円周角とは？「円周角の定理」を例題を使ってわかりやすく解説
中学３年生の数学で学習する「円周角の定理」について、円周角とはなにか、円周角とその弧に対する中心角の関係など、円周角の定理をわかりやすく解説するよ。
円周角の定理を使った問題の解き方や、「中心を通らない」円周角のパターンの問題の解き方をくわしく紹介しているよ。
目次
円周角とは
円周角っていうのは、円周上にできる角度のことだよ。
上の図で∠APBのことを\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角っていうんだよ。
円周角は円周の上にできる角ってことをまずは覚えておこう。
これは「円周角っていえる？」
これは円周の上に角ができていないから円周角とは言わないよ。
じゃあ、Pの位置が円の中心Oに来たら円周角って言えるかな？
これは「円周角っていえる？」
これは中心に角ができているよね。このときの∠AOBのことを中心角って呼ぶよ。
１年生の時に勉強したと思うけど、３年生でも大事になるからね。
１つの弧に対する円周角の大きさ
円周角とは何かがわかったところで、ここからが本題だよ。
円周角には大切な性質があるんだ。
下の図のように、円周上に点Aと点Bを取ろう。
\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角をたくさん書いてみると「ある性質」が見えてこないかな？
\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角∠APBの大きさがすべて一定（同じ）になっているよね。
まとめると円周角には次のような性質があるんだ。
円周角の定理①
１つの弧に対する円周角の大きさは一定
∠APB＝∠AP’B＝∠AP‘‘B
円周角の性質にはもう一つ大事なものがあるから紹介するね。
円周角とその弧に対する中心角の関係
２つ目の円周角の性質は「円周角と中心角の関係」だよ。
結論は次の通り
円周角の定理②
１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分
∠APB＝\(\frac{１}{２}\)∠AOB
例えば、∠AOBが６０°だったら∠APBは３０°になるってことだよ。
なんで中心角の半分が円周角になるのかを考えていこう。
中心角の半分が円周角になる理由
POを結んで、「\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角∠APB」を２つに分けよう。
ここで次の長さは円の半径だから等しくなるよね。
OA=OB＝OP
そうすると、色の付けた△OAPと△OBPは二等辺三角形ってことになるね。
二等辺三角形の底角は等しくなるから、次のようになるよ。
最後に三角形の外角の性質を使おう。
三角形の外角の性質
三角形の外角は、隣り合わない２つの内角をたしたものと等しい
△AOPに注目しよう。
OPを延長して、三角形の外角の性質を使うと、
中心角の左側はａ＋ａ＝２ａになるよ。
△BOPに注目しよう。
三角形の外角の性質を使うと、
中心角の左側はｂ＋ｂ＝２ｂになるよ。
ということは、中心角∠AOBの大きさは２ａ＋２ｂと表すことができるんだ。
最後に\(\overset{\frown}{AB}\) に対する中心角と円周角の大きさを比べてみよう。
・中心角∠AOB＝２ａ＋２ｂ
・円周角∠APB＝ａ＋ｂ
→中心角の半分が円周角になることが説明できたね。
だから次の性質が成り立つってことだよ。
円周角の定理②
１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分
∠APB＝\(\frac{１}{２}\)∠AOB
円周角の定理
円周角の定理は次の通りだよ。問題を解くときに必ず必要な知識だからしっかりマスターしよう。
円周角の定理
- １つの弧に対する円周角の大きさは一定
∠APB＝∠AP’B＝∠AP‘‘B
- １つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分∠APB＝\(\frac{１}{２}\)∠AOB
最初に紹介した「１つの弧に対する円周角の大きさは一定」という性質がなぜ成り立つかは説明していなかったけれど、
「１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分」の性質を使えば説明できちゃうよ。
１つの弧に対する円周角の大きさが一定になる理由
１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分だったから、
もし、\(\overset{\frown}{AB}\) に対する中心角が１００°だったとしよう。
ことき、\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角はすべて５０°になるよね。
∠APB＝∠AP’B＝∠AP”B＝５０°
だから「１つの弧に対する円周角の大きさは一定」になるんだよ。
円周角の問題
円周角の定理を使って問題を解いていこう。
「１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分」だったよね。
この問題では中心角が１００°だから、円周角ｘは１００÷２＝５０°と求まるね。
∠Pも∠Qも\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角だから∠P＝∠Qになるよね。
だから、ｘ＝６０°と求められるよ。
「初めて見る図形だな」と感じるかもしれないけど、
∠AOBは\(\overset{\frown}{AB}\) に対する中心角で、
求めたいｘは\(\overset{\frown}{AB}\) に対する円周角
なのがわかるかな？
ということは、中心角１００°の半分が円周角になるから、ｘ＝５０°が答えだよ。
円周角の定理さえ知っていれば楽勝な問題だったね。ただ、次の問題は頭を使うと思うよ。
「中心を通らない」円周角の問題
「中心を通らない」場合の円周角の問題はどうやって解けばいいんだろう？と困ってしまうという意見が多かったので、ここで紹介するね。
次の点は円周を８等分した点である。ｘの角度を求めなさい。
今までの問題と比べると中心も書いていないし、角度も書いていないから難しく感じるよね。
このまま眺めていても何も進まないから、中心Oをとって次のように赤線で結ぼう。
\(\overset{\frown}{AD}\)は点２つ分だから、中心角は９０°になるよね。
なぜなら
８つ分で３６０°
１つ分は３６０°÷８＝４５°
２つ分だから４５°×２＝９０°
次にCとDを次のように緑線で結ぼう。
「１つの弧に対する円周角は中心角の半分」だったから、
∠C＝９０°÷２＝４５°と求まるね。
次にADを結ぶと、△ACDは二等辺三角形になっているよね。
二等辺三角形の底角は等しくなるから、
∠Aと∠Dの大きさは等しいよ。
△ACDの内角の和は１８０°だから、∠Aの角度は
１８０°－４５°＝１３５°
１３５°÷２＝67.5° ←底角は等しいから÷２をしているよ。
と求められるね。
最後に平行線の錯角は等しいから、ｘ＝67.5°と求まったね。
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ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る
青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
すごく分かりやすかったです。
お陰様でテストは100点でした！