「相似な図形の面積比」相似な三角形・多角形・円の相似比と面積比

中学３年生の数学で学習する「相似な図形の面積比」について、相似な図形の相似比と面積比の関係について、三角形の場合、多角形の場合、そして円の場合をそれぞれくわしく解説するよ。

相似な図形の相似比と面積比の定理について学習しよう。

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目次

• 相似な三角形の相似比と面積比を調べてみよう
• 相似な多角形の相似比と面積比を調べてみよう
• 相似な平面図形の周と面積の定理
• 相似な図形の面積比の定理を使った問題
• まとめ

相似な三角形の相似比と面積比を調べてみよう

相似な図形の性質の解説ページでは、三角形の相似比について学習したね。
下の図のような２つの三角形が相似だった場合、対応する辺の比のことを相似比って呼んだよね。

下の図の場合だとａ：ｂが相似比だね。

今回は、「相似な三角形」の「面積の比はどうなっているのか？」について考えてみるよ。

まずは結論を伝えてしまうね。
相似な三角形の相似比と面積比の関係は下の通りになっているよ。

相似な三角形の相似比と面積比

相似な三角形の相似比がａ：ｂであれば、
面積の比（面積比）はａ^２：ｂ^２となる。

面積比がａ^２：ｂ^２になる理由を考える前に、まずは問題を解いてみよう。

相似な三角形の相似比と面積比の問題

下の２つの三角形は相似で、相似比は２：３になっている。
２つの三角形の面積比を求めなさい。

相似比がａ：ｂのとき、面積比はａ^２：ｂ^２になるから、
相似比が２：３のとき、面積比は２^２：３^２＝４：９になるよ。

下の２つの三角形は相似で、左側の三角形の面積は８cm²である。
右の三角形の面積を求めなさい。

相似比は２：３だから、面積比は２^２：３^２＝４：９になるよね。
右の三角形の面積をｘcm²とすると、次の比例式が作れるよ。

４：９＝８：ｘ

この比例式を解いてｘを求めてみよう。

４：９＝８：ｘ　　比例式の性質ａ：ｂ＝ｃ：ｄならば、ａｄ＝ｂｃを使おう
４×ｘ＝９×８
４ｘ＝７２
ｘ＝１８

右側の三角形の面積は１８cm²と求めることができたね。

なんとなく、面積比の使い方がわかったかな？
じゃあ、相似比がａ：ｂのとき、なぜ面積比はａ^２：ｂ^２になるのか、理由を説明していくね。

相似な三角形の相似比と面積比の関係

次のような、２つの相似な三角形を考えよう。
２つの三角形の相似比が１：２のとき、面積比「？」がどうなるかをSTEP１～４の順で考えよう。

STEP1　底辺の長さを求めよう

相似比が１：２なのだから、△ABCの長さを２倍すると、△DEFの長さになるということだね。

ということは、BCの長さがａだとすると、EFの長さはａ×２＝２ａだよね。

STEP２　高さを求めよう。

△ABCの高さをｈとして考えよう。
※高さは英語で「height（ハイト）」なので、数学ではアルファベットの「ｈ」を使うことが多いよ。

相似比が１：２なので、△ABCの高さを２倍したら△DEFの高さになるよね。

だから△DEFの高さはｈ×２＝２ｈになるよ。

STEP３　面積を求めよう。

三角形の面積は（底辺）×（高さ）÷２で求まるから

・△ABCの面積＝ａ×ｈ÷２＝\(\frac{ａｈ}{２}\)

・△DEFの面積＝２ａ×２ｈ÷２＝２ａｈ

STEP４　面積比を求めよう。

まとめると
△ABCの面積：△DEFの面積＝\(\frac{ａｈ}{２}\)：２ａｈ

もう少し簡単にするために、両方を２倍してみると

△ABCの面積：△DEFの面積
＝\(\frac{ａｈ}{２}\)：２ａｈ
＝\(\frac{ａｈ}{２}\)×２：２ａｈ×２
＝ａｈ：４ａｈ

両方をａｈで割ってみよう。

ａｈ：４ａｈ
＝ａｈ÷ａｈ：４ａｈ÷ａｈ
＝１：４

△ABCの面積：△DEFの面積＝１：４になることがわかったね。

相似比が１：２だったら、面積比は１：４になることがわかったね。
「１：４」は「１^２：２^２」と表すことができるから、次のとおり説明できるんだ。

相似な三角形の相似比と面積比

相似な三角形の相似比がａ：ｂであれば、
面積の比（面積比）はａ^２：ｂ^２となる
=相似比の二乗が面積比になる

相似な多角形の相似比と面積比を調べてみよう

相似な三角形の相似比と面積比の関係についてわかったよね。

次は、三角形以外の多角形ではどうなるかを調べてみよう。
結論は下の通りで、三角形と全く同じになるよ。

相似な多角形の相似比と面積比の関係

相似な多角形の相似比がａ：ｂのとき、なぜ面積の比（面積比）はａ^２：ｂ^２となるのか、確認していくよ。

多角形の例として、次のような相似な五角形を考えてみよう。

さっき「三角形の相似比と面積比」を確認したので、五角形を次のように三角形にわけて考えてみよう。

２つの五角形は相似だから、同じ色の三角形同士も相似になるよ。

２つの五角形の相似比は１：２ということは、すべての辺の比が１：２になっているということだよね。

ここで、さっき確認した「相似な三角形の相似比と面積比」の性質を使おう。

五角形の中にある三角形の相似比は１：２だから、面積比は１：４になるよね。

左の三角形の面積をP、Q、Rとしたら、右の三角形の面積はP×４＝４P、Q×４＝４Q、R×４＝４Rになるよね。

・左の五角形の面積＝P＋Q＋R

・右の五角形の面積＝４P＋４Q＋４R

ということは、左側の五角形の面積の４倍が右の五角形の面積になっているってことだよね。
※4P＋4Q＋4R=4(P＋Q＋R)だよね

つまり、五角形の面積比は１：４になるんだ。

相似比が１：２であれば、面積比が１：４になることがわかったね。
「１：４」は「１^２：２^２」と表すことができるから、次のことが説明できるね。

三角形だけではなくて、多角形でも「相似比の二乗が面積比」になっているんだね。

相似な平面図形の周と面積の定理

今までわかったことは次の通りだよ。

今までは「〇〇角形」という角がある図形の面積比を考えてきたね。
では、最後に円の相似比と面積比の関係について考えていこう。

相似な円の相似比と面積比の関係

結論からいうと、円の相似比と面積比の関係は次のようになるよ。

円の相似比と面積比の関係

• 相似な円の相似比がａ：ｂであれば、
  面積比はａ^２：ｂ^２となる。

なぜ、面積比はａ^２：ｂ^２になるのかを次の円で考えて確かめてみよう。

円の面積は（半径）×（半径）×（円周率）で求まるから

・左の円の面積＝３×３×π＝９π

・右の円の面積＝４×４×π＝１６π

まとめると
左の円の面積：右の円の面積＝９π：１６π

もう少し簡単にするために、両方をπでわってみると

左の円の面積：右の円の面積
＝９π：１６π
＝９π÷π：１６π÷π
＝９：１６

相似比が３：４だったら、面積比が９：１６になることがわかったね。
「９：１６」は「３^２：４^２」と表すことができるから、次のことが説明できるね。

円の相似比と面積比の関係

• 相似な円の相似比がａ：ｂであれば、面積比はａ^２：ｂ^２となる。

円の場合も、相似比の二乗が面積比になることがわかったね。

では、円つながりで、今度は相似比と周の長さの関係についても調べてみよう。

相似な円の相似比と周の長さの関係

次の２つの相似な円の周の長さを求めよう。

円の周の長さは、（直径）×（円周率）で求まるから

・左の円の円周＝６×π＝６π

・右の円の円周＝８×π＝８π

まとめると
左の円の円周：右の円の円周＝６π：８π

もう少し簡単にするために、両方をπでわってみると

左の円の円周：右の円の円周
＝６π：８π
＝６π÷π：８π÷π
＝６：８

両方とも２で割って、左の円の円周：右の円の円周＝３：４と求めることができたね。

相似比が３：４の場合、円周の比も同じになるよ。

円周の場合は、その比は相似比と同じになるんだね！

相似な平面図形の周と面積の定理

今まで学習してきたことは次の通り。

三角形でも多角形でも円でも、相似比の二乗が面積比になっているから、どんな平面図形でも、相似比の二乗が面積比になることがわかるね。

それと、周の比は相似比と同じになるってことが導けたね。

まとめると次のようになるよ。これはとても大切な知識だからしっかり覚えておこう。

相似な図形の面積比の定理を使った問題

２つのピザは全く同じ形ということは、「相似」だよね。相似比は半径の比だから、２０：３０＝２：３になるよ。

平面図形の面積比は、相似比の二乗になるから

２つのピザの面積比は２^２：３^２＝４：９だね。

４：９ってことは、

Lサイズの面積（９）はMサイズの面積（４）の２倍以上あるから、Lサイズの方がお得ということがわかるよ。

問題

下の図で、四角形ABCD∽四角形EFGHである。

(1) 四角形ABCDの周の長さが１６cmだったとき、四角形EFGHの周の長さを求めよ。

(2) 四角形ABCDの面積が１６cm²だったとき、四角形EFGHの面積を求めよ。

(1)

相似比は４：７だから、周の長さの比も４：７になるよね。

今回求めたい四角形EFGHの周の長さをｘcmとすると次の比例式が成り立つよ。

４：７＝１６：ｘ
４ｘ＝７×１６
４ｘ＝１１２
ｘ＝２８

四角形EFGHの周の長さが２８cmと求まったね。

(2)

相似比は４：７だから、面積比は４^２：７^２＝１６：４９になるよね。

今回求めたい四角形EFGHの面積をｘcm²とすると次の比例式が成り立つよ。

１６：４９＝１６：ｘ
１６ｘ＝４９×１６

両辺１６で割ると、計算が簡単にできるよ。

１６ｘ＝４９×１６
１６ｘ÷１６＝４９×１６÷１６
ｘ＝４９

四角形EFGHの面積が４９cm²と求まったね。

「相似な図形の面積比」まとめ

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ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る

青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。