「一次関数の式の求め方」をパターン別にわかりやすく解説
中学２年生の数学で学習する一次関数について、グラフから一次関数の式を求める方法や、「傾き」「切片」「座標」それぞれのうちどれが分かっているかによるパターンごとの式の求め方をくわしく解説するよ。
目次
これまでの学習で「一次関数のグラフの特徴」や、一次関数の「傾き」や「切片」「座標」について学習してきたね。
今回は、一次関数の式を、グラフを読み取って求める方法や、分かっている「傾き」「切片」「座標」の乗法などから求める方法を学習するよ。
「グラフ」、「傾き」、「切片」、「座標」のうち何が分かっているかによって、式を求める方法が変わるんだ。
何が読み取れるかのパターン別に、式を求める方法をそれぞれ解説していくよ。
一次関数の式の求め方
「グラフ」から式を求めてみよう
まずは、「一次関数のグラフ」から式を求める方法を確認しよう。
グラフから一次関数の式を求める手順
①切片を確認して、ｙ＝ａχ＋ｂのｂを求める
②χのプラス側で読み取りやすい点を見つける
③切片から②の点まで「右にいくつ進んだか」「上下にいくつ進んだか」を求める
④③で求めた値をａ＝\(\frac{上下に進んだ数}{右に進んだ数}\)に代入してａを求める
上の手順で早速グラフから一次関数の式を求めてみよう。
問題
（１）（２）のグラフから一次関数の式を求めなさい。
（１）
確認した手順の通りに問題を解いていこう。
①切片を確認して、ｙ＝ａχ＋ｂのｂを求める
切片の座標は上のグラフから（０、－３）だね。
だからｂは－３ということがわかるよ。
②χのプラス側で読み取りやすい点を見つける
上のグラフの②の点（１、－１）が読み取りやすい点だね。
※（２、１）や（３、３）を読み取った場合でも式を求めることができるよ。
③切片から②の点まで「右にいくつ進んだか」「上下にいくつ進んだか」を求める
上のグラフから、切片から②の点は、「右に１」「上に２」進んでいることがわかるね。
④③で求めた値をａ＝\(\frac{上下に進んだ数}{右に進んだ数}\)に代入してａを求める
ａ＝\(\frac{上下に進んだ数}{右に進んだ数}\)に③で求めた「右に１」「上に２」を代入するよ。
ａ＝\(\frac{２}{１}\)
＝２
これで、（１）の式がｙ＝２χ－３と求めることができたね！
※ちなみに、②で（２、１）を読み取った場合、切片から「右に２」「上に４」進むから、ａ＝\(\frac{上下に進んだ数}{右に進んだ数}\)に代入すると
ａ＝\(\frac{４}{２}\)
＝２
となって、ａの値は同じさっき求めたものと同じになるよ。
同じ手順で（２）も求めてみよう。
（２）
①切片を確認して、ｙ＝ａχ＋ｂのｂを求める
切片の座標は上のグラフから（０、２）だね。
だからｂは２ということがわかるよ。
②χのプラス側で読み取りやすい点を見つける
上のグラフの②の点（４、－１）が読み取りやすい点だね。
③切片から②の点まで「右にいくつ進んだか」「上下にいくつ進んだか」を求める
上のグラフから、切片から②の点は、「右に４」「下に３」進んでいることがわかるね。
④③で求めた値をａ＝\(\frac{上下に進んだ数}{右に進んだ数}\)に代入してａを求める
ａ＝\(\frac{上下に進んだ数}{右に進んだ数}\)に③で求めた「右に４」「下に３」を代入するよ。
※「下に３」ということは、－３を代入するよ。
ａ＝\(\frac{－３}{４}\)
＝－\(\frac{３}{４}\)
これで、（２）の式がｙ＝－\(\frac{３}{４}\)χ＋２と求めることができたね！
グラフから式を求める時は、難しい計算もないから、手順を覚えるまで何度も繰り返しも問題に取り組もう。
一次関数の式の求め方
「傾きと切片が分かっている」場合
では、「傾き」と「切片」が分かっている場合の一次関数の式の求め方はどうすればいいのだろう？
ｙ＝ａχ＋ｂの基本知識も確認することも含めて、傾きと切片がわかっている場合の一次関数の式を求めてみよう。
ｙ＝ａχ＋ｂのａ、ｂにはそれぞれ名前があったのは覚えているかな？
ａは、「傾き」「比例定数」「変化の割合」
ｂは、「切片」
これがわかっていれば、これから取り組む問題は簡単に解くことができるよ。
問題
次の一次関数の式を求めなさい。
（１）傾きが－５、切片が－２
（２）傾きが３、切片が－１
（１）（２）のどちらもａが傾き、ｂが切片ということがわかればすぐに求めることができるね。
（１）
傾きが－５だから、ａが－５
切片が－２だから、ｂが－２
一次関数の式は、ｙ＝－５χ－２
（２）
傾きが３だから、ａが３
切片が－１だから、ｂが－１
一次関数の式は、ｙ＝３χ－１
ａが傾き、ｂが切片という知識は、一次関数では非常に重要な知識だから忘れることが無いようにしっかり確認しておこう。
一次関数の式の求め方
「傾きと通る1点の座標が分かっている」場合
次に「傾き」だけがわかっているパターンの問題にチャレンジしてみよう。
ここからはいよいよ計算が必要になるけれど、決して難しい計算ではないから、丁寧にミスなく取り組んでいこうね。
まずは、例題を使って解き方を確認していくよ。
例題
ｙがχの一次関数で、そのグラフの傾きが３で、点（－２、１）を通るとき、この一次関数の式を求めなさい。
問題文から「傾きが３」ということは、ａ＝３ということだからｙ＝３χ＋ｂとなるね。
次に点（－２、１）を通る、と書いてあるね。
これは、これから求める式は、χ＝－２のときｙ＝１ということを表してるから、ｙ＝３χ＋ｂに代入しよう。
１＝３×（－２）＋ｂ
１＝－６＋ｂ
ｂ＝－７
と求めることができたね。
つまり、この式の切片は－７ということがわかったね。
これで、傾きが３、切片が－７とわかったので、この問題の答えは
ｙ＝３χ－７となるよ。
傾きと通る１点の座標がわかっているときの一次関数の式を求める手順
①傾きを代入して、ｙ＝○χ＋ｂの形にする。
※○には数字が入るよ。
②通る１点の座標を式に代入して、ｂを求める。
手順はこれだけだから、計算ミスしないように解くことができれば問題なし！
早速問題にチャレンジしてみよう。
問題
次の条件を満たす一次関数の式を求めなさい。
（１）傾きが－２で、点（３、２）を通る。
（２）傾きが\(\frac{３}{２}\)で、点（４、－１）を通る。
それでは、さっき確認した手順通りに問題を解いていこう。
（１）
①傾きを代入して、ｙ＝○χ＋ｂの形にする。
傾きが－２だから、ｙ＝－２χ＋ｂとなるね。
②通る１点の座標を式に代入して、ｂを求める。
通る点は（３、２）だから、χ＝３のときｙ＝２ということだね。
これを①の式に代入すると
２＝－２×３＋ｂ
２＝－６＋ｂ
ｂ＝８
となるから、求める式はｙ＝－２χ＋８ということがわかるよ。
（２）
①傾きを代入して、ｙ＝○χ＋ｂの形にする。
傾きが\(\frac{３}{２}\)だから、ｙ＝\(\frac{３}{２}\)χ＋ｂとなるね。
②通る１点の座標を式に代入して、ｂを求める。
通る点は（４、－１）だから、χ＝４のときｙ＝－１ということだね。
これを①の式に代入すると
－１＝\(\frac{３}{２}\)×４＋ｂ
２＝６＋ｂ
ｂ＝－４
となるから、求める式はｙ＝\(\frac{３}{２}\)χ－４ということがわかるよ。
傾きを式に当てはめて点を代入する、というシンプルな手順だからミスなく取り組んでいこう。
一次関数の式の求め方
「通る2点の座標が分かっている」場合
一次関数の式を求める最後のパターンにチャレンジしよう。
傾きも切片もわからず、「通る２点の座標だけがわかっている問題」なんだ。
例題を使って解き方を確認していくよ。
例題
ｙがχの一次関数で、そのグラフが２点（－２、１）、（３、６）を通るとき、この一次関数の式を求めなさい。
実はこの問題は２つの求め方があるんだ。
それぞれの解き方について確認していくよ。
パターン１ 連立方程式を使った解き方
まずは、ｙ＝ａχ＋ｂにそれぞれの点を代入すると
１＝－２ａ＋ｂ
６＝ ３ａ＋ｂ
この２つの式を連立方程式として計算して、ａとｂを求めよう。
実はこの計算は、ｂの係数が絶対に１になるから、２つの式をひき算すればＯＫだよ！
１＝－２ａ＋ｂ
－）６＝ ３ａ＋ｂ
↓ ひき算をたし算に変えて（符号を変えるのも忘れずに）
１＝－２ａ＋ｂ
＋）－６＝－３ａ－ｂ
－５＝－５ａ
ａ＝１
↓ これを１＝－２ａ＋ｂに代入すると
１＝－２×１＋ｂ
１＝－２＋ｂ
ｂ＝３
計算結果からｙ＝χ＋３と求めることができたね！
この方法は、解く手順はシンプルだけれど、計算ミスしないように注意が必要だよ。
パターン２ 傾きを使った解き方
次の解き方は、２点から傾きを求める方法だよ。
解く手順は少し多くなるけれど、計算量が少ないから、計算に自信がない人にはおすすめだよ。
①「右に進んだ数」と「上下に進んだ数」から、傾きを求める
与えられた２点をグラフに描いて、「右に進んだ数」と「上下に進んだ数」を求めるところからスタートするよ。
※慣れたらグラフは省略してもOKだよ。
慣れるまでは途中式と同じように書き残しておくと、ミスなく解くことができるよ。
グラフはこんな感じでOKだよ。
これを見てみると、（－２、１）から（３、６）までは
右に５進んで、上に５進んだ点、ということがわかるね。
これをａ＝\(\frac{上下に進んだ数}{右に進んだ数}\)に代入すれば、傾きを求めることができるよ。
ａ＝\(\frac{５}{５}\)
＝１
これで傾きを求めることができたね！
※一番最初のグラフから一次関数の式を求める問題では、切片をスタートの位置にしていたけれど、切片がわからない場合には、今回の問題のように切片以外の点をスタート位置にしてもＯＫだよ。
②２点のうち好きな方の座標を式に代入して、ｂを求める。
①からｙ＝χ＋ｂまでは求められたから、この式に２点（－２、１）、（３、６）のどちらかを代入して、ｂを求めよう。
今回は（－２、１）を代入するね。
１＝１×（－２）＋ｂ
１＝－２＋ｂ
ｂ＝３
この結果から、今回求める式はｙ＝χ＋３と求めることができて、パターン１で解いた答えと同じ答えになったね。
通る２点がわかっている一次関数の式の求め方
パターン１ 連立方程式を使った解き方
２点をｙ＝ａχ＋ｂに代入して、出てきた２つの式を連立方程式として計算する。
パターン２ 傾きを使った解き方
①「右に進んだ数」と「上下に進んだ数」から、傾きを求める
②２点のうち好きな方の座標を式に代入して、ｂを求める。
確実にミスなく解くことができるパターンを使っていこう！
問題
次の条件を満たす一次関数の式を求めなさい。
（１）グラフが２点（－１、７）、（１、３）を通る。
（２）χ＝２のときｙ＝－３、χ＝４のときｙ＝－９
（１）
この問題は連立方程式を使った解き方で解説するよ。
傾きを使った解き方をした場合は、求めた式が一致するか確認しよう。
また、余裕がある場合には連立方程式を使った解き方にもチャレンジしてみよう。
２点をｙ＝ａχ＋ｂに代入すると
７＝－ａ＋ｂ
３＝ ａ＋ｂ
これを連立方程式として、計算すると
（今回はたし算をすると簡単に計算できるよ！）
７＝－ａ＋ｂ
＋）３＝ ａ＋ｂ
１０＝ ２ｂ
ｂ＝５
これを７＝－ａ＋ｂに代入すると
７＝－ａ＋５
２＝－ａ
ａ＝－２
計算結果から答えは、ｙ＝－２χ＋５となるね。
（２）
この問題は、傾きを使った解き方で解説するよ。
連立方程式を使った解き方をした場合は、求めた式が一致するか確認しよう。
また、余裕がある場合には傾きを使った解き方にもチャレンジしてみよう。
①「右に進んだ数」と「上下に進んだ数」から、傾きを求める
与えられた２点をグラフに描いて、「右に進んだ数」と「上下に進んだ数」を求めよう。
これを見てみると、「χ＝２のときｙ＝－３」から「χ＝４のときｙ＝－９」までは
右に２進んで、下に６進んだ点、ということがわかるね。
これをａ＝\(\frac{上下に進んだ数}{右に進んだ数}\)に代入すると
ａ＝\(\frac{－６}{２}\)
＝－３
これで傾きが－３とわかったね。
②２点のうち好きな方の座標を式に代入して、ｂを求める。
①からｙ＝－３χ＋ｂまでは求められたから、この式にχ＝２、ｙ＝－３を代入して、ｂを求めよう。
※χ＝４、ｙ＝－９を代入しても同じ答えになるよ。
－３＝－３×２＋ｂ
－３＝－６＋ｂ
ｂ＝３
これで答えは、ｙ＝－３χ＋３ということがわかったね。
一次関数の式を求める問題は、色々な解き方があるけれど、どの問題が出てきても解くことができるように、繰り返し問題を解いて全てのパターンをマスターしよう！
運営者情報
ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る
青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
明日定期テスト2日目で数学があり、なんと範囲が一次関数なんです。数学の先生の教え方が僕に合わずあまり理解できず、とても不安だったのですがとても分かりやすかったです。ありがとうございます。明日頑張りたいと思います。