「三角形の合同条件３つ」とは？なぜ合同になるのか？くわしく解説

中学２年生の数学で学習する「三角形の合同条件」について、三角形の合同条件３つをそれぞれくわしく紹介。なぜそれらが合同の条件となるのか、実際に作図をしてみながら、基本から解説していくよ。

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合同な三角形をかくのに必要な条件とは

２つの図形がぴったり重なり合うとき、２つの図形は「合同」というんだったね。
それでは、「合同な図形」をかくには、どんな方法があるんだろう？
今回の学習では、「合同な２つの三角形」をかくにはどうすればいいのか、「２つの三角形が合同である」ということを証明するには、どんな条件がそろえばいいのか？を考えていくよ。

それでは、まず「合同な三角形をかく方法」について確認していこう。

これまでに解いたことがある作図の問題と同じように、「辺の長さ」と「角の大きさ」に注目して、どんな条件の時に決まった１つの三角形を作図できるかを考えてみよう。

くまごろう

ある条件のときに、「決まった１つの三角形を作図できる」ということは、つまり「その条件だと、かならず決まった形の三角形になる」ということだよね。

かならず決まった形の三角形になるということは、その条件でかいた三角形は、すべておなじ形になるから、「合同になる」ということなんだよ。

だから、その「条件」がなにかを探そう、ということだね。

その条件は、３つあるんだよ。

①３つの辺の長さがわかっている時

３つの辺の長さが、３ｃｍ、７ｃｍ、８ｃｍの三角形の作図をすると考えてみよう。

３つの辺のうち、どれか１つの辺を定規を使ってひき、残りの２辺の長さをコンパスで取り、作図をすると１つの三角形しかできないよ。
※回転したものは同じ三角形として考えるよ。

３つの辺の長さがわかるだけで、かならずひとつの決まった三角形になるなんて、すこし不思議だよね。

でも、実際に３つの長さが決まった辺を、スキマや余分な辺ができないようにして三角形をつくろうとしてみると、「ぴったり３つの辺が組み合わさって三角形になる」形は、たった一つしかないことがわかるよ。

合同な三角形をかくための条件➀

３つの辺の長さが決まると、たったひとつの三角形にしかならない
→「３つの辺の長さが同じであれば、合同の三角形になる」

②２つの辺の長さと２辺の間の角の大きさがわかっている時

まずは、「２つの辺の長さと１つの角の大きさがわかっている」場合の作図について考えてみるよ。

たとえば、２つの辺の長さが４ｃｍと８ｃｍで、１つの角の大きさが３０°の三角形の作図をするとしたらどうなるだろう。

２つの辺のどちらか１つの辺を定規を使ってひき、角度は分度器を使い、残りの１辺はコンパスを使って作図をしてみよう。

たとえば、８cmの辺を定規を使ってひいて、その８cmの辺の右端に分度器で３０°を測って、残りの１辺（４cm）はコンパスを使って作図するとするよ。

この方法で三角形を作図すると、２通りの三角形がかけてしまうんだ。

どうしてかというと、
角３０°を作る直線と、８cmの辺の左端を中心とした半径４cmの円の交わる点は、２つあるから。

ということは、２辺と１つの角がわかっただけでは、三角形の形は何通りかできてしまうので、ひとつに定まらないね。
だから、合同条件にすることはできないね。

でも、「１つの角の位置」を長さがわかっている『２辺の間の角』とすると、なんと作図結果は１つになるんだ。

「８cmの辺と、４cmの辺の間が、３０°の角」の三角形を作図してみよう。

２つの辺と、その間の角の大きさがわかれば、できる三角形はたった一つになるよ。

ということは、「２つの辺と、その間の角が同じ三角形は、合同になる」といえるね。

合同な三角形をかくための条件➁

２つの辺の長さと、その間の角の大きさが決まると、たったひとつの三角形にしかならない
→「２つの辺の長さとその間の角が同じであれば、合同の三角形になる」

③１つの辺の長さと２つの角の大きさがわかっている時

それでは、「１つの辺の長さと、２つの角の大きさがわかっている」場合はどうだろう？

たとえば、１つ辺の長さが４ｃｍで、２つの角の大きさが３０°と４５°の三角形の作図をして考えてみよう。

１つの辺は定規を使ってひき、角度は分度器を使って作図をしてみよう。

このパターンも上の図のように、４cmの辺の左端に３０°の角があるのか、それとも４５°の角があるのかによって２通りの作図結果ができてしまうんだ。

ということは、１つの辺の長さと、２つの角の大きさがわかっただけでは、三角形の形は１つには定まらないので、合同条件に使うことはできないね。

けれど、「２つの角の位置」を長さがわかっている『１辺の両端りょうたん』とすると作図結果は１つになるんだよ。

１つの辺と、その両端の角の大きさがわかれば、できる三角形はたった一つになるんだね。

ということは、「１つの辺と、その両端の角が同じ三角形は、合同になる」といえるね。

合同な三角形をかくための条件③

１つの辺の長さと、その両端の角の大きさが決まると、たったひとつの三角形にしかならない
→「１つの辺の長さとその両端の角が同じであれば、合同の三角形になる」

この３つのパターンをまとめると

３つの辺の長さがわかっている時
２つの辺の長さとその間の角の大きさがわかっている時
１つの辺の長さとその両端の角の大きさがわかっている時

この３つのうち、いずれかの条件の時は、合同な三角形を作図することができるということだね。