分解を解いてみよう

因数分解っていうのは展開の逆のことだったよね。

展開と因数分解のイメージ

(x+2)(x+3)=x2+5x+6

(x+2)(x+3)x2+5x+6  展開

x2+5x+6(x+2)(x+3)  因数分解

展開の学習の時に乗法公式を使ったのを覚えているかな?乗法公式を逆に使うと因数分解の時に役立つんだよ。

(x+2)(x+3) の展開を考えてみよう。

(x+a)(x+b)のような(x  )(x   )の形の式を展開すると、x2+○x+△になるんだったよね。

○には2+3の和が、△には2×3の積が入るから

(x+2)(x+3)の展開

今の流れを逆にやっていくことが因数分解だよね。

x2+5x+6の因数分解

さっきの展開を逆に考えていこう。

x2+5x+6を(x+□)(x+☆)の形にできたら因数分解の完成だよ。下を見て□と☆に当てはまる数を考えてみよう。

x^2+5x+6の因数分解

足して「5」、かけて「6」になる数だから、□と☆にはそれぞれ「2」と「3」がはいることがわかるかな?

x^2+5x+6の因数分解

だから、x2+5x+6を因数分解すると、(x+2)(x+3)になるよ。ちなみに(x+3)(x+2)でもOKだよ。

だって、(x+2)(x+3)の間には「×(かける)」が省略されていて、2×3も3×2も同じだからね。

同じような問題をもう一問やってみよう。

x2+4x+3の因数分解

x2+4x+3を(x+□)(x+☆)の形にできたら因数分解の完成だよ。□と☆に当てはまる数を考えてみよう。

x^2+4x+3の因数分解

足して「4」、かけて「3」になる数だから、□と☆にはそれぞれ「1」と「3」がはいることがわかるかな?

x^2+4x+3の因数分解

だから、x2+4x+3を因数分解すると、(x+1)(x+3)になるよ。ちなみに(x+3)(x+1)でもOKだよ。

乗法公式を逆に使って因数分解

今まで解いた2問の因数分解は乗法公式1を使った問題だったんだよ。

乗法公式

1、(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

上の乗法公式は展開するときに使うものだから、因数分解バージョンに直すと下のようになるよね。まあ、左辺と右辺を入れ替えただけだけど。

因数分解の公式

1、x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

上の「a」と「b」に当てはまる数を見つけたらOKということだよ。慣れるとすぐに「a」と「b」に当てはまる数が求められるようになるはず!

(1)

x2+3x+2

=x2+(a+b)x+ab

足して「3」、かけて「2」になる数  →1と2

=x2+(1+2)x+1×2

=(x+1)(x+2)

(2)

x2-8x+12

=x2+(a+b)x+ab

足して「-8」、かけて「12」になる数  → -2と-6

=x2+(-2-6)x-2×(-6)

=(x-2)(x-6)

(3)

x2+4x-12

=x2+(a+b)x+ab

足して「4」、かけて「-12」になる数  → -2と6

=x2+(-2+6)x-2×6

=(x-2)(x+6)

マイナスが入ってくるとaとbの数を見つけるのが一気に難しくなるね。

aとbの数を早く見つけるコツ

慣れるまではaとbの数をなかなか見つけられないと思うんだけど、コツがあるんだ。

コツは「かけて○○になる数を先に考える」。

足して○○に数って無限にあるんだけど、かけて○○になる数は少ないんだ。

だから、「かけて○○になる数」で候補を絞って「足して○○になる数」で1つに決めるのがいいよ。

さっきの

足して「4」、かけて「-12」になる数 

だったら、「かけて-12」って下の数だけだよ。

かけて-12になる数

・1×(-12)  ・(ー1)×12

・2×(-6)   ・(-2)×6

・3×(-4)   ・(-3)×4

・4×(-3)   ・(-4)×3

・6×(-2)   ・(-6)×2

・12×(-1)  ・(-12)×1

この中で、

「足して4になる数」を見つけたら、速くaとbの数が求められるよね。

因数分解の公式

x2+(a+b)x+abの因数分解

さっきの因数分解1の公式「x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)」を知っていれば、ほとんどの問題が因数分解ができちゃうんだよね。

例えば、次のような問題を考えてみよう。

x2+6x+9

=x2+(a+b)x+ab

足して「6」、かけて「9」になる数  →3と3

=x2+(3+3)x+3×3

=(x+3)(x+3)

=(x+3)2

だから、因数分解1の公式は絶対にマスターしておかないとだめだよ。

因数分解の公式

1、x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

x2+2ax+a2の因数分解

因数分解の公式1を使えばどんな問題でも因数分解できるんだけど、次のような問題の時は別の公式を使うともっと速く答えを求められるよ。

x2+6x+9を因数分解しよう。

まず、乗法公式2を思い出してみよう。

乗法公式

2、(x+a)2=x2+2ax+a2

公式2のようにx2+6x+9を次のように形を変えてみると

x2+2×3×x+32

上の式を公式2「x2+2ax+a2」と比べると、「a=3」になっていることがわかるかな。

だから因数分解すると「(x+3)2」になるよ。

x2+8x+16を因数分解しよう。

公式2のようにx2+8x+16を次のように形を変えてみると

x2+2×4×x+42

上の式を公式2「x2+2ax+a2」と比べると、「a=4」になっていることがわかるかな。

だから因数分解すると「(x+4)2」になるよ。

因数分解の公式

2、x2+2ax+a2=(x+a)2

この公式が使えるかどうかのチェックポイントは2つ

①x2+○x+△の △が「何かの数字」を2乗した数になっているか?

→なっていた場合 (x+何かの数字)になる可能性あり

②x2+○x+△の ○が「何かの数字」の2倍になっているか?

→なっていた場合 (x+何かの数字)と因数分解できる。

x2-2ax+a2の因数分解

x28x+16を因数分解しよう。

8xの前がマイナスになっているよ。こういうときは乗法公式3をヒントに考えよう。

乗法公式

3、(x-a)2=x2-2ax+a2

公式3のようにx2-8x+16を次のように形を変えてみると

x2-2×4×x+42

上の式を公式3「x2-2ax+a2」と比べると、「a=4」になっていることがわかるかな。

だから因数分解すると「(x-4)2」になるよ。

因数分解の公式

3、x2-2ax+a2=(x-a)2

この公式が使えるかどうかのチェックポイントはさっきと同じ2つ

①x2-○x+△の △が「何かの数字」を2乗した数になっているか?

→なっていた場合 (x-何かの数字)になる可能性あり

②x2-○x+△の ○が「何かの数字」の2倍になっているか?

→なっていた場合 (x-何かの数字)と因数分解できる。

x2-a2の因数分解

x2-a2の因数分解はもっとも簡単だよ。

乗法公式4を思い出してみよう。

乗法公式

4、(x+a)(x-a)=x2-a2

x2-a2になっていた場合、(x+a)(x-a)と因数分解できることがわかるね。

実際に問題を解いてみよう。

x2-25の因数分解だったら

x2-25

=x2-52

x2-a2の形になっているから、(x+a)(x-a)と因数分解できるよ。

今回は「a=5」だから

x2-52

=(x+5)(x-5)

となるよ。

因数分解の公式

4、x2-a2=(x+a)(x-a)

因数分解の公式一覧

因数分解の公式4つをもう一度確認しよう。

因数分解の公式一覧

1、x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

2、x2+2ax+a2=(x+a)2

3、x2-2ax+a2=(x-a)2

4、x2-a2=(x+a)(x-a)

特に大事になってくるのは公式1だから、公式1だけは最低限マスターしておくといいよ。

運営者情報

青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。2児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。

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