「平行四辺形の定義と性質」平行四辺形の定理を証明してみよう

中学２年生の数学で学習する「平行四辺形の定義と性質」について、平行四辺形の定義とは何か、「対辺・対角」とはなにか、平行四辺形の性質はどのように証明できるのかをわかりやすく解説するよ。

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目次

• 対辺とは
• 対角とは
• 平行四辺形の定義
• 平行四辺形の性質
• 平行四辺形の性質の証明
• まとめ

平行四辺形の対辺とは

平行四辺形の辺や角の名前について確認していこう。
最初に、辺の名前から確認していくよ。
四角形の向かい合う辺を対辺たいへんと呼ぶよ。

上の図のADの対辺はBC（赤い辺どうしが対辺）、ABの対辺はDC（青い辺どうしが対辺）になるよ。

平行四辺形の対角とは

次に、角の名前を確認しよう。
四角形の向かい合う角を対角たいかくと呼ぶよ。

上の図の∠BADの対角は∠DCB（✕の印がついた角どうしが対角）、∠ABCの対角は∠CDA（●の印がついた角どうしが対角）になるよ。

平行四辺形の定義

ここから平行四辺形について、より詳しく勉強していこう。
まずは、平行四辺形の定義から確認しよう。

平行四辺形の定義　２組の対辺がそれぞれ平行な四角形

これまで登場した図形と同じように、漢字で書いたままの定義「平行な四つの辺がある四角形」だね。

平行四辺形の性質（定理）

次に、平行四辺形の３つの定理について確認しよう。

平行四辺形の定理

①平行四辺形では、２組の対辺はそれぞれ等しい

AB＝DC、AD＝BCということだよ。

②平行四辺形では、２組の対角はそれぞれ等しい

∠ABC＝∠CDA、∠BAD＝∠DCBということだよ。

③平行四辺形では、対角線はそれぞれの中点で交わる

BO＝DO、AO＝COということだよ。

それぞれの定理は、定義を使って証明することができるから確認してみよう！

平行四辺形の性質の証明

平行四辺形ABCDの頂点Bと頂点Dを結んで、△BADと△DCBが合同であることを使って証明していくよ。

△BADと△DCBにおいて
仮定のAB∥CDから、平行線の錯角が等しいので、
∠ABD＝∠CDB・・・①
仮定のAD∥CBから、平行線の錯角が等しいので、
∠ADB＝∠CBD・・・②
BDは共通・・・③

①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△BAD≡△DCB
合同な図形の対応する辺は等しいから
AB＝CD、AD＝CB
よって、平行四辺形の２組の対辺はそれぞれ等しい。

平行四辺形の辺BCの延長線上に点E、点Fをとって証明していくよ。

仮定のAD∥BCから、平行線の同位角は等しいので、
∠ABC＝∠DCE・・・①
また平行線の錯角は等しいので、
∠DCE＝∠CDA・・・②
①、②より
∠ABC＝∠CDA・・・③
※下の左側の図で確認しよう。

同様に、平行線の同位角は等しいので、
∠DCB＝∠ABF・・・④
また平行線の錯角は等しいので、
∠ABF＝∠BAD・・・⑤
④、⑤より
∠BAD＝∠DCB・・・⑥
※下の右側の図で確認しよう。

③、⑥より平行四辺形の２組の対角はそれぞれ等しい。

平行四辺形ABCDの頂点Bと頂点Dを結び、頂点Aと頂点Cを結び、その交点をOとして、△ABOと△CDOが合同であることを使って証明していくよ。

△ABOと△CDOにおいて
仮定のAB∥CDから、平行線の錯角は等しいので、
∠ABO＝∠CDO・・・①
仮定のAB∥CDから、平行線の錯角は等しいので、
∠BAO＝∠DCO・・・②
平行四辺形の対辺は等しいので、
AB＝CD・・・③

①、②、③より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△ABO≡△CDO
合同な図形の対応する辺は等しいから
AO＝CO、BO＝DO
よって、平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる。

二等辺三角形の定義・定理と同じように証明の中で「すでに正しいと認められていることがら」として使うことができるから、しっかりと覚えておこう！

平行四辺形の定義と性質まとめ

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ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。