「連立方程式の利用」問題の解き方とコツ（割合・速さ・食塩水）

中学２年生の数学で学習した「連立方程式」を利用した問題の解き方を解説するよ。

定期テストや高校入試でよく出る「割合の問題」「速さの問題」「食塩水の問題」など、それぞれの問題の考え方や解き方のコツなどを詳しく説明するよ。

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目次

• 連立方程式の利用「割合の問題」の解き方
• 連立方程式の利用「速さの問題」の解き方
• 連立方程式の利用「食塩水の問題」の解き方

連立方程式の利用「割合の問題」の解き方

連立方程式の利用「割合の問題」では、主に２つのパターンが出題されやすいよ。

１つ目は、生徒人数に関する問題
もう１つは、商品の値段に関する問題

まずは、生徒人数に関する問題の解き方について、確認してみよう！

「〇％増えた」、「〇％減った」この言葉を見ると、難しく感じて手が出ない…、という人もいるかもしれないけれど、式のパターンが決まっているんだ。

１つ目：昨年の生徒人数から作る式
２つ目：今年の生徒人数の増減から作る式

この２つで作ることを覚えておこう！
早速、解き方の確認をしよう。

①何をχ、ｙにするか

求めたいのは、今年の男子、女子の生徒人数なんだけれど、元にしているのは、昨年の生徒人数だよね。

だから、昨年の男子の生徒人数をχ人、女子の生徒人数をｙ人として考えていこう。

②「△の〇％」の表し方を確認して、男女の増えた人数・減った人数を求める

この文章問題で苦手な人が多いのは、「△の〇％」をどうやって表したらいいか…という部分なんだ。
そこでまずは、小学生の時の復習をして割合の計算を思い出してみよう！

今回の問題では
「今年は昨年に比べ男子が１５％減って、女子が１０％増えた」と書いてあるね。

上の手順のように、「△の〇％」という書かれ方をしていないから、言い換える必要があるんだ。

「今年は昨年に比べ男子が１５％」ということは、「昨年の男子の人数の１５％」と考えてあげよう。

そうすると、昨年の男子の人数は①で決めたχを使うと、今年の男子の人数は

χ×０.１５＝０.１５χ

と表すことができるね。
同じように女子の人数も考えよう。

「女子が１０％増えた」ということは、「昨年の女子の人数の１０％」と考えるから、今年の女子の人数は

ｙ×０.１＝０.１ｙ

と表すことができるよ。

③式を作ってχとｙを求めよう

１つ目の式は、「昨年の全校生徒の人数は、１９０人」の部分から作ろう。
「昨年の全校生徒の人数」というのは、「昨年の男子の人数と女子の人数を合わせた人数」ということだね。

だから、

χ＋ｙ＝１９０

という式ができるよ。

次は、「今年は昨年に比べ、男子が１５％減って、女子が１０％増えたため、全体で６人減りました」の部分から式を作るよ。
②で求めたとおり、

今年減った男子の人数は、０.１５χ
今年増えた女子の人数は、０.１ｙ

だったから、これを元に

「今年の減った男子の人数と今年の増えた女子の人数を合わせると、全体で６人減った」という式を作ろう。

ちなみに、増えた場合には、数字の前にプラスを、減った場合には、数字の前にマイナスをつけよう。
そうすると式は、

－０.１５χ＋０.１ｙ＝－６

あとは、できた２つの式

\begin{cases} χ＋ｙ＝１９０\\－０.１５χ＋０.１ｙ＝－６ \end{cases}

を解いて、χとｙを求めよう。

④答えを求めよう

答えは、男子１００人、女子９０人と書きたいけれど、実は違うんだ。
なぜなら、今回求めたχとｙは、それぞれ昨年の人数だったよね。

今年の人数を求めるには、もう１つ手順が必要なんだ。
まずは、今年の男子の人数から求めよう。

問題文に「今年は昨年に比べ、男子が１５％減って」と書いてあったね。
だから、

という計算が必要だよ。

昨年の男子の人数は、１００人
昨年の男子の１５％は、１００×０.１５＝１５人

を使うと
今年の男子の人数は、８５人となるね。

今年の女子の人数も同じように求めていこう。

問題文に「女子が１０％増えた」と書いてあるね。
これは男子と同じように「今年は昨年に比べ、女子が１０％増えた」ということだから

という計算で求めることができるよ。

昨年の女子の人数は、９０人
昨年の女子の１０％は、９０×０.１＝９人

を使うと
今年の女子の人数は、９９人となるね。

ということで、今回の問題の答えは、

今年の男子の人数８５人、今年の女子の人数９９人

と求めることができるよ。

改めて解き方のポイントを整理すると

次は、商品の値段に関する問題について確認しよう。

生徒人数の問題と同じように、「〇％引き」という文字を見ると難しく感じるかもしれないけれど、基本的な解き方は同じだよ！
商品の値段に関する式も式を作るパターンが決まっていて、

１つ目：定価の式
２つ目：割引額に関する式

で作ることが多いので、覚えておこう！
じゃあ早速、解き方の確認をしよう。

①何をχ、ｙにするか

今回は求めたい「お弁当」と「お茶」の定価でOKだよ。

お弁当の定価をχ
お茶の定価をｙ

として式を作っていこう。

②割引後の値段を求める

生徒人数に関する問題と同じように考えるとOK！

「お弁当は定価の１０％引き」とあるから、
χ×０.１＝０.１χ

「お茶は定価の２０％引き」とあるから、
ｙ×０.２＝０.２ｙ

この２つの値を使って式を作っていこう！

③式を作ってχとｙを求めよう

まずは、１つ目の定価の式から作ろう。

定価の式は、
お弁当の定価＋お茶の定価＝定価の合計
で作るんだ。

ただ、問題文の中に「定価の合計」が書かれていないから、計算する必要があるよ。

問題文に
「はらった代金の合計は５２８円で、定価で買うより７２円安くなりました。」
と書いているから、お弁当とお茶の定価の合計は

５２８＋７２＝６００

となるので、定価の式は

χ＋ｙ＝６００

となるよ。

次に割引額に関する式を作ろう。
これも生徒人数の増減に関する問題と同じように作ればOK！

割引は「引」という文字があるから、生徒人数の減った時と同じように「マイナスをつける」と覚えておこう！
※「安くなった」も「マイナス」となるよ！

お弁当の割引した金額＋お茶の割引した金額＝割引額の合計
で作ろう。

②で求めた値を使うと

－０.１χ－０.２ｙ＝－７２

と式を作ることができるよ。

④連立方程式を解いて、χとｙを求めよう。

③で作った連立方程式

\begin{cases} χ＋ｙ＝６００\\－０.１χ－０.２ｙ＝－７２ \end{cases}

を解こう。

答えは、定価を求める問題だから、

お弁当の定価４８０円、お茶の定価１２０円

でOKだよ！

連立方程式の利用「速さの問題」の解き方

連立方程式の利用「速さの問題」は、苦手としている人も多い単元だけれども、出題パターンが決まっているからどんどん問題を解いて、慣れていこう！

連立方程式の利用「速さの問題」では、

時間に関する式
距離に関する式

で式を作っていくよ。

式を作るときには、小学校で勉強した「み・は・じ」もしくは「は・じ・き」の公式も使っていくよ！

それでは、今回の問題の解き方を確認しよう！

①何をχ、ｙにするか

今回の問題で求めたいものは、「歩いた道のりと走った道のり」だね。

歩いた道のりをχｍ
走った道のりをｙｍ

として、式をつくっていこう！

②問題に合わせて、図を描く

まずは、式を作る前に「図を描いて」問題について整理していくよ。
「図を描く」といっても、シンプルなものでOKだよ。

今回の問題では、こんな図になるよ。

図の描き方や注意点など

１．図に書き加える数字の位置は固定しよう

図の上側：道のり
図の真ん中：速さ
図の下側：時間
のルールで書くようにしよう。

「み・は・じ」の図では、道のりを上に、時間を下に書いているから、それと同じルールで書くとミスが少なくなるよ。

２．χ、ｙも含めてわかることを描き込む

このとき、必ず空欄になるところができるよ。
今回は、時間のところが空欄になるね。

３．空欄のところは、「み・は・じ」の公式を使って埋める

今回の問題では、χｍの下にある時間、ｙｍの下にある時間が空欄だね。
この空欄を埋めるには、「み・は・じ」の公式を使って埋めるよ。

χｍの下にある空欄は、
道のり：χｍ、速さ：分速５０ｍだから
時間＝道のり÷速さに代入すると

\(\frac{χ}{５０}\)分

とするんだ。

ｙｍの下にある空欄も同じように計算すると
道のり：ｙｍ、速さ：分速８０ｍだから
時間＝\(\frac{ｙ}{８０}\)分

と埋めることができるよ。

この図を埋めたら、式は簡単に作ることができるよ。

③式を作る

まずは、図から距離で式を作ろう。
図の通りに作ればOKだから、

χ＋ｙ＝１２００

となるよ。

次に図の下側の時間で式を作ろう。

\(\frac{χ}{５０}\)＋\(\frac{ｙ}{８０}\)＝１８

こんな風に図から式を作れば、あとは解くだけ！
分数の計算だから、ミスがないように注意しよう！

④連立方程式を解いて、χとｙを求める

③で作った２つの式

\begin{cases} χ + ｙ = 1200 \\ \frac{χ}{50} + \frac{ｙ}{80} = 18 \end{cases}

を使って、χとｙを求めよう。

まずは、下の式の分母の数字を消すところからスタート！
両辺に４００を掛けたらOKだね。

\(\frac{χ}{５０}\)×４００＋\(\frac{ｙ}{８０}\)×４００＝１８×４００
これを整理すると

８χ＋５ｙ＝７２００

となるね！
あとは、もう１つの式と数を合わせて計算を進めていこう。

答えは、
分速５０ｍで歩いた距離は４００ｍ、分速８０ｍで走った距離は８００ｍ
となるよ。

「速さの問題」では、次のパターンの問題もよくテストに出るよ！

式の作り方の確認をしよう。

２人が池の周りを反対方向にまわって、出会う時

※黒い矢印はAくん、赤い矢印はBさんの進んだ道のりと考えてね。

２人の進んだ距離の合計が、池の１周分になっていることに気づくかな。

Aくんの進んだ距離＋Bさんの進んだ距離＝３６００ｍ

ということなんだ。

次に２人が同じ方向に進んで、AくんがBさんにはじめて追いつく時

※黒い矢印はAくん、赤い矢印はBさんの進んだ道のりと考えてね。

図を見てわかる通り、Aくんが１周を差をつけてBさんと出会った、ということなんだ。
つまり

２人の進んだ距離の差が、池の１周分
Aくんの進んだ距離－Bさんの進んだ距離＝３６００ｍ

ということなんだ。

ここまで確認したら、式を作っていこう！

①何をχ、ｙとするか

「Ａくん、Ｂさんのそれぞれの速さは分速」を求める問題だから、

Aくんの速さ（分速）をχ
Bさんの速さ（分速）をｙ

とするよ。

②式を作る

まずは、「２人が池の周りを反対方向にまわって、出会う時」の式を作ろう。

Aくん、Bさんの時間、速さ、道のりを表にして確認しよう。

時間は、問題文から「１５分後に出会う」とあるので、表の時間のところには、１５を書くよ。

速さは、①で書いたχ、ｙを書こう。

道のりは、どこにも書いていないから、「み・は・じ」の公式を使って埋めるよ。

ここで求められた道のりを使って、

Aくんの進んだ距離＋Bさんの進んだ距離＝３６００ｍ

に当てはめていこう。そうすると式は、

１５χ＋１５ｙ＝３６００

となるね！

次は、「２人が同じ方向に進んで、AくんがBさんにはじめて追いつく時」の式を作ろう。

反対向きに進んだ時と同じように、２人の進んだ距離を表を使って考えていこう。

同じ方向に進んだ時は、３０分後に出会うから、それを表に書き加えよう。

反対方向に進んだ時と同じように、道のりを使って

Aくんの進んだ距離－Bさんの進んだ距離＝３６００ｍ

に当てはめていこう。そうすると式は、

３０χ－３０ｙ＝３６００

となるよ。

③連立方程式を解いて、χとｙを求める

②で作った式を使って、χとｙを求めよう。

\begin{cases} １５χ＋１５ｙ＝３６００\\３０χ－３０ｙ＝３６００\end{cases}

答えは、Aくんの速さは分速１８０ｍ、Ｂさんの速さは分速６０ｍとなるね。

連立方程式の利用「食塩水の問題」の解き方

連立方程式の問題でよく出る問題の「食塩水の問題」にチャレンジしよう。

食塩水の濃度が出てくると、理科の「質量パーセント濃度」の問題を思い出すね。
ただ、数学では濃度を求める公式は使わずに、別な公式を使うんだ。
食塩水に関する問題で使う公式だから、「食塩の公式」と呼ぶね。

公式の使い方は、代入するだけだよ。

（例）
５％の食塩水２００ｇの中に含まれる食塩の量を求める
食塩の量＝２００×\(\frac{５}{１００}\)
　　　　＝１０

さあ、この公式を使ってどんな風に問題を解くか確認していこう。

①式の作り方

２つの食塩水を混ぜ合わせると、濃度は変化するけれど、変わらないものが２つあるんだ。
それは、「食塩水の量と食塩の量」だよ。

食塩水AとBを混ぜた時に、AとBの食塩水の合計よりも、できあがった食塩水の量が多くなったり、少なかったりする、ということはありえないよね。
※誰かが飲んだり、こっそり足したりする…なんてことは考えない！

食塩も同じように、食塩水A・Bの中に含まれている食塩の量が、２つを混ぜ合わせると量が増えたり減ったりはしないんだ。

この性質を使って食塩水の問題では、

食塩水＋食塩水＝食塩水
食塩＋食塩＝食塩

という式を作るんだ。

まずは、「食塩水＋食塩水＝食塩水」の式から作ろう。

といっても、この式はすぐに完成するよ。
今回の問題では、
８％の食塩水χｇ、３％の食塩水ｙｇ、６％の食塩水５００ｇ
が登場したね。

これをさっきの式に当てはめると

「８％の食塩水＋３％の食塩水＝６％の食塩水」

ということになるから、

χ＋ｙ＝５００

で完成するよ。

次に、「食塩＋食塩＝食塩」の式を作ろう。
この式は、「食塩の公式」を使って計算する必要があるんだ。

問題に登場した３つの食塩水の中に含まれている食塩の量を求めよう。

８％の食塩水χｇの中に含まれる食塩＝χ×\(\frac{８}{１００}\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝\(\frac{８}{１００}\)χ

３％の食塩水ｙｇの中に含まれる食塩＝ｙ×\(\frac{３}{１００}\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝\(\frac{３}{１００}\)ｙ

６％の食塩水５００ｇの中に含まれる食塩＝５００×\(\frac{６}{１００}\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３０

これを「食塩＋食塩＝食塩」に当てはめると

\(\frac{８}{１００}\)χ＋\(\frac{３}{１００}\)ｙ＝３０

という式が完成するよ。

②連立方程式を解いて、χとｙを求める

①で作った連立方程式

\begin{cases} χ + ｙ = ５００ \\ \frac{８}{１００}χ + \frac{３}{１００}ｙ = ３０ \end{cases}

を解いて、χとｙを求めよう。

答えは、８％の食塩水は３００ｇ、３％の食塩水は２００ｇとなるね。

テストに出やすい連立方程式の文章題を一気に紹介したよ。
今回出てきた問題を繰り返し解いて、まずは式をスムーズに作るところからスタートしよう。

また、注意点として連立方程式の文章問題で、テストに式を書くときには

簡略化したり、両辺に数字をかけたりした式は書かない

というルールがあるよ。

（例）
\begin{cases} χ + ｙ = ５００ \\ \frac{８}{１００}χ + \frac{３}{１００}ｙ = ３０ \end{cases}

この式だと、下の式を１００倍して

\begin{cases} χ + ｙ = ５００ \\ ８χ + ３ｙ = ３０００ \end{cases}

と書きたくなるかもしれないけれど、我慢我慢…。

テストで式を聞かれたら「元の式のまま書く」ということを覚えておこう！

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ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。