「多角形の内角の和」と「外角の和」の求め方をわかりやすく解説

中学２年生の数学で学習する「多角形の角」について、内角とはなにか、外角とはなにか、多角形の内角の和の求め方と、多角形の外角の和の求め方をわかりやすく解説するよ。

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目次

• 多角形の示し方
• 多角形の外角とは
• 多角形の内角とは
• 多角形の内角の和
• 多角形の外角の和
• まとめ

多角形の示し方

中学２年生の図形の単元がスタートするけれど、まずは中学１年生の時に習った内容の復習をしよう。

図形を示す時には、図形の名前の後に、頂点の名前（A、B、C、Dなど）を周にそって順に示すんだったんね。

上の図であれば、図形は四角形で、頂点の順はＡ→Ｂ→Ｄ→Ｃだから、四角形ＡＢＤＣとなるよ。
今回の図のように、頂点の順（上の図の場合：ＡＢＤＣ）＝アルファベットの順（ＡＢＣＤ）にならない時もあるから注意しよう。
※上の図の四角形を書くときに、四角形ＡＢＣＤと書いたら間違いになるよ。

多角形の外角とは

次は図形の角度の名前について確認しよう。
最初に確認するのは、外角がいかくという角なんだけれど、どんなものか図を使って説明するね。

１つの辺と、その隣の辺を延長した時にできる図形の外側の角のことを外角というんだ。

頂点Ａのところにできる外角は、上の図のように「辺ＡＢを延長した場合の∠ＣＡＰ」と「辺ＡＣを延長した場合の∠ＢＡＱ」の２つのパターンが考えられるけれど、どちらでもＯＫだよ。
なぜなら、∠ＣＡＰの大きさと∠ＢＡＱの大きさは等しくなるからなんだ。

ちなみに３つ目に書いてある、「頂点Aの外側をぐるっと囲むような角」は、外角とは言わないので注意しよう。
※外角は１８０度よりも大きくなることはないので、覚えておこう！

多角形の内角とは

小学５年生の時に習った「内角」について、覚えているかな？
さっきの外角は図形の外側にできる角だけれど、内角は文字のとおり内側にできる角のことだったね。

頂点Ａのところにできている∠ＢＡＣ（または∠ＣＡＢ）が内角だね。

また上の図を見ると、１つの内角と隣り合う外角の和が１８０°になっていることに気づいたかな？

つまり∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＰ＝１８０°という関係なっているんだ。

これは角度の計算問題でも使える便利な関係式だから、忘れずに覚えておこう！

多角形の内角の和

次は内角の和について確認していくよ。

三角形や四角形の内角の和は、それぞれ１８０°や３６０°になることは覚えているよね。

中学２年生で習う多角形では、八角形や十二角形などこれまで見たことがないような図形の内角の和を求める問題も出てくるんだ。

そこで、内角の和の求め方について確認をしていくよ。

多角形の内角の和は、「１つの頂点から対角線を引いたとき、いくつ三角形ができるか」という考え方を使って求めていくんだ。

四角形を例に見てみよう。

頂点Aから引くことができる対角線は１本（AD）だけだね。
対角線を引くと、四角形ＡＢＤＣは△ＡＣＤと△ＡＢＤの２つに分けることができるね。

次に△ＡＣＤの①、②、③の角と△ＡＢＤの④、⑤、⑥の角の関係について見ていこう。

三角形の内角の和は１８０°になるから、
①＋②＋③＝１８０°・・・・（１）
④＋⑤＋⑥＝１８０°・・・・（２）

四角形ＡＢＤＣの内角の和は、上の図で考えると
①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥となるから、（１）と（２）を足して３６０°と求めることができるんだ。

これを整理すると、

• 四角形では１つの頂点から対角線を引いて２つの三角形を作ることができる
• 四角形の内角の和は、三角形の数×２で求めることができる

ということがわかるよ。

実は四角形以外の五角形、六角形、七角形も同じように、１つの頂点から対角線を引いて作ることができる三角形の数を使って、内角の和を求めることができるんだ。

多角形ごとの三角形の個数と内角の和を求める式

作ることができる三角形の個数は、その多角形の「辺の数－２」になっていることに気づいたかな？
※辺の数は、○角形の○の部分の数字と同じになるよ。四角形なら４本、五角形なら５本だね。

内角の和は、三角形の数、つまり「辺の数－２」に１８０を掛けると求めることができるよ。

この２つを組み合わせると、多角形の内角の和を求める公式は次のようになるよ。

早速この公式を使った練習問題にチャレンジしてみよう。

この問題は、さっき習った公式をそのまま使えば、すぐに求めることができるね。

十角形だから、辺の数は１０なので、（１０－２）×１８０＝１４４０と求めることができるよ。

公式を覚えていたら簡単に求めることができるから、公式を忘れないように色々な問題にチャレンジしよう。

多角形の外角の和

次は多角形の外角の和について確認をしよう。

内角のところで説明した「１つの内角と、隣り合う外角の和は１８０°」という性質を使って考えていくよ。

上の図で「１つの内角と、隣り合う外角の和は１８０°」だから
①＋⑤＝１８０°、②＋⑥＝１８０°、③＋⑦＝１８０°、④＋⑧＝１８０°

これを全て足すと
①＋⑤＋②＋⑥＋③＋⑦＋④＋⑧＝１８０°＋１８０°＋１８０°＋１８０°
　　　　　　　　　　　　　　　＝７２０°・・・・（１）

四角形の内角の和は、３６０°だから
①＋②＋③＋④＝３６０°・・・・（２）

（１）の式を整理して、（２）を代入すると
①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＝７２０°
　　　 ３６０°＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＝７２０°
　　　　　　　　 ⑤＋⑥＋⑦＋⑧＝３６０°

⑤＋⑥＋⑦＋⑧は四角形の外角を足したものだから、四角形の外角の和は３６０°になるということがわかるんだ。

くまごろう

つまりは、まず全ての「内角＋外角」の合計である７２０°を求めて、そこから「内角の合計の３６０°」を引けば、「残りは外角の合計」になるという考え方だね。

他の多角形でも同じように計算すると、外角の和を求めることができるんだけれど、実はどの多角形も外角の和は３６０°になるんだ。

だから、外角の和を聞かれたときには計算不要で３６０°と答えよう。

非常にシンプルな性質なんだけれど、色々な問題で使われる考え方だから、問題演習を通して使い方をマスターしよう。

問題

（１）正十二角形の外角の和を求めなさい

（２）正十二角形の１つの外角の大きさを求めなさい。

（３）下の図の∠χの大きさを求めなさい。

（１）正十二角形の外角の和

何角形でも、外角の和は必ず３６０°になるから、答えは３６０°になるよ。

（２）正十二角形の１つの外角の大きさ

正十二角形の外角の和が３６０°だから、それを１２等分すればOKだよ。
３６０°÷１２＝３０°

（３）∠χの大きさ

「多角形の外角の和は３６０°」の性質を使うと求めることができる問題だね。
∠χ以外の外角がわかっているので、３６０°から∠χ以外の角度の合計を引いてあげれば、∠χの角度を求めることができるね。

７１°＋８０°＋９６°＋χ＝３６０°
　　　　　　　　　　　　χ＝３６０°－２４７°
　　　　　　　　　　　　χ＝１１３°

「内角の和の公式」や「多角形の外角の和は３６０°」の考え方を使った問題は定期テストでよく出題されるから、学校のワークや教科書の問題で繰り返し練習をしよう！

「多角形の内角の和・多角形の外角の和」まとめ

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ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。