「多項式と単項式の乗法・除法」のやり方をわかりやすく解説
中学３年生の数学で学習する「多項式と単項式の計算」について、「多項式と単項式の乗法」「多項式と単項式の除法」それぞれどんな問題が出るのか、問題パターンごとの解き方をくわしく解説するよ。
目次
単項式と多項式の違いをおさらいしよう
単項式と多項式の違いは覚えているかな？２年生で学習したよね。忘れてしまっている人はおさらいをしよう。
単項式とは
単項式っていうのは、「数や文字についての乗法（かけ算）だけで作られた式」のことだよ。
例えば、２ｘだったら、２×ｘって表せるよね。だから単項式といえるよ。
※数字と文字の間に【＋】や【－】が無い式と覚えておこう！
多項式とは
逆に多項式っていうのは、単項式の和（足し算）や差（引き算）の形で表された式のことだよ。
例えば、２ｘ＋ｙだったら、２ｘとｙの間に足し算が入っているよね。だから多項式なんだ。
項の数で多項式と単項式を見分ける
もっと簡単に見分けるには、「項の数」に注目してみよう。
多項式と単項式の違い
多項式：項が２つ以上 （例）２ｘ＋ｙ、ａ＋ｂ、ｘ－ｙ＋ｚ
単項式：項が１つ （例）２ｘ、ｂ、－４ｘ
多項式と単項式の乗法
多項式と単項式の乗法の計算を考えよう。２年生の内容がわかっていたら、簡単にできちゃうと思うよ。
2年生のおさらい
２年生ではこんな計算をやったよね。
４（２ａ－３ｂ） ←分配法則を使う
＝４×２ａ＋４×（－３ｂ）
＝８ａ－１２ｂ
分配法則を使えてしまえば楽勝な問題だね。３年生になると２年生より少しだけレベルアップするよ。
２年生と３年生の違い
２年生：４（２ａ－３ｂ） → 数×（多項式）
３年生：４ａ（２ａ－３ｂ） →単項式×（多項式）
２年生では「数×（多項式）」だったのが、３年生になると「単項式×（多項式）」になるんだよ。
多項式と単項式の乗法の例題
多項式と単項式の乗法は２年生でやった「４（２ａ－３ｂ）」の計算の仕方と全く同じだよ。
じゃあ実際に次の例題をやってみよう。
４ａ（２ａ－３ｂ） ←分配法則を使う
＝４ａ×２ａ＋４ａ×（－３ｂ）
＝８ａ２－１２ａｂ
気を付けること
・４ａ×２ａの計算は、数字同士、文字同士をかけること
・ａ×ａ＝ａ２になること
・－３ｂには（ ）をつけること
多項式と単項式の乗法の練習
多項式と単項式の乗法の練習をして、計算に慣れていこう。
（１）
３ａ（－２ａ－４ｂ）
＝３ａ×（－２ａ）＋３ａ×（－４ｂ）
＝－６ａ２－１２ａｂ
よくある間違い
３ａ（－２ａ－４ｂ）
＝３ａ×（－２ａ）３ａ×（－４ｂ）
２つ目の３ａの前に符号（＋か－）がないよ。「３ａ（－２ａ－４ｂ）」の３ａの前には「＋」が省略されているから次のようになるよ。
＋３ａ×（－２ａ）＋３ａ×（－４ｂ）
（２）
（３ａ－２ｂ）×４ｂ
＝３ａ×４ｂ－２ｂ×４ｂ
＝１２ａｂ－８ｂ２
後ろからかける問題
「（３ａ－２ｂ）×４ｂ」は後ろから「４ｂ」をかけていくよ。下の２つは同じことだから、もし①のやり方が難しかったら、②のやり方でやるのもありだね。
① （３ａ－２ｂ）×４ｂ
② ４ｂ（３ａ－２ｂ）
（３）
－２ａ（３ａ－４ｂ－ｃ）
＝－２ａ×３ａ－２ａ×（－４ｂ）－２ａ×（－ｃ）
＝－６ａ２＋８ａｂ＋２ａｃ
多項式の項の数が３つの問題
「－２ａ（３ａ－４ｂ－ｃ）」の「－２ａ」を順番に、「３ａ」「－４ｂ」「－ｃ」にかけるだけだよ。
（４）
最後に次の問題に挑戦してみよう
２ａ（ａ＋ｂ）－３ａ（ａ－ｂ）
式を見た瞬間、「難しそう」って思うかもしれないけど、２つに分けて考えたら簡単だよ。
２ａ（ａ＋ｂ）－３ａ（ａ－ｂ）を
２ａ（ａ＋ｂ） と －３ａ（ａ－ｂ） にわけて計算しよう。
２ａ（ａ＋ｂ） －３ａ（ａ－ｂ）
＝２ａ×ａ＋２ａ×ｂ －３ａ×ａ－３ａ×（－ｂ）
＝２ａ２＋２ａｂ －３ａ２＋３ａｂ
ここまでいったら、同類項（文字の部分が同じ項）を計算しよう。
２ａ２＋２ａｂ －３ａ２＋３ａｂ
＝２ａ２－３ａ２＋２ａｂ＋３ａｂ
＝－ａ２＋５ａｂ
多項式と単項式の除法
多項式と単項式の除法（割り算）の計算を考えよう。２年生の内容とさっきの内容がわかっていたら、簡単にできちゃうと思うよ。
2年生のおさらい
２年生ではこんな計算をやったよね。
（１２ａ－８ａｂ）÷４ ←割り算をかけ算にすると「逆数」になるよ。
＝（１２ａ－８ａｂ）×\(\frac{１}{４}\)
＝１２ａ×\(\frac{１}{４}\)－８ａｂ×\(\frac{１}{４}\)
＝３ａ－２ａｂ
逆数にして、分配法則を使えてしまえば楽勝な問題だね。３年生になると２年生より少しだけレベルアップするよ。
２年生と３年生の違い
２年生：（１２ａ－８ａｂ）÷４ → （多項式）÷数
３年生：（１２ａ－８ａｂ）÷４ａ → （多項式）÷単項式
２年生では「（多項式）÷数」だったのが、３年生になると「（多項式）÷単項式」になるんだよ。
逆数のおさらい
わり算をかけ算にすると、逆数になるよ。逆数っていうのは「分母」と「分子」を入れ替えた数のことだよ。
例えば、
４÷\(\frac{３}{２}\)だったら
４×\(\frac{２}{３}\)になるよ。わり算をかけ算にすると、分母と分子が入れ替わっていることを確認しよう。
多項式と単項式の除法の例題
多項式と単項式の除法は２年生でやった「（１２ａ－８ａｂ）÷４」の計算の仕方と全く同じだよ。
じゃあ実際に次の例題をやってみよう。
（１２ａ－８ａｂ）÷４ａ ←わり算をかけ算にすると「逆数」になる。
＝（１２ａ－８ａｂ）×\(\frac{１}{４ａ}\) ←分配法則を使う
＝１２ａ×\(\frac{１}{４ａ}\)－８ａｂ×\(\frac{１}{４ａ}\)
＝３－２ｂ
気を付けること
・「４ａ」は分数であらわすと「\(\frac{４ａ}{１}\)」になるから、逆数にしたら「\(\frac{１}{４ａ}\)」だよ。
・「１２ａ×\(\frac{１}{４ａ}\)」って次のように計算できるよ。ａが約分して消えることに注意しよう。
多項式と単項式の除法の練習
多項式と単項式の除法の練習をして、計算に慣れていこう。
（１）
（４ａ２－２ａ）÷２ａ ←逆数にする
＝（４ａ２－２ａ）×\(\frac{１}{２ａ}\) ←分配法則
＝４ａ２×\(\frac{１}{２ａ}\)－２ａ×\(\frac{１}{２ａ}\)
＝２ａ－１
気を付けること
・「２ａ」を逆数にすると、「２」だけではなく、「ａ」も分母になることを忘れないようにしよう。（\(\frac{１}{２}\)ａは間違い）
・「４ａ２×\(\frac{１}{２ａ}\)」の約分の計算に気を付けよう。
（２）
次の問題は少し難しいよ。
（９ａ２ｂ－６ａｂ２）÷\(\frac{３}{２}\)ａｂ
まず、わり算をかけ算にして逆数にするんだったよね。ただ、\(\frac{３}{２}\)ａｂを逆数にするのが難しいね。
\(\frac{３}{２}\)ａｂを逆数にする
「\(\frac{３}{２}\)ａｂ」の横についている「ａｂ」っていうのは、分母か分子のどちらかに移動できるんだけど、どっちかわかるかな。
分数の横についている文字は「分子（上）」に移動することができるんだ。だから、「\(\frac{３}{２}\)ａｂ」は「\(\frac{３ａｂ}{２}\)」と表せるよ。
これを逆数にすると
\(\frac{３ａｂ}{２}\)→\(\frac{２}{３ａｂ}\)
じゃあ、わり算をかけ算にして逆数にしてみるよ。
（９ａ２ｂ－６ａｂ２）÷\(\frac{３}{２}\)ａｂ
＝（９ａ２ｂ－６ａｂ２）×\(\frac{２}{３ａｂ}\)
ここまでできちゃえば、あとは分配法則が使えたらできるよ。
９ａ２ｂ×\(\frac{２}{３ａｂ}\)－６ａｂ２×\(\frac{２}{３ａｂ}\)
＝６ａ－４ｂ
運営者情報
ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る
青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
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