円周角とは？「円周角の定理」を例題を使ってわかりやすく解説
中学３年生の数学で学習する「円周角の定理」について、円周角とはなにか、円周角とその弧に対する中心角の関係など、円周角の定理をわかりやすく解説するよ。
円周角の定理を使った問題の解き方や、「中心を通らない」円周角のパターンの問題の解き方をくわしく紹介しているよ。
目次
円周角とは
円周角っていうのは、円周上にできる角度のことだよ。
上の図で∠APBのことを\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角っていうんだよ。
円周角は円周の上にできる角ってことをまずは覚えておこう。
これは「円周角っていえる？」
これは円周の上に角ができていないから円周角とは言わないよ。
じゃあ、Pの位置が円の中心Oに来たら円周角って言えるかな？
これは「円周角っていえる？」
これは中心に角ができているよね。このときの∠AOBのことを中心角って呼ぶよ。
１年生の時に勉強したと思うけど、３年生でも大事になるからね。
１つの弧に対する円周角の大きさ
円周角とは何かがわかったところで、ここからが本題だよ。
円周角には大切な性質があるんだ。
下の図のように、円周上に点Aと点Bを取ろう。
\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角をたくさん書いてみると「ある性質」が見えてこないかな？
\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角∠APBの大きさがすべて一定（同じ）になっているよね。
まとめると円周角には次のような性質があるんだ。
円周角の定理①
１つの弧に対する円周角の大きさは一定
∠APB＝∠AP’B＝∠AP‘‘B
円周角の性質にはもう一つ大事なものがあるから紹介するね。
円周角とその弧に対する中心角の関係
２つ目の円周角の性質は「円周角と中心角の関係」だよ。
結論は次の通り
円周角の定理②
１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分
∠APB＝\(\frac{１}{２}\)∠AOB
例えば、∠AOBが６０°だったら∠APBは３０°になるってことだよ。
なんで中心角の半分が円周角になるのかを考えていこう。
中心角の半分が円周角になる理由
POを結んで、「\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角∠APB」を２つに分けよう。
ここで次の長さは円の半径だから等しくなるよね。
OA=OB＝OP
そうすると、色の付けた△OAPと△OBPは二等辺三角形ってことになるね。
二等辺三角形の底角は等しくなるから、次のようになるよ。
最後に三角形の外角の性質を使おう。
三角形の外角の性質
三角形の外角は、隣り合わない２つの内角をたしたものと等しい
△AOPに注目しよう。
OPを延長して、三角形の外角の性質を使うと、
中心角の左側はａ＋ａ＝２ａになるよ。
△BOPに注目しよう。
三角形の外角の性質を使うと、
中心角の左側はｂ＋ｂ＝２ｂになるよ。
ということは、中心角∠AOBの大きさは２ａ＋２ｂと表すことができるんだ。
最後に\(\overset{\frown}{AB}\) に対する中心角と円周角の大きさを比べてみよう。
・中心角∠AOB＝２ａ＋２ｂ
・円周角∠APB＝ａ＋ｂ
→中心角の半分が円周角になることが説明できたね。
だから次の性質が成り立つってことだよ。
円周角の定理②
１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分
∠APB＝\(\frac{１}{２}\)∠AOB
円周角の定理
円周角の定理は次の通りだよ。問題を解くときに必ず必要な知識だからしっかりマスターしよう。
円周角の定理
- １つの弧に対する円周角の大きさは一定
∠APB＝∠AP’B＝∠AP‘‘B
- １つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分∠APB＝\(\frac{１}{２}\)∠AOB
最初に紹介した「１つの弧に対する円周角の大きさは一定」という性質がなぜ成り立つかは説明していなかったけれど、
「１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分」の性質を使えば説明できちゃうよ。
１つの弧に対する円周角の大きさが一定になる理由
１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分だったから、
もし、\(\overset{\frown}{AB}\) に対する中心角が１００°だったとしよう。
ことき、\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角はすべて５０°になるよね。
∠APB＝∠AP’B＝∠AP”B＝５０°
だから「１つの弧に対する円周角の大きさは一定」になるんだよ。
円周角の問題
円周角の定理を使って問題を解いていこう。
「１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分」だったよね。
この問題では中心角が１００°だから、円周角ｘは１００÷２＝５０°と求まるね。
∠Pも∠Qも\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角だから∠P＝∠Qになるよね。
だから、ｘ＝６０°と求められるよ。
「初めて見る図形だな」と感じるかもしれないけど、
∠AOBは\(\overset{\frown}{AB}\) に対する中心角で、
求めたいｘは\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角
なのがわかるかな？
ということは、中心角１００°の半分が円周角になるから、ｘ＝５０°が答えだよ。
円周角の定理さえ知っていれば楽勝な問題だったね。ただ、次の問題は頭を使うと思うよ。
「中心を通らない」円周角の問題
「中心を通らない」場合の円周角の問題はどうやって解けばいいんだろう？と困ってしまうという意見が多かったので、ここで紹介するね。
次の点は円周を８等分した点である。ｘの角度を求めなさい。
今までの問題と比べると中心も書いていないし、角度も書いていないから難しく感じるよね。
このまま眺めていても何も進まないから、中心Oをとって次のように赤線で結ぼう。
\(\overset{\frown}{AD}\)は点２つ分だから、中心角は９０°になるよね。
なぜなら
８つ分で３６０°
１つ分は３６０°÷８＝４５°
２つ分だから４５°×２＝９０°
次にCとDを次のように緑線で結ぼう。
「１つの弧に対する円周角は中心角の半分」だったから、
∠C＝９０°÷２＝４５°と求まるね。
次にADを結ぶと、△ACDは二等辺三角形になっているよね。
二等辺三角形の底角は等しくなるから、
∠Aと∠Dの大きさは等しいよ。
△ACDの内角の和は１８０°だから、∠Aの角度は
１８０°－４５°＝１３５°
１３５°÷２＝67.5° ←底角は等しいから÷２をしているよ。
と求められるね。
最後に平行線の錯角は等しいから、ｘ＝67.5°と求まったね。
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ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
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設問のGの位置が違ってますよ
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大変分かりやすく説明頂きましたすぐ忘れるとおもいますが納得です。ありがとうございました
。
すごく分かりやすかったです。
お陰様でテストは100点でした！