三平方の定理とは？公式の証明と問題の解き方をわかりやすく解説　

中学３年生の数学で学習する「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」の公式について、どうしてその公式・定理が成り立つのかを証明する方法をくわしく解説するよ。

三平方の定理を使った問題の解き方もていねいに紹介しているよ。

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直角三角形の３辺の長さについて成り立つ関係の証明

直角三角形の３辺の長さには大切な関係があるんだ。
どんな関係があるかを確かめていこう。

確かめる方法はたくさんあるんだけど３つだけ紹介するね。

直角三角形の３辺の長さについて成り立つ関係の証明①

次のような直角三角形があったとしよう。
わかりやすくするために線を引いているよ。

ここで、直角三角形の３つの辺を１辺とする正方形を作っていこう。

「直角三角形の周りにできた３つの正方形」は小さい三角形が何こ分かを数えると次の通りになるよ。

赤の正方形・・・１６個
青の正方形・・・１６個
緑の正方形・・・３２個

→赤の正方形＋青の正方形＝緑の正方形になっていることがわかるね。

では、直角三角形の３辺の長さがａ、ｂ、ｃだとしよう。

３つの正方形の面積は

赤の正方形・・・ａ^２
青の正方形・・・ｂ^２
緑の正方形・・・ｃ^２

になるよね。

赤の正方形＋青の正方形＝緑の正方形だったから、
ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２
という関係が成り立つね。

直角三角形の長さについて成り立つ関係を見つけられたね。
他の方法でも見つけてみよう。

直角三角形の３辺の長さについて成り立つ関係の証明②

１辺が（ａ＋ｂ）の正方形と
１辺が　ｃ　の正方形を使って考えていこう。

２つの正方形を次のように重ねてみたよ。

上の図からわかる面積

青の正方形全体の面積・・・（ａ＋ｂ）^２
黄色の正方形の面積・・・ｃ^２
下に示した直角三角形１つ分の面積・・・ａ×ｂ÷２＝\(\frac{ａｂ}{２}\)

これらの面積を使って、３辺の長さの関係を見つけよう。

下の図の意味はわかるかな？
青の正方形から、黄色の正方形を引いたら、赤の直角三角形４こ分になることを表しているよ。

この関係を文字で表してみよう。

青の正方形－黄色の正方形＝赤の直角三角形４こ分
（ａ＋ｂ）^２－ｃ^２＝\(\frac{ａｂ}{２}\)×４　←直角三角形４こ分だから「×４」

（ａ＋ｂ）^２を展開して、\(\frac{ａｂ}{２}\)×４を計算しよう。
（ａ＋ｂ）^２－ｃ^２＝\(\frac{ａｂ}{２}\)×４
ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２－ｃ^２＝２ａｂ　　←両辺に２ａｂがあるから消えるよ。
ａ^２＋ｂ^２－ｃ^２＝０　　←「－ｃ^２」を右辺に移項しよう。
ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２