平方根の考えを使って「二次方程式を効率よく解く方法」を解説
中学３年生の数学で学習する「二次方程式を効率よく解く方法」について、平方根の考え方を使って解く方法をわかりやすく解説しているよ。
それぞれ、二次方程式の形ごとに例題とくわしい解き方を紹介しているよ。
目次
ax2+c=0の形をした２次方程式の解き方
二次方程式についての解説ページでは、二次方程式を解くっていうのは「解」を求めることだと説明したね。
二次方程式を解くとか、「解」を求めるというのは、「3x2-48=0」のような二次方程式の「x」に、どんな数字を入れたら式が成り立つかを考えることだったね。
「いくつが入るかな？？」とひとつひとつ当てはめていって考えてもいいけど、解き方を知っていればすぐに解を求めることができるよ。
ここでは、3x2-48=0のようなax2+c=0の形をした二次方程式の効率の良い解き方を紹介するね。
じつは、「ax2+c=0」の形をした二次方程式は「平方根の考え」を使って簡単に解くことができるんだよ。
例えば、次のような２次方程式を解いていこう。
3x2-48=0
3x2-48=0の解き方
①数字の項「-48」を右辺に移項する
3x2-48=0
3x2 =48
②x2の係数「3」で両辺をわる
3x2 =48
3x2÷3=48÷3
x2 =16
③x2=○の形になっているので、xの値を求める。
x2 =16
2乗して16になる数は
x=-4、x=4
ax2+c=0の形をした二次方程式の練習問題
(1)x2-16=0を解きなさい。
①数字の項「-16」を右辺に移項する
x2-16=0
x2 =16
②x2の係数で割る
→今回、x2の係数は「1」だから、割っても数字は変わらない。
③x2=○の形になっているので、xの値を求める。
x2 =16
2乗して16になる数は
x=-4、x=4
(2)x2-7=0を解きなさい。
①数字の項「-7」を右辺に移項する
x2-7=0
x2 =7
②x2の係数で割る
→今回、x2の係数は「1」だから、割っても数字は変わらない。
③x2=○の形になっているので、xの値を求める。
x2 =7
2乗して16になる数は整数では存在しないね。そういうときは平方根の記号「ルート」を使うんだったね。
x=-\(\sqrt{7}\) 、x=\(\sqrt{7}\)
(3)3x2-10=0を解きなさい。
①数字の項「-10」を右辺に移項する
3x2-10=0
3x2 =10
②x2の係数「3」で両辺をわる
3x2 =10
3x2÷3=10÷3
x2 =\(\frac{10}{3}\)
③x2=○の形になっているので、xの値を求める。
x2 =\(\frac{10}{3}\)
2乗して\(\frac{10}{3}\)になる数は
x=-\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\)、x=\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\)
ただ、分母にルートがきてはいけなかったから
有理化しよう。
\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\)は分母と分子に\(\sqrt{3}\)をかけて
\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\)
=\(\frac{\sqrt{10}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}\)
=\(\frac{\sqrt{30}}{3}\)
ax2+c=0の形をした二次方程式は、x2=○の形に変形出来たら解を求めることができるね。
(x+a)2=bの形をした二次方程式の解き方
(x+a)2=bの形をした二次方程式も、さっきと同じように平方根の考えを使って簡単に解くことができるんだよ。
例えば、次のような二次方程式を解いていこう。
(x+3)2=16
ぱっと見、右辺の(x+3)2を展開しちゃいそうだよね。
ただ、展開すると計算がすごーく大変になるんだ。
①(x+3)2=16の「x+3」を「A」とおいて解を求める
A2=16
Aは2乗して16になる数だから、
・A=-4
・A=4
が解になるよね。
②「A」を「x+3」にもどす
「A」って「x+3」のことだったから
「A」を「x+3」にもどそう。
・x+3=-4
・x+3=4
③xを求める
x+3=-4 の場合
x =-4-3
x =-7
x+3=4 の場合
x =4-3
x =1
(x+3)2=16の解は
x=-7、1
であることが求められたね。
二次方程式の解の確かめ
二次方程式の解が求まったら、本当にあっているか不安だよね。
そんなときは解の確かめを行おう。
さっき解いた
(x+3)2=16
の解はx=-7とx=1だったよね。
x=-7とx=1を
(x+3)2=16に代入して式が成り立つかを確認しよう。
もしx=-7だったら
(左辺)は次のようになるよね。
(x+3)2
＝(-7+3)2
=(-4)2
=16
=(右辺)
(左辺)と(右辺)が等しくなるからx=-7を代入して式が成り立つことがわかったね。
もしx=1だったら
(左辺)は次のようになるよね。
(x+3)2
＝(1+3)2
=42
=16
=(右辺)
(左辺)と(右辺)が等しくなるからx=1を代入して式が成り立つことがわかったね。
x=-7のときもx=1のときも成り立ったから、
(x+3)2=16の解は
x=-7、1だと自信をもって言えるね。
二次方程式の解の確かめ
- 求まった解を、もとの方程式に代入して式が成り立つか確認すればよい。
(x+a)2=bの形をした二次方程式の練習問題
(x+3)2=5を解きなさい。
①(x+3)2=5の「x+3」を「A」とおいて解を求める
A2=5
Aは2乗して5になる数だから、
・A=-\(\sqrt{５}\)
・A=\(\sqrt{５}\)
が解になるよね。
②「A」を「x+3」にもどす
「A」って「x+3」のことだったから
「A」を「x+3」にもどそう。
・x+3=-\(\sqrt{５}\)
・x+3=\(\sqrt{５}\)
③xを求める
x+3=-\(\sqrt{５}\) の場合
x =-\(\sqrt{５}\)-3 ←これ以上計算できないよ。
x+3=\(\sqrt{５}\) の場合
x =\(\sqrt{５}\)-3 ←これ以上計算できないよ。
(x+3)2=5の解は
x=-\(\sqrt{５}\)-3、\(\sqrt{５}\)-3
であることが求められたね。
x2+ax+b=0の二次方程式の解き方
x2+ax+b=0みたいな形の二次方程式をどのようにして解くのかを説明するね。
x2+ax+b=0を(x+○)2=△みたいな形にできたら、さっきの解き方で解を求められるよね。
このようにして解く方法を「平方完成」って呼ぶよ。
(x+○)2=△の形に変形する（平方完成）
（問）x2+8x+7=0の解を求めなさい。
x2+8x+7=0を(x+○)2=△のような形にしよう。
まず、左辺の数字の項を右辺に移項しよう。
x2+8x+7=0
x2+8x =-7
ここまでは大丈夫だよね。
x2+8x =-7を(x+○)2=△のような形にするために
両辺にある数を足すんだ！
ある数とは「16」
なんでわからないかもしれないけど、両辺に「16」を足してみよう。
x2+8x =-7
x2+8x+16 =-7+16
x2+8x+16 =9
ここで、x2+8x+16 って(x+○)2の形にできるんだけど、○に当てはまる数はわかるかな？
答えは、x2+8x+16 って(x+4)2を展開したもの
だからさっきの式は次のようになるよ。
x2+8x+16 =9
(x+4)2 =9
(x+○)2=△のような形にできてしまえば、ここからはさっきと同じように解を求められるね。
①(x+4)2=9の「x+4」を「A」とおいて解を求める
A2=9
Aは2乗して9になる数だから、
・A=-3
・A=3
が解になるよね。
②「A」を「x+4」にもどす
「A」って「x+4」のことだったから
「A」を「x+4」にもどそう。
・x+4=-3
・x+4=3
③xを求める
x+4=-3 の場合
x =-3-4
x =-7
x+4=3 の場合
x =3-4
x =-1
(x+4)2=9の解は
x=-7、-1
であることが求められたね。
x2+ax+b=0の二次方程式の解き方のポイント
x2+ax+b=0の２次方程式を(x+○)2=△の形にできてしまえば、あとは簡単に解が求められるよね。
だから、(x+○)2=△の形にすることが重要なんだ。
(x+○)2=△の形にするポイントは次の通りだよ。
(x+○)2=△の形にするポイント
x2+ax+b=0の両辺に「aを2で割った数の２乗」を足すこと。
実際にいくつを足したらいいかを考えてみよう。
x2+8x+7=0の両辺に足す数
x2+8x+7 =0
だったら、
「+7」を移項して
x2+8x =-7
になるよね。
aを2で割った数の２乗を考えよう
・x2+8x =-7の aは「8」
・aを2で割った数 8÷2=4
・aを2で割った数の２乗 42=16
だから、両辺に16を足せばいいんだよ。
両辺に「16」を足すと
x2+8x+16=-7+16
x2+8x+16=9
になるよね。
ここでx2+8x+16は(x+4)2を展開した式だから
x2+8x+16=9
(x+4)2 =9
と(x+○)2=△の形にできたね。
x2+4x+3=0の両辺に足す数
x2+4x+3 =0
だったら、
「+3」を移項して
x2+4x =-3
になるよね。
aを2で割った数の２乗を考えよう
・x2+4x =-3の aは「4」
・aを2で割った数 4÷2=2
・aを2で割った数の２乗 22=4
だから、両辺に4を足せばいいんだよ。
両辺に「4」を足すと
x2+4x+4 =-3+4
x2+4x+4 =1
になるよね。
ここでx2+4x+4 は(x+2)2を展開した式だから
x2+4x+4 =1
(x+2)2 =1
と(x+○)2=△の形にできたね。
「平方根を利用した二次方程式の解き方」まとめ
ax2+c=0の形をした二次方程式を平方根の考え方を使って解く方法
➀移項して、x2=○の形にする
➁平方根の考えを使ってをx2=○の形からｘの値を求める
x2=○の形で、2乗して〇になる数は整数が存在しない場合は、平方根の記号「ルート」を使う
(x+a)2=bの形をした二次方程式は、「x+a」を「A」とおいて解を求める
(x+○)2=△の形にするポイント
x2+ax+b=0の両辺に「aを2で割った数の２乗」を足す
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ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る
青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
