二次方程式とその解「二次方程式」とは？「解」をわかりやすく解説
中学３年生の数学で学習する「二次方程式」について、二次方程式とはどんな方程式か、二次方程式の「解」とはなにか、二次方程式を解くとはどういうことかを例題をもとにくわしく解説するよ。
目次
二次方程式とは
３年生では「二次方程式」を学習していくよ。
「方程式」というと、１年生の時に「一次方程式」、２年生の時に「連立方程式」を学習したよね。
それぞれどんな方程式だったか復習してみよう。
一次方程式
ｘ＋４＝６、２ｘ＋３＝５など
連立方程式
\begin{cases} ２ｘ＋ｙ＝１１\\ｘ－２ｙ＝３ \end{cases}
一次方程式は「かけられている文字の数が１つの方程式」、
連立方程式は「２つ以上の方程式が組み合わさったもの」だったよね。
では二次方程式はどんな方程式かというと、
「かけられている文字の数が２つの方程式」
のことだよ。
文字が２つだから、「二次」方程式というんだね。
「二次」ってことは、かけられている文字が２つということだから、ｘの２乗がたくさん出現するよ！
二次方程式の例
二次方程式の例を紹介するね。
ｘ２＝９
ｘ２＋２ｘ＝４
「ｘ２」はｘが２回かけられているよね。かけられている文字が２だから、どちらも二次方程式だよ。
二次方程式を見つけよう
（例）次の方程式の中から二次方程式を選びなさい。
①ｘ２＋３ｘ＋２＝０
②ｘ２＋４＝ｘ２＋３ｘ
③ｘ３＝８
④（ｘ－２）２＝４
答えは、①④が二次方程式になるよ。まちがえやすいものを紹介するね。
②ｘ２＋４＝ｘ２＋３ｘ
「②も二次方程式じゃないの？」と思うよね。
ｘ２＋４＝ｘ２＋３ｘ
の右辺にあるｘ２を左辺に移項しよう。移項すると符号が変わるから次のようになるよ。
ｘ２－ｘ２＋４＝３ｘ
０＋４＝３ｘ
４＝３ｘ
移項するとｘ２がなくなってしまうよね。だからｘ２＋４＝ｘ２＋３ｘは２次方程式ではないんだよ。（ちなみに一次方程式だね）
③ｘ３＝８
「ｘ３」は、ｘが３回かけられているから、かけられている文字が３つだから、三次方程式だね。
④（ｘ－２）２＝４
左辺を展開すると
ｘ２－４ｘ＋４になるね。
だからこれは二次方程式といえるね。
二次方程式の一般形
一般形っていうのは、どの方程式にも共通している形だと考えればOKだよ。
二次方程式の一般的な形は次のようになるよ。
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０
ａやｂやｃには数字入るんだけど、ａは０になってはいけないんだよ。
ａ＝０になってはいけない理由
もしａ＝０になったら
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０は
０ｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ ←０ｘは０のこと
０＋ｂｘ＋ｃ＝０
ｂｘ＋ｃ＝０
となって、一次方程式になっちゃうよね。
だから教科書や問題集には
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ （ａ≠０）
と書かれているんだ。
ちなみにａ≠０っていうのは「ａは０ではない」という意味だよ。
二次方程式の例題
これからの学習では、「二次方程式を解く」ということをするんだ。
方程式っていうのは、文字が使われている等式だったよね。
例えば、次の問題を考えてみよう。
（例１）方程式ｘ２＝９は、ｘにいくつを入れると成り立つかな？
ぱっとわかる人はいいんだけれど、わからない人はｘに順番に数字を入れてみよう。
ｘに－３から３まで入れてみたよ。左辺と右辺の値が同じになる（これを「方程式が成り立つ」というよ)のは、ｘがいくつのときかな？
| ｘの値 | 左辺 ｘ２ | 大小関係 | 右辺 ９ |
| ｘ＝－３ | （－３）２＝９ | ＝ | ９ |
| ｘ＝－２ | （－２）２＝４ | ＜ | ９ |
| ｘ＝－１ | （－１）２＝１ | ＜ | ９ |
| ｘ＝０ | ０２＝０ | ＜ | ９ |
| ｘ＝１ | １２＝１ | ＜ | ９ |
| ｘ＝２ | ２２＝４ | ＜ | ９ |
| ｘ＝３ | ３２＝９ | ＝ | ９ |
上の表から、ｘが３のときとｘが－３のときに、左辺と右辺が同じになって、方程式が成り立つね。
これから学習する二次方程式は、成り立つ値が２つあることがほとんどだよ。
二次方程式のポイント
今まで学習したことをまとめてみたよ。
- 二次方程式とは、かけられている文字の数が２つの方程式
- 一般的な形は次のようになるよ。
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ （ａ≠０）
- 二次方程式は、成り立つ値は２つあることがほとんど
「解」とは
方程式を成り立たせることができる値のことを「方程式の解」というよ。
さっきの問題でいえば、方程式ｘ２＝９の解は
ｘ＝－３、３
となるよ。
－２、－１、０、１、２のうち、二次方程式ｘ２＋３ｘ＋２＝０の解を選びなさい。
ぱっとわかる人はいいんだけれど、わからない人はｘに順番に数字を入れてみよう。ｘに－２から２まで入れてみたよ。左辺と右辺の値が同じになるのは、ｘがいくつのときかな？
| ｘの値 | 左辺 ｘ２＋３ｘ＋２ | 大小関係 | 右辺 ０ |
| ｘ＝－２ | （－２）２＋３×（－２）＋２＝０ | ＝ | ０ |
| ｘ＝－１ | （－１）２＋３×（－１）＋２＝０ | ＝ | ０ |
| ｘ＝０ | ０２＋３×０＋２＝２ | ＞ | ０ |
| ｘ＝１ | １２＋３×１＋２＝６ | ＞ | ０ |
| ｘ＝２ | ２２＋３×２＋２＝１２ | ＞ | ０ |
上の表から、ｘが－２のときとｘが－１のときに、左辺と右辺が同じになっているから、方程式の解はｘ＝－２、－１とわかるね。
「解く」とは
方程式の解を求めることを方程式を解くっていうんだよ。
二次方程式ｘ２－２ｘ－３＝０を解きなさい。
ぱっとわかる人はいいんだけど、わからない人はｘに順番に数字を入れてみよう。ｘに－３から３まで入れてみたよ。左辺と右辺の値が同じになるのは、ｘがいくつのときかな？
| ｘの値 | 左辺 ｘ２－２ｘ－３ | 大小関係 | 右辺 ０ |
| ｘ＝－３ | （－３）２－２×（－３）－３＝１２ | ＞ | ０ |
| ｘ＝－２ | （－２）２－２×（－２）－３＝５ | ＞ | ０ |
| ｘ＝－１ | （－１）２－２×（－１）－３＝０ | ＝ | ０ |
| ｘ＝０ | ０２－２×０－３＝－３ | ＜ | ０ |
| ｘ＝１ | １２－２×１－３＝－４ | ＜ | ０ |
| ｘ＝２ | ２２－２×２－３＝－３ | ＜ | ０ |
| ｘ＝３ | ３２－２×３－３＝０ | ＝ | ０ |
上の表から、ｘが－１のときとｘが３のときに、左辺と右辺が同じになっているから、方程式の解はｘ＝－１、３とわかるね。
二次方程式で出てくる用語
二次方程式では次の言葉が出てきたよ。ほとんど、１年生でも学習した内容だけど、もう一度しっかり確認して覚えよう。
二次方程式で出てくる用語
①二次方程式
- かけられている文字の数が２つの方程式
- ３年生で学習する方程式
※高校生では、三次方程式っていうのを勉強するよ。（ｘ３＋３ｘ＋２＝０）
- 一般的な形は次のようになるよ。
ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ （ａ≠０）
②二次方程式の解
- 二次方程式を成り立たせるｘの値のこと
- 二次方程式の解は２つあることがほとんど
③方程式を解く
- 方程式の解を求めること
運営者情報
ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る
青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
