「連立方程式の解」をグラフの交点で求める方法をわかりやすく解説
中学２年生の数学で学習する、連立方程式の解を、２つの二元一次方程式のグラフの交点から求める方法をわかりやすく解説するよ。
目次
２つの二元一次方程式のグラフの交点を調べてみよう
「二元一次方程式のグラフの書き方」で説明したように、二元一次方程式はグラフで書くことができたね。
今回は、２つの二元一次方程式のグラフの交わる点（交点）について確認していくよ。
例題
次の２つの二元一次方程式のグラフを書いて、交点の座標を求めなさい。
２χ＋ｙ＝１
χ－ｙ＝－４
まずは、それぞれの式を「ｙ＝」の形に変形して、傾きと切片を求めるところからスタートしよう。
２χ＋ｙ＝１
↓２χを右辺に移項
ｙ＝－２χ＋１ 傾き－２、切片１
χ－ｙ＝－４
↓χを右辺に移項
－ｙ＝－χ－４
↓両辺に－１を掛ける
ｙ＝χ＋４ 傾き１、切片４
傾きと切片がわかったから、２つのグラフを書こう。
グラフを見ると交点の座標は、（－１、３）ということがわかるね！
連立方程式の解をもとめてみよう
次に上の例題の２つの式を組み合わせた連立方程式の解を求めてみよう。
例題
連立方程式\begin{cases}２χ＋ｙ＝１\\χ－ｙ＝－４\end{cases}の解を求めなさい。
※連立方程式の解き方が不安な人は、「連立方程式（二元一次方程式）の解き方「加減法・代入法」を解説」で確認しよう。
今回は２つの式のたし算すると、計算することができるね。
２χ＋ｙ＝ １
＋） χーｙ＝－４
３χ ＝－３
χ ＝－１
χ＝－１を２χ＋ｙ＝１に代入してｙを求めよう。
２×（－１）＋ｙ＝１
－２ ＋ｙ＝１
ｙ＝３
この連立方程式の解は、χ＝－１、ｙ＝３ということがわかったね。
連立方程式の解とグラフの交点
２つの二元一次方程式のグラフの交点の座標と連立方程式の解を見てみると、「グラフの交点の座標＝連立方程式の解」という関係になっていることに気がついたかな？
この考え方は、これから出てくる問題でもよく使うから覚えておこう！
ここからは、「グラフの交点の座標＝連立方程式の解」の考え方を使った問題にチャレンジしていくよ。
例題
次の２つの直線の式と交点の座標を求めなさい。
グラフを見てみると、交点が読み取りやすい値ではないことがわかるね。
このパターンの時には、
（１）２つの直線の式を求める
（２）２つのグラフの式を使って、連立方程式の解を求める
という手順で求めるよ。
（１）２つの直線の式を求める
まずは、グラフから直線の式を求めよう。
グラフから直線の式を求める時の手順について復習しよう。
グラフから直線の式を求める手順
①グラフから切片を求める
②χのプラス側で読み取りやすい点を見つける
③切片から②の点まで「右にいくつ進んだか」「上下にいくつ進んだか」を求める
④③で求めた値をａ＝\(\frac{上下に進んだ数}{右に進んだ数}\)に代入してａを求める
※忘れてしまった人は、「一次関数の式の求め方をパターン別にわかりやすく解説」で確認しよう。
右上がりの黒い直線の式を使って、一次関数の式の求め方を復習するよ。
右下がりの赤い直線の式は、自分の力で求めてみよう！
①グラフから切片を求める
グラフを見ると、切片の座標は（０、－１）だから、ｙ＝ａχ＋ｂのｂ（切片）は－１ということがわかるね！
②χのプラス側で読み取りやすい点を見つける
上のグラフの切片ではない方の赤い点（１、１）が読み取りやすい点だよ。
③切片から②の点まで「右にいくつ進んだか」「上下にいくつ進んだか」を求める
切片から②で求めた点までは、グラフを見てわかる通り「右に１」「上に２」進んだ点ということがわかるね。
④③で求めた値をａ＝\(\frac{上下に進んだ数}{右に進んだ数}\)に代入してａを求める
ａを求める式に代入すると
ａ＝\(\frac{２}{１}\)
＝２
と求めることができるよ。
①から④で求めた値から、右上がりの黒い直線の式はｙ＝２χ－１と求めることができたね。
同じように右下がりの赤い直線の式を求めると、ｙ＝－χ＋３になるよ。
（２）２つのグラフの式を使って、連立方程式の解を求める
（１）で求めた２つの式を連立方程式として解を求めよう。
\begin{cases}ｙ＝２χ－１\\ｙ＝－χ＋３\end{cases}
どちらも「ｙ＝」の形だから、代入法を使って計算すると簡単に求めることができるね！
※代入法が苦手な人は加減法で解くのもOKだけど、計算ミスをしないように注意しよう。
ｙ＝２χ－１のｙに、ｙ＝－χ＋３の－χ＋３を代入すると、－χ＋３＝２χ－１となるよ。
あとは計算を進めてχを求めていこう。
－χ＋３＝２χ－１
↓２χを左辺へ、＋３を右辺へ移項
－χ－２χ＝－１－３
↓
－３χ＝－４
↓両辺に－\(\frac{１}{３}\)をかけて、「χ＝」の形に変形
－\(\frac{１}{３}\)×－３χ＝－\(\frac{１}{３}\)×－４
χ＝\(\frac{４}{３}\)
χ＝\(\frac{４}{３}\)をｙ＝２χ－１に代入してｙを求めよう。
ｙ＝２×\(\frac{４}{３}\)－１
↓右辺は、通分して（分母を３に揃えて）計算をする
ｙ＝\(\frac{８}{３}\)－\(\frac{１}{１}\)
＝\(\frac{８}{３}\)－\(\frac{１×３}{１×３}\)
＝\(\frac{８}{３}\)－\(\frac{３}{３}\)
＝\(\frac{５}{３}\)
計算結果から、２つの直線の式の交点は（\(\frac{４}{３}\)、\(\frac{５}{３}\)）と求めることができたね。
今回の例題のように、交点の値が読み取りにくいパターンもテストでは出題されるから、求める手順を忘れないように復習しよう。
応用問題にチャレンジ！
２つの直線の交点の座標を求めなさい。
この問題も解く手順は、
（１）２つの直線の式を求める
（２）２つのグラフの式を使って、連立方程式の解を求める
で進めていこう。
（１）２つの直線の式を求める
今回の問題では、切片がわかっているけれど、切片の右側の点がわからないから、直線の求め方で困った人も多かったかな？
２点がわかっている時の傾きを求める方法を使うと、簡単に求めることができるよ。
左側にある点から、右側にある点に「右にいくつ進んだか」「上下にいくつ進んだか」を求めて、ａ＝\(\frac{上下に進んだ数}{右に進んだ数}\)に代入すると傾きを求めることができるよ。
右上がりの黒い直線を使って解き方を確認していこう。
図を見てわかる通り、左側の点（－６、０）から右側の点（０、６）に向けて「右に６」「上に６」進んでいるね。
だからこの直線の傾きは、ａ＝\(\frac{上下に進んだ数}{右に進んだ数}\)に代入したら、ａ＝１と求めることができるよ。
ｂは座標からｂ＝６ということがわかるね。
これで右上がりの黒い直線は、ｙ＝χ＋６と求めることができるよ。
右下がりの赤い直線も同じように解き進めていこう。
左側の点（－２、０）から右側の点（０、－４）に向けて「右に２」「下に４」進んでいるからａ＝－２
ｂは座標からｂ＝－４となるので、
右下がりの直線は、ｙ＝－２χ－４と求めることができるよ。
（２）２つのグラフの式を使って、連立方程式の解を求める
ここからは、例題と同じように（１）で求めた２つの式を連立方程式で計算していこう。
\begin{cases}ｙ＝χ＋６\\ｙ＝－２χ－４\end{cases}
ｙ＝χ＋６のｙに、ｙ＝－２χ－４の－２χ－４を代入すると、－２χ－４＝χ＋６となるよ。
あとは計算を進めてχを求めると、χ＝－\(\frac{１０}{３}\)
次にχ＝－\(\frac{１０}{３}\)をｙ＝χ＋６に代入してｙを求めると、ｙ＝\(\frac{８}{３}\)
計算結果から、２つの直線の式の交点は（－\(\frac{１０}{３}\)、\(\frac{８}{３}\)）と求めることができるよ。
「グラフの交点の座標＝連立方程式の解」の関係については、一次関数の応用問題でも良く出るパターンだから、教科書や学校のワークの問題を解いて復習しよう！
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ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
