乗法公式を利用して「いろいろな式の展開」をする方法を解説

中学３年生の数学で学習した乗法公式を利用して、いろいろな式の展開をしてみよう。

一見、乗法公式が使えなさそうな式でも、工夫をすれば使うことができるよ。

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目次

• 乗法公式を利用していろいろな式を展開してみよう

乗法公式を利用していろいろな式を展開してみよう

乗法公式を使うと、多項式×多項式の展開がとても簡単に早くできるんだったよね。

でも、乗法公式は４つの形があって、それぞれその形の多項式×多項式の式でないと使うことができないんだったよね。

でも、あきらめるのはまだ早いよ。
ちょっと工夫することで、パッと見たところは「乗法公式の形と違うから、使えないや・・・」と思った式でも、使える場合があるんだ。

ここでは、「ちょっと工夫することで乗法公式が使えるパターン」を紹介するよ。

まず、「乗法公式」をもう一度確認しよう。全部で４つあって、この４つを使うことで、速く展開することができるんだったよね。

乗法公式について、「どういうものだったかな・・・？」と自身がなかったら、もう一度乗法公式について解説しているページをチェックしてね。

では、実際に乗法公式を使って、いろいろな式を展開する問題に挑戦してみよう。

(1) (2x+3)(2x+4)を展開しなさい。

パッと見ただけだと、この式は乗法公式の４つ形のどれにも当てはまらないよね。

でも、「なんか似ているなぁ」というものがあるね。
そう、乗法公式１の式「(x+a)(x+b)」だよ。
乗法公式の「ｘ」の部分が、問題では「２ｘ」になっているだけだからね。

この式だったら、乗法公式１の「(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab」を工夫して使えば、簡単に展開できそうな気がするね。

ではどういう工夫をするかというと、

「式の一部分を、文字におきかえてしまう」んだ。

たとえば、「2x」を「A」とおきかえてみよう。

そうすると

(2x+3)(2x+4)

=(A+3)(A+4)

となるよね。

そうすると、なんと乗法公式１の「(x+a)(x+b)」と同じ形になったね。

あとはそのまま「(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab」で展開すればよさそうだね。

(A+3)(A+4)

=A²+(3+4)A+3×4

=A²+7A+12

無事に展開できて、「安心！」と思ってしまいそうだけれど、
大事なことを思い出そう。

そう、「A」は仮におきかえただけの文字で、本当は「２ｘ」だったよね。

なので、最後にちゃんと「A」を「2x」に戻してあげよう。

A²+7A+12

=(2x)²+7×2x+12

=4x²+14x+12

これで展開の完成だよ。もう一度やり方を確認してみよう。

ちなみに「2x」を「A」とおいて展開する方法を紹介したけれど、展開に慣れてくると(2x+3)(2x+4)ぐらいなら、おきかえなくてもそのまま求めることもできるよ。

でも慣れないうちはミスも起こりやすいので、自身が持てるまでは、確実に展開できるように、文字でおきかえる方法でたくさん練習しよう。

(2) (2x+3)²を展開しなさい。

この式だったら、乗法公式２の「(x+a)²=x²+2ax+a²」を使えば、簡単に展開できそうな気がするね。

(x+a)²みたいな「(前+後)²」の形の式を展開すると

「前の２乗＋後ろの２乗＋２倍の前後」になるんだったよね。

(2x+3)²の展開

・前の２乗=(2x)²=4x²

・後ろの２乗=3²=9

・２倍の前後=2×(2x)×3=12x

(2x+3)²を展開すると次のようになるよ。

(2x+3)²

=4x²+9+12x ←「9」と「12x」の順番を入れ替えよう。

=4x²+12x+9

(3) (3x+4)(3x-4)を展開しなさい。

この式だったら、乗法公式４の「(x+a)(x-a)=x²–a²」を使えば、簡単に展開できそうな気がするね。

「(前＋後)(前－後）」のような形になっているから、展開すると「前の２乗－後ろの２乗」になるよ。

(3x+4)(3x-4)の展開

・「前の２乗」=(3x)²=9x²

・「後ろの２乗」=4²=16

(3x+4)(3x-4)を展開すると次のようになるよ。

(3x+4)(3x-4)

=9x²-16

(4) (x+y+2)(x+y-4)を展開しなさい。

今までと違うのは、かっこの中の数字や文字が３つになっていることだね。こういうときは、３つの文字や数字を２つにすることを考えよう。

「(x+y+2)(x+y-4)」という式を見ると、どちらにも「x+y」があることがわかるかな？

この「x+y」を「A」とおいてみよう。

(x+y+2)(x+y-4)

=(A+2)(A-4)

この形にできてしまえば、あとは乗法公式１の「(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab」を使って展開すればいいよね。

(A+2)(A-4)

=A²+(-2+4)A+2×(-4)

=A²-2A-8

ここで「A」を「x+y」にもどすよ。

A²-2A-8

=(x+y)²-2(x+y)-8 ←(x+y)²=x²+2xy+y²となるよね。

=x²+2xy+y²-2x-2y-8

これで展開完了。このあとも計算できそうだけど、同類項がないので終わりだよ。

(5) (x+y-3)²を展開しなさい。

(4)と同じように、かっこの中の数字や文字が３つになっているね。こういうときは、３つの文字や数字を２つにすることを考えよう。

「(x+y-3)²」の「x+y」を「A」とおいてみよう。

そうすると

(x+y-3)²

=(A-3)²

になるよね。

この式だったら、乗法公式３の「(x-a)²=x²-2ax+a²」を使えば、簡単に展開できそうな気がするね。

(x-a)²みたいな「(前-後)²」の形の式を展開すると

「前の２乗＋後ろの２乗－２倍の前後」になるんだったよね。

(A-3)²の展開

・前の２乗=A²

・後ろの２乗=3²=9

・２倍の前後=2×A×3=6A

(A-3)²を展開すると次のようになるよ。

(A-3)²

=A²+9-6A ←「9」と「-6A」の順番を入れ替えるよ。

=A²-6A+9

ここまで展開出来たら、「A」を「x+y」にもどそう。

A²-6A+9

=(x+y)²-6(x+y)+9　　　　←(x+y)²=x²+2xy+y²となるよね。

=x²-2xy+y²-6x+6y+9　　

(6) (x-3)²-(x+2)(x-4)を展開しなさい。

この式は今までと比べると長くて難しそうに感じるけど、分けて考えよう。

①(x-3)²の展開

(x-a)²みたいな「(前-後)²」の形の式を展開すると

「前の２乗＋後ろの２乗－２倍の前後」になるんだったよね。

(x-3)²の展開

・前の２乗=x²

・後ろの２乗=3²=9

・２倍の前後=2×x×3=6A

(x-3)²を展開すると次のようになるよ。

(x-3)²

=x²+9-6x ←「9」と「-6x」の順番を入れ替えるよ。

=x²-6x+9

②(x+2)(x-4)の展開

乗法公式１の「(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab」を使って展開するよ。

(x+2)(x-4)

=x²+(2-4)x+2×(-4)

=x²-2x-8

③(x-3)²-(x+2)(x-4)の展開

①と②から次のように(x-3)²-(x+2)(x-4)は展開できるよ。

(x-3)²–(x+2)(x-4)

=x²-6x+9-(x²-2x-8)

=x²-6x+9-x²+2x+8

=-4x+17

運営者情報

ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。