「平行四辺形の証明」条件ごとの問題と証明の仕方・書き方を解説

問題
平行四辺形ABCDで、∠ABCと∠CDAの二等分線と辺BC、辺ADの交点をそれぞれE、Fとするならば、四角形BEDFが平行四辺形であることを証明しなさい。

証明
仮定から、
∠ABF＝∠CBF＝\(\frac{１}{２}\)∠ABC・・・①
∠ADE＝∠CDE＝\(\frac{１}{２}\)∠CDA・・・②
平行四辺形の対角はそれぞれ等しいので、
∠ABC＝∠CDA・・・③
①、②、③より
∠CBF＝∠ADE・・・④
平行四辺形の対辺は平行なのでAD∥BCだから、
FD∥BE・・・⑤
平行線の錯角は等しいので、
∠ADE＝∠CED・・・⑥
④、⑥より
∠CBF＝∠CED・・・⑦
⑦より同位角が等しいので、
BF∥DE・・・⑧
⑤、⑧より、２組の対辺がそれぞれ平行なので、
四角形BEDFは平行四辺形である。

問題
平行四辺形ABCDで、AH＝BE＝CF＝DGならば、四角形EFGHが平行四辺形であることを証明しなさい。

証明
△AEHと△CGFにおいて、
仮定から
AH＝CF・・・①
BE＝DG・・・②
平行四辺形の対辺は等しいので
AB＝CD・・・③
②、③より
AB－BE＝CD－DG
AE＝CG・・・④
平行四辺形の対角は等しいので
∠HAE＝∠FCG・・・⑤
①、④、⑤より２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△AEH≡△CGF
合同な図形の対応する辺は等しいので、
EH＝GF・・・⑧
また、△BEFと△DGHにおいても同様にして、
EF＝GH・・・⑨
⑧、⑨より２組の向かい合う辺がそれぞれ等しいので、
四角形EFGHは平行四辺形である。

問題
平行四辺形EBFDで、EA＝FC、∠ABC＝∠CDAならば、四角形ABCDが平行四辺形となることを証明しなさい。

証明
△ABEと△CDFにおいて
仮定から
AE＝CF・・・①
平行四辺形の対辺は等しいので、
BE＝DF・・・②
平行四辺形の対角は等しいので、
∠AEB＝∠CFD・・・③
①、②、③より
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ABE≡△CDF
合同な図形の対応する角は等しいので、
∠BAE＝∠DCF・・・④
一直線が作る角は１８０°となるので、
∠BAD＝１８０°－∠BAE・・・⑤
∠BCD＝１８０°－∠DCF・・・⑥
④、⑤、⑥より
∠BAD＝∠BCD・・・⑦
仮定から
∠ABC＝∠CDA・・・⑧
⑦、⑧より
２組の対角がそれぞれ等しいので
四角形ABCDは平行四辺形である。

問題
平行四辺形ABCDで対角線BD上にBE＝DFとなる点をE、Fとするならば、四角形AECFが平行四辺形となることを証明しなさい。

証明
平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとする。
平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わるから
OA＝OC・・・①
OB＝OD・・・②
仮定から
BE＝DF・・・③
②、③から
OB－BE＝OD－DF
OE＝OF・・・④
①、④より
対角線がそれぞれの中点で交わるから
四角形AECFは平行四辺形である。

問題
平行四辺形ABCDでBE＝DFとするならば、四角形AECFが平行四辺形となることを証明しなさい。

証明
仮定から
BE＝DF・・・①
平行四辺形の対辺は等しいので
BC＝DA・・・②
①、②より
BC－BE＝DA－DF
EC＝FA・・・③
平行四辺形の対辺は平行なのでAD∥BCだから
AF∥EC・・・④
③、④より
１組の対辺が平行でその長さが等しいので
四角形AECFは平行四辺形である。

問題
図のようなAB∥DCである四角形ABCDがあり、辺ADの中点をE、CEの延長とBAの延長との交点をFとするならば、四角形ACDFは平行四辺形になることを証明しなさい。

証明
△AEFと△DECにおいて、
仮定から
AE＝DE・・・①
対頂角は等しいので
∠AEF＝∠DEC・・・②
FB∥DCで平行線の錯角は等しいので
∠EAF＝∠EDC・・・③
①、②、③から、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△AEF≡△DEC
合同な図形の対応する辺は等しいので
FE=CE・・・④
①、④より、対角線がそれぞれの中点で交わるので、
四角形ACDFは平行四辺形である。