三平方の定理とは？公式の証明と問題の解き方をわかりやすく解説　

中学３年生の数学で学習する「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」の公式について、どうしてその公式・定理が成り立つのかを証明する方法をくわしく解説するよ。

三平方の定理を使った問題の解き方もていねいに紹介しているよ。

直角三角形の３辺の長さについて成り立つ関係の証明

直角三角形の３辺の長さには大切な関係があるんだ。
どんな関係があるかを確かめていこう。

確かめる方法はたくさんあるんだけど３つだけ紹介するね。

直角三角形の３辺の長さについて成り立つ関係の証明①

次のような直角三角形があったとしよう。
わかりやすくするために線を引いているよ。

ここで、直角三角形の３つの辺を１辺とする正方形を作っていこう。

「直角三角形の周りにできた３つの正方形」は小さい三角形が何こ分かを数えると次の通りになるよ。

赤の正方形・・・１６個
青の正方形・・・１６個
緑の正方形・・・３２個

→赤の正方形＋青の正方形＝緑の正方形になっていることがわかるね。

では、直角三角形の３辺の長さがａ、ｂ、ｃだとしよう。

３つの正方形の面積は

赤の正方形・・・ａ^２
青の正方形・・・ｂ^２
緑の正方形・・・ｃ^２

になるよね。

赤の正方形＋青の正方形＝緑の正方形だったから、
ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２
という関係が成り立つね。

直角三角形の長さについて成り立つ関係を見つけられたね。
他の方法でも見つけてみよう。

直角三角形の３辺の長さについて成り立つ関係の証明②

１辺が（ａ＋ｂ）の正方形と
１辺が　ｃ　の正方形を使って考えていこう。

２つの正方形を次のように重ねてみたよ。

これらの面積を使って、３辺の長さの関係を見つけよう。

下の図の意味はわかるかな？
青の正方形から、黄色の正方形を引いたら、赤の直角三角形４こ分になることを表しているよ。

この関係を文字で表してみよう。

青の正方形－黄色の正方形＝赤の直角三角形４こ分
（ａ＋ｂ）^２－ｃ^２＝\(\frac{ａｂ}{２}\)×４　←直角三角形４こ分だから「×４」

（ａ＋ｂ）^２を展開して、\(\frac{ａｂ}{２}\)×４を計算しよう。
（ａ＋ｂ）^２－ｃ^２＝\(\frac{ａｂ}{２}\)×４
ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２－ｃ^２＝２ａｂ　　←両辺に２ａｂがあるから消えるよ。
ａ^２＋ｂ^２－ｃ^２＝０　　←「－ｃ^２」を右辺に移項しよう。
ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２

さっきと同じように
ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２
という関係が導けたね。

最後にもう１つの方法でも証明してみよう。

直角三角形の３辺の長さについて成り立つ関係の証明③

合同な直角三角形を２つ組み合わせてみよう。

次のように線を引くと、新たに直角三角形が出来上がるよ。

３つの三角形の面積と全体の台形の面積を求めよう。

下の図の意味はわかるかな？
青の直角三角形と黄色の直角三角形と緑の直角三角形をたしたら、茶色の台形になることを表しているよ。

この関係を文字と式で表してみよう。

青の直角三角形＋黄色の直角三角形＋緑の直角三角形＝茶色の台形　になるから、
\(\frac{ａｂ}{２}\)＋\(\frac{ａｂ}{２}\)＋\(\frac{ｃ^２}{２}\)＝\(\frac{（ａ＋ｂ）^２}{２}\)

すべて分母が２になっているから、両辺を２倍しよう。
\(\frac{ａｂ}{２}\)×２＋\(\frac{ａｂ}{２}\)×２＋\(\frac{ｃ^２}{２}\)×２＝\(\frac{（ａ＋ｂ）^２}{２}\)×２
ａｂ＋ａｂ＋ｃ^２＝（ａ＋ｂ）^２

（ａ＋ｂ）^２を展開して式を整理しよう。
ａｂ＋ａｂ＋ｃ^２＝（ａ＋ｂ）^２
ａｂ＋ａｂ＋ｃ^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２
２ａｂ＋ｃ^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２　　←両辺に「２ａｂ」があるから消すよ。
ｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２

さっきと同じように
ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２
という関係が導けたね。

三平方の定理

直角三角形の３辺の長さについて成り立つ関係を３パターンで証明してきたね。

直角三角形の３辺の長さをａ、ｂ、ｃとすると
ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２
という関係が成り立つよ。これを「三平方の定理さんへいほうのていり」というんだ。

名前からしてなんとなくイメージできないかな？
「三」っていうのは、「３辺」のこと
「平方」っていうのは、「２乗」のこと
だから、３辺の２乗の性質ってことだね。

ちなみにだけど、「四平方の定理よんへいほうのていり」っていうのもあるんだよ。
「四」だから、「４辺」になるんだよ。
イメージ　〇^２＝△^２＋◇^２＋▽^２

三平方の定理を覚えることは簡単だよね。
テストでもこの定理を使った問題が出るので、次の練習問題にチャレンジしてできるようにしておこう。

三平方の定理を使った問題

次の直角三角形でｘの長さを求めなさい。

三平方の定理ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２に数字や文字を当てはめて
４^２＋３^２＝ｘ^２

２乗の計算をしてｘを求めよう。
４^２＋３^２＝ｘ^２
１６＋９＝ｘ^２
２５＝ｘ^２
ｘ^２＝２５
ｘ＝－５、+５

長さにマイナスはないから、ｘの長さは５と求めることができるよ。

直角三角形の場合、２辺がわかったら残りの１辺が求められるというすごい性質なんだよ。

三平方の定理ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２に数字や文字を当てはめて
５^２＋２^２＝ｘ^２

２乗の計算をしてｘを求めよう。
５^２＋２^２＝ｘ^２
２５＋４＝ｘ^２
２９＝ｘ^２
ｘ^２＝２９

２乗して２９になる整数はないから、ルートを使って表そう。
ｘ^２＝２９
ｘ＝－\(\sqrt{２９}\)、\(\sqrt{２９}\)

長さにマイナスはないから、ｘの長さは\(\sqrt{２９}\)と求めることができるよ。

今までは斜辺がｘだったんだけど、今度は違う辺がｘになっているよ。ただやることは同じだよ。

三平方の定理ａ^２＋ｂ^２＝ｃ^２に数字や文字を当てはめて
５^２＋ｘ^２＝７^２

２乗の計算をしてｘを求めよう。
５^２＋ｘ^２＝７^２
２５＋ｘ^２＝４９
ｘ^２＝４９－２５
ｘ^２＝２４
ｘ＝±\(\sqrt{２４}\)
ｘ＝±２\(\sqrt{６}\)

長さにマイナスはないから、ｘの長さは２\(\sqrt{６}\)と求めることができるよ。

三平方の定理は直角三角形にしか使えないから、他の三角形で使ったりしないようにしようね。

三平方の定理（ピタゴラスの定理）まとめ