連立方程式（二元一次方程式）の解き方「加減法・代入法」を解説
中学２年生の数学で学習する連立方程式の解き方「加減法」と「代入法」についてわかりやすく解説するよ。
連立方程式とは何か、二元一次方程式とは何か、加減法と代入法の解き方を問題を例にして詳しく説明するよ。
目次
二元一次方程式とは
中学１年生の時に習った、方程式ってどんなものだったか、覚えているかな？
方程式は、正体不明の文字のχ（エックス）が入っている等式、だったね。
※２χ＋４＝１のような式だったね！
では、今回登場する「二元一次方程式」をひとことで言うと、「正体不明の文字が２文字（χやｙ、ａやｂなど）入っている等式」のことなんだ。
※方程式や不等式に含まれる変数（文字）の数を「元」っていうんだ。中学１年生の時に習った方程式は、文字が１つだから、一元一次方程式、ということなんだ。
早速、二元一次方程式の次の問題について見てみよう！
例題
２χ＋ｙ＝１２は、χやｙにいくついれると成り立つか考えよう。
この問題、答えがいくつもあることに気づいたかな？実際に解いて確認してみよう。
| χの値 | 代入した式 | ｙの値 |
| χ＝０ | ２×０＋ｙ＝１２ | ｙ＝１２ |
| χ＝１ | ２×１＋ｙ＝１２ | ｙ＝１０ |
| χ＝２ | ２×２＋ｙ＝１２ | ｙ＝８ |
| χ＝３ | ２×３＋ｙ＝１２ | ｙ＝６ |
| χ＝４ | ２×４＋ｙ＝１２ | ｙ＝４ |
こんな風に二元一次方程式の答えの組み合わせは、１つではなく複数あることが特徴なんだ。
※ちなみに方程式の答えのことを数学用語で、「解」というんだ。覚えておこう！
テストでこの問題が出たら、答えがいくつもあって、どうやって解いたらいいかわからなくなってしまうね。
丸つけをする先生も大変になりそうなんだけれど、テストでは実際にどんな問題が出ているか見てみよう。
問題
３χ－４ｙ＝８を成り立たせる解を次から選びなさい。
ア、χ＝１、ｙ＝２ イ、χ＝－２、ｙ＝－２
ウ、χ＝３、ｙ＝１ エ、χ＝４、ｙ＝１
答えの選び方は、数字を代入するだけでOKだよ。
左辺の文字に数字を代入して、「＝８」になるかを確認してみよう。
| 解の組合わせ | 左辺に代入した式 | 値 | 〇ｏｒ✕ |
| ア、χ＝１、ｙ＝２ | ３×１－４×２ | －５ | ✕ |
| イ、χ＝２、ｙ＝２ | ３×２－４×２ | －２ | ✕ |
| ウ、χ＝３、ｙ＝１ | ３×３－４×１ | ５ | ✕ |
| エ、χ＝４、ｙ＝１ | ３×４－４×１ | ８ | 〇 |
それぞれを代入すると、「＝８」になったのは、
χ＝４、ｙ＝１を代入した時だから、答えは「エ」となるんだ。
こんな風に代入して、正しい解を探す問題がテストによく出るから、覚えておこう！
連立方程式とは
実は、方程式を２つ組み合わせたものが存在するんだ。それを「連立方程式」っていうんだ。
連立方程式の例
\begin{cases} ２χ＋ｙ＝１１\\χ－２ｙ＝３ \end{cases}
２つの方程式のχとｙに代入して成り立つ数字の組み合わせが、連立方程式の解だよ。早速の解がいくつになるか考えてみよう。
まずは、２χ＋ｙ＝１１の解を考えるよ。
| χの値 | 代入した式 | ｙの値 | 解 |
| χ＝１ | ２×１＋ｙ＝１１ | ｙ＝９ | χ＝１、ｙ＝９ |
| χ＝２ | ２×２＋ｙ＝１１ | ｙ＝７ | χ＝２、ｙ＝７ |
| χ＝３ | ２×３＋ｙ＝１１ | ｙ＝５ | χ＝３、ｙ＝５ |
| χ＝４ | ２×４＋ｙ＝１１ | ｙ＝３ | χ＝４、ｙ＝３ |
| χ＝５ | ２×５＋ｙ＝１１ | ｙ＝１ | χ＝５、ｙ＝１ |
次に、χ－２ｙ＝３の解を考えよう。
| χの値 | 代入した式 | ｙの値 | 解 |
| χ＝１ | １－２ｙ＝３ | ｙ＝－１ | χ＝１、ｙ＝－１ |
| χ＝２ | ２－２ｙ＝３ | ｙ＝－\(\frac{１}{２}\) | χ＝２、ｙ＝－\(\frac{１}{２}\) |
| χ＝３ | ３－２ｙ＝３ | ｙ＝０ | χ＝３、ｙ＝０ |
| χ＝４ | ４－２ｙ＝３ | ｙ＝\(\frac{１}{２}\) | χ＝４、ｙ＝\(\frac{１}{２}\) |
| χ＝５ | ５－２ｙ＝３ | ｙ＝１ | χ＝５、ｙ＝１ |
この２つの方程式の解の組み合わせから共通しているものは、χ＝５、ｙ＝１だね。
ということで、この連立方程式の解は、χ＝５、ｙ＝１となるんだ。
ここまでの内容で実際にテストに出題されたことがある問題を紹介するね。
問題
次のχ、ｙの値の組の中で、
\begin{cases} ３χ＋２ｙ＝－１５\\－４χ－ｙ＝５ \end{cases}
の解はどれですか。
ア、χ＝－１、ｙ＝１ イ、χ＝－３、ｙ＝－３
ウ、χ＝１、ｙ＝－９ エ、χ＝２、ｙ＝２
答えの選び方は、それぞれの式にχとｙの値を代入して成り立つものを選らべばＯＫだよ。
| 解の組み合わせ | 上の式に代入した結果 「＝－１５」になるか | 下の式に代入した結果 「＝５」になるか | 〇ｏｒ✕ |
| ア、χ＝－１、ｙ＝１ | －１ | ３ | どちらも✕ |
| イ、χ＝－３、ｙ＝－３ | －１５ | １５ | 下の式が✕ |
| ウ、χ＝１、ｙ＝－９ | －１５ | ５ | どちらも〇 |
| エ、χ＝２、ｙ＝２ | １０ | －１０ | どちらも✕ |
どちらも成り立ったのは、χ＝１、ｙ＝－９の時だから、答えは「ウ」となるよ。
こうして解いてみると、すごく大変だし時間もかかるよね……。
実は、連立方程式では解き方があるんだ。それを説明していくね！
どちらかの文字を「消去」しよう
連立方程式の計算問題で、どうやったら解を出すことができるかを確認していこう。
連立方程式では、文字が２つあるから求めることができないけれど、式を変形して文字が１つだけの式にできたら、中学１年生の時の方程式のように求めることができるんだ。
では、どうしたら文字が１つだけの式にできるか、例題を使って確認してみよう！
例題
連立方程式\begin{cases} ２χ＋２ｙ＝１０……①\\－２χ－ ｙ＝－４ ……②\end{cases}を解きなさい。
１、足したり引いたりしたら０になる文字を探す。
①と②のそれぞれの式にあるχ、ｙについて確認していこう。
χの場合 ①では２χ、②では－２χ
ｙの場合 ①では２ｙ、②では－ｙ
となっているね。
ここで、χは、たし算をしたら０になることに気がつくかな？
たし算をした場合 ２χ＋（－２χ）＝０
一方で、ｙは、たし算をしてもひき算をしても０にはならないよね。
たし算をした場合 ２ｙ＋（－ｙ）＝ｙ
ひき算をした場合 ２ｙ－（－ｙ）＝３ｙ
今回の問題では、①と②の式をたし算すれば、χを消すことができる、ということなんだ。
２、２つの式を筆算の形でたし算（もしくは、ひき算）する。
今回は、さっき説明したように①と②の式をたし算するよ。
２χ＋２ｙ＝１０
＋）－２χ－ ｙ＝－４
０ ＋ ｙ＝６
こんな風に①と②の式をたし算をすると、χがなくなってｙだけの式になったね。
３、求められたχやｙの値を元の式に代入する。
求められたｙ＝６を①か②の式に代入すると、χを求めることができるよ。今回は①の式に代入して計算をしよう。
※代入とは、文字と数字を入れ替える、と覚えておこう！
２χ＋２×６＝１０
↓代入したら計算を進めよう。
２χ＋１２ ＝１０
↓左辺のχがついていない数字だけの項を、右辺に移項しよう。
２χ ＝１０－１２
↓移項したら計算をしよう
２χ ＝－２
↓「χ＝」の形に変形しよう。両辺に\(\frac{１}{２}\)をかけよう。
２χ×\(\frac{１}{２}\) ＝－２×\(\frac{１}{２}\)
χ＝－１
連立方程式の解は、χ＝－１、ｙ＝６
今回の問題のように、文字χをふくむ２つの方程式から、χをふくまない１つの方程式をつくることを、χを消去する、というので覚えておこう！
では、次の問題にチャレンジしてみよう。
問題
連立方程式\begin{cases} ２χ＋４ｙ＝ ８……①\\２χ－２ｙ＝－１０ ……②\end{cases}を解きなさい。
さっきの例題の手順に沿って考えていこう。
１、足したり引いたりしたら０になる文字を探す。
①と②のそれぞれの式にあるχ、ｙについて確認すると
χの場合 ①では２χ、②では２χ
ｙの場合 ①では４ｙ、②では－２ｙ
となっているね。
今回の問題では、①と②の式をひき算すれば、χを消すことができるね。
２、２つの式を筆算の形でたし算（もしくは、ひき算）する。
今回の問題では、ひき算するので、計算する時は、符号を変えるのを忘れずに！
２χ＋４ｙ＝ ８
－） ２χ－２ｙ＝－１０
↓下の式の符号を変える
２χ＋４ｙ＝ ８
＋）－２χ＋２ｙ＝＋１０
０ ＋６ｙ＝１８
これを整理すると、ｙ＝３と求めることができるね。
３、求められたχやｙの値を元の式に代入する。
求められたｙ＝３を①の式に代入して計算をしよう。
２χ＋４×３＝８
↓代入したら計算を進めよう。
２χ＋１２ ＝８
↓左辺のχがついていない数字だけの項を、右辺に移項しよう。
２χ ＝８－１２
↓移項したら計算をしよう
２χ ＝－４
↓「χ＝」の形に変形しよう。両辺に\(\frac{１}{２}\)をかけよう。
２χ×\(\frac{１}{２}\) ＝－４×\(\frac{１}{２}\)
χ＝－２
連立方程式の解は、χ＝－２、ｙ＝３
基本的な解き方は、これでOK！解く手順を忘れないようにしよう。
消去の方法➀加減法とは
連立方程式は、１文字を消去する、という方法で解を求めることができるけれど、細かく分けるといくつかのパターンに分かれるんだ。
例題を見ながら解き方を確認していこう。
例題
連立方程式\begin{cases} χ＋２ｙ＝５……①\\２χ＋３ｙ＝８……②\end{cases}を解きなさい。
１、どちらかの文字の前の数字をそろえる
問題を見てみると、χもｙも数字がそろっていないね。このままだと、①と②の２つの式を足したり、引いたりしても文字が消えないんだ。
そこで最初にやることは、分数の時の通分のように何か数字をかけて、どちらかの文字の前の数字をそろえるところからスタートしよう。
χでもｙでも、自分の好きな方でＯＫ！今回は、χをそろえていこう。
χに注目すると
①は、χ ②は、２χだから、①に２倍すると文字の前の数字がそろうね。
※χ×２＝２χとなるよ。
ただし、注意しなきゃいけないのは、数字をかける時には、式全体に（左辺にも右辺にも）かける必要があるよ。
実際にかけてみると
①×２ ２χ＋４ｙ＝１０
② ２χ＋３ｙ＝８
と変化するよ。
２、２つの式を筆算の形でたし算（もしくは、ひき算）する。
χやｙの数字がそろったから、２つの式をひき算すると１文字消去することができるね！
２χ＋４ｙ＝１０
－） ２χ＋３ｙ＝ ８
↓ひき算をする時には、下の式の符号を変えることを忘れずに！
２χ＋４ｙ＝１０
＋）－２χ－３ｙ＝－８
０ ＋ ｙ＝２
３、求められたχやｙの値を元の式に代入する。
あとは、ここで求められたｙ＝２を①の元の式（２をかける前の式）に代入してχを求めよう。
※２をかけた後の式に代入しても求めることができるけれど、計算する時の数字が大きくなって、計算ミスをする可能性があるから、元の式に代入することがおすすめだよ。
①の式は、χ＋４ｙ＝１０だったから、これにｙ＝２を代入すると
χ＋４×２＝１０
χ＋ ８ ＝１０
↓８を左辺に移項すると
χ ＝１０－８
χ＝２
連立方程式の解は、χ＝２、ｙ＝２
では、次の問題にチャレンジしてみよう！
例題
連立方程式\begin{cases} ５χ＋３ｙ＝ ２……①\\９χ－２ｙ＝１１……②\end{cases}を解きなさい。
さっき問題と同じ手順で解き進めていこう。
１、どちらかの文字の前の数字をそろえる
今回はｙの数字をそろえて解いていくよ。（もちろんχでも解くことができるよ。）
ｙを見てみると①は３ｙ、②は－２ｙだね。
実は今回の問題は、①か②の片方にだけ数字をかけても、数字がそろわないんだ。①と②にそれぞれ何か数字をかけてそろえていくよ。
①に×２、②に×３をすると数字がそろうね。
①×２ １０χ＋６ｙ＝ ４
②×３ ２７χ－６ｙ＝３３
２、２つの式を筆算の形でたし算（もしくは、ひき算）する。
ｙの数字がそろったから、あとは２つの式をたし算か、ひき算をして１文字消去しよう。今回はたし算でｙを消すことができるね。
１０χ＋６ｙ＝ ４
＋）２７χ－６ｙ＝３３
３７χ＋ ０＝３７
この式を整理して、χを求めるとχ＝１を求めることができたね。
３、求められたχやｙの値を元の式に代入する。
求めたχ＝１を元の式に代入して、ｙを求めよう。今回は①の式に代入するよ。
※②に代入しても求めることができるよ。
５×１＋３ｙ＝２
５ ＋３ｙ＝２
↓５を左辺に移項すると
３ｙ＝２－５
ｙ＝－１
連立方程式の解は、χ＝１、ｙ＝－１
この問題のように、文字の前の数字をそろえて、足したり引いたりして、１つの文字を消去して解く方法を加減法っていうんだ。覚えておこう！
消去の方法➁代入法とは
連立方程式の解き方の２つ目のパターンを紹介するね。
例題
連立方程式\begin{cases} ２χ－３ｙ＝－８……①\\χ＝４ｙ＋１ ……②\end{cases}を解きなさい。
問題を見てみると、②が見慣れない式の形をしているね。実は、この問題には２つの解き方があるんだ。
１つ目の解き方は、さっき説明した「加減法」を使った解き方だよ。その解き方から確認してみよう。
まずは、②の式を変形するところからスタートするよ。
変形方法は、右辺にある４ｙを左辺に移項しよう。
χ＝４ｙ＋１
↓４ｙを左辺に移項（符号を変えるのを忘れずに）
χ－４ｙ＝１
ここまでくると、
連立方程式\begin{cases} ２χ－３ｙ＝－８\\ χ－４ｙ＝ １\end{cases}
として、これまでの問題と同じように計算すればOK！
ただ、この解き方をすると手順が増えて、計算も面倒でミスも増えてしまいそうだね……
そこで、もう少しシンプルに計算できる方法があるから紹介するね！
②の式が「χ＝」の形になっているから、数字と同じように代入する方法なんだ。これを「代入法」っていうんだ。
これまでのような「χ＝３」の時、χと３を入れかえればOKだったね。
今回も同じように、①の式のχを４ｙ＋１に入れかえると（代入すると）計算することができるよ。
①の式２χ－３ｙ＝－８に、②の式のχ＝４ｙ＋１を代入すると
２（４ｙ＋１）－３ｙ＝－８となるんだ。
※式を代入する時は、今回のように式に（ ）をつけて代入しよう！
あとは、方程式と同じように、「ｙ＝」の形に計算をしていこう。
８ｙ＋２－３ｙ＝－８
５ｙ＋２＝－８
５ｙ＝－８－２
ｙ＝－２
求めたｙ＝－２を元の式に代入しよう。
元の式が「χ＝」「ｙ＝」の方に代入すると計算が簡単になるよ！
※今回は、χ＝４ｙ＋１に代入しよう。
χ＝４×（－２）＋１
＝－７
連立方程式の解は、χ＝－７、ｙ＝－２
連立方程式の計算問題で、代入法が使える時は、計算手順が少ないから、積極的に利用していこう。
また、テストの時には、「加減法で解きなさい」「代入法で解きなさい」という指示が出る時もあるから、どちらの解き方もマスターしていこう！
代入法では、次のような問題もあるからチャレンジしてみよう。
例題
連立方程式\begin{cases} ｙ＝χ＋１ ……①\\ｙ＝－２χ＋１３……②\end{cases}を解きなさい。
どちらも「ｙ＝」の形からはじまっている式だね。
見慣れない形だから、解くときに困ってしまいそうだけれど、代入法を使えば簡単に解くことができるよ。
①のｙ＝χ＋１のｙに②のｙ＝－２χ＋１３を代入すればＯＫ
※ｙと－２χ＋１３を入れかえるということだよ。
代入した式は、
－２χ＋１３＝χ＋１
となるから、あとは「χ＝」の形に変形していこう。
－２χ－χ＝１－１３
－３χ＝－１２
χ＝４
これを①の式に代入しよう。
ｙ＝４＋１
＝５
連立方程式の解は、χ＝４、ｙ＝５
連立方程式の計算問題は、「加減法」「代入法」の２つの解き方があるけれど、どちらにも共通しているのは、「１つの文字を消去する」ということだよ。
多くの問題を解いて、早く正確に解くことができるようにしよう！
運営者情報
ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る
青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
-
-
とってもわかりやすいです！ありがとうございます
５ｘ－２ｙ＝４
７ｘー６ｘ＝－４の文字が２つと１つの時はどうすればいいのかわかんないです！