「円周角と弧の定理」「直径と円周角の定理」をわかりやすく解説

中学３年生の数学で学習する、「円周角と弧の定理」「直径と円周角の定理」について、弧の長さが同じであれば円周角も等しくなる性質や、直径の円周角は９０°になる性質をわかりやすく解説するよ。それぞれの例題の解き方もくわしく紹介するよ。

「円周角と弧の定理」「直径と円周角の定理」を わかりやすく解説のPDF（12枚）がダウンロードできます。

PDFを印刷して手書きで勉強したい方は以下のボタンからお進み下さい。

無料ダウンロードページへ

目次

• 円周角と弧の関係を調べてみよう
• 円周角と弧の定理
• 直径と円周角の定理
• まとめ

円周角と弧の関係を調べてみよう

前回「１つの弧に対する円周角の大きさは一定である」という円周角の定理を学習したね。

前回は「弧AB」だけに注目して見ればよかったよね。

今回は、弧ABとは別のところにある弧だけれど、弧ABと等しい弧について考えよう。

この図でイメージして欲しいのだけれど、「等しい弧」というわけなので、弧ABの部分をぐるっと円に沿ってスライドさせれば、弧CDとピッタリ重なるというわけだよね。

ということは、前回学習した「１つの弧に対する円周角」と同じ条件になるということだね。だから。別の等しい弧に対する円周角の大きさは変わらないんだよ。
今回の図だと、∠P＝∠Qってことだね。

それでは、練習問題にチャレンジしてみよう。

円周角と弧の関係を使った練習問題

下の図で、\(\overset{\frown}{AB}\)＝\(\overset{\frown}{CD}\)である。
ｘの角度を求めなさい。

\(\overset{\frown}{AB}\)＝\(\overset{\frown}{CD}\)だから、

• ・\(\overset{\frown}{AB}\)に対する円周角∠P
• ・\(\overset{\frown}{CD}\)に対する円周角∠Q

は等しくなるよね。

だから、ｘ＝１０°と求めることができるね。

下の図で、\(\overset{\frown}{AC}\)＝２\(\overset{\frown}{CD}\)になっている。ｘの角度を求めなさい。

この問題では、弧ABと弧CDは等しくはないので、今度はすこし様子が違うね。
でも難しく考えることはないよ。
弧の長さが２倍になっているなら、円周角も２倍になるというだけのことなんだ。

２倍すると２０°になるのだから、ｘ＝１０°が答えになるよ。

円周角と弧の定理

「弧の長さが等しければ、円周角も等しくなる」という円周角と弧の関係がわかったね。
この関係のことを「円周角と弧の定理」というよ。

円周角と弧の定理

• 1つの円で弧の長さが等しいとき、それに対する円周角も等しい

• 逆に、円周角が等しいとき、それに対する弧の長さも等しい

「弧の長さが等しい時、それに対する円周角も等しくなる問題」はさっきやったよね。

だから、逆の「円周角が等しい時、それに対する弧の長さも等しい」という性質を使った問題に挑戦してみよう。

円周角と弧の定理を使った練習問題

下の図で、平行な弦AD、弦BCにはさまれた\(\overset{\frown}{AB}\)と \(\overset{\frown}{CD}\)の長さが等しくなることを証明しなさい。

まずACを結ぼう。

弦ADと弦BCは平行だから、錯角が等しくなって、∠A＝∠Cになるよね。

ここからが重要なポイントだよ。

• ・∠Cは\(\overset{\frown}{AB}\)に対する円周角
• ・∠Aは\(\overset{\frown}{CD}\)に対する円周角

だよね。

∠Aと∠Cの角度は等しいから、「円周角が等しいとき、それに対する弧の長さも等しい」という性質を使うと、

\(\overset{\frown}{AB}\)＝\(\overset{\frown}{CD}\)

となることがわかるね。

直径と円周角の定理

以前に円周角と中心角について学習したよね。ちょっと復習してみよう。

円周角の定理

１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧の中心角の大きさの半分である。
∠APB＝\(\frac{１}{２}\)∠AOB

例えば、∠AOBが６０°だったら∠APBは３０°になるってことだったよね。

では、もし中心角が１８０°だったら円周角は何度になるか考えよう。

同じ弧に対する中心角の半分が円周角になるから、
円周角は１８０°÷２＝９０°と求まるね。

ここで気づいてほしいんだけれど、中心角が１８０°になるときって、直径しかありえないよね。

中心角が１８０°になったら、円周角は９０°になるから、次の関係が成り立つんだ。

直径と円周角の定理

線分ABを直径とする円の円周上に点Pを取ると、∠APB＝９０°になる

この関係を使って問題を解いてみよう。

直径と円周角の定理を使った練習問題

次の図で、線分ABが円Oの直径であるとき、ｘの角度を求めなさい。

直径と円周角の関係を使うと、線分ABは直径だから中心角は１８０°になるよね。

このときの円周角∠Pは１８０°÷２＝９０°になるよね。

△ABPに注目すると、内角の和が１８０°になるから、残ったｘは５０°とわかるね。

直径と円周角の定理の逆

直径と円周角の定理には逆が存在するんだ。

直径と円周角の定理の逆

∠APB＝９０°ならば、線分ABは円Oの直径になる

この定理は円の中心を三角定規を使って求めるときに役立つよ。

次のような円があるとき「円の中心」を三角定規を使って求めなさい。

コンパスを使って中心を求める方法は１年生の時に学習したよね。
３年生になると三角定規だけで円の中心を求めるようになるんだよ。

STEP１　三角定規の直角部分が円周に重なるように置いて、円周と交わる点を２つ取る

STEP２　赤い点同士を結ぶ

結ぶと次のようになって、円周角が９０°だから、赤線は直径ということがわかるよ。

つまり、円の中心は赤線の上にあるってことだね

STEP３　さらに三角定規の直角部分が円周に重なるように置いて、円周と交わる点を２つ取る

STEP４　青い点同士を結ぶ

結ぶと次のようになって、円周角が９０°だから、青線は直径ってことがわかるよ。

つまり、円の中心は青線の上にあるってことだね。

STEP５　赤線と青線が交わったところが中心

赤線も直径、青線も直径でどちらともの上に中心があるってことになるよ。

だから交わっているところが中心になるね。

「円周角と弧の定理」「直径と円周角の定理」まとめ

運営者情報

ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る

青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。