「中点連結定理」とは？三角形の中点連結定理の証明をわかりやすく解説

中学３年生の数学で学習する三角形の「中点連結定理」について、中点連結定理とはどういうことか、なぜ中点連結定理が成り立つのかを、証明する方法をくわしく解説しているよ。

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目次

• 中点連結定理とは
• 中点連結定理の問題
• 中点連結定理の証明問題

中点連結定理とは

「中点連結定理」とは、「三角形と比の定理」の少し特殊なバージョンだと思っておけばOKだよ。

名前の通り「中点」を「連結」させたときの性質のことだよ。
ちなみに、図形の中点を連結させたときの定理なので、今回紹介する三角形以外の図形（たとえば平行四辺形など）でも、この中点連結定理があるよ。

それでは三角形の中点連結定理について学習しよう。

三角形の場合、中点連結定理とは、下のような三角形で中点DとEを結ぶと、DE//BC、DE：BC＝１：２になるという定理だよ。

ざっくり説明すると、三角形の２つの辺のそれぞれ真ん中になる点をとって、その点どうしを結ぶと、結んだ辺と三角形の底辺は平行になる、ということだね。

さらに、その辺と三角形の底辺の比は、１：２になるんだね。

教科書には次のように載っているよ。

中点連結定理の練習問題

中点連結定理を使う問題では、辺の長さを求める問題がよく出るよ。

問題　次の図で、ｘの長さを求めなさい。

Dは辺ABの中点、Eも辺ACの中点だから、DとEを連結すると、中点連結定理が使えるね。

ということは辺DEと底辺BCの比は、１：２になるね。
なので、辺DEは底辺BC×\(\frac{１}{２}\)で求めることができるね。

DE＝\(\frac{１}{２}\)BC
DE＝\(\frac{１}{２}\)×８
DE＝４

辺DEの長さは４ｃｍと求めることができたね。

中間連結定理の証明問題

それでは、そもそもなぜ中点連結定理が成り立つのか考えてみよう。

中点連結定理とは次のような定理だったね。

中点連結定理は、中点どうしを結んだ辺と底辺が「平行になること」と、中点どうしを結んだ辺が底辺の「\(\frac{１}{２}\)になること」の２つに分かれているので、それぞれひとつずつ順番に証明していくよ。

中点どうしを結んだ辺と底辺が平行になることの証明

三角形の２辺の中点で連結すると、△ADEと△ABCは相似になるよ。

なぜかというと、∠Aは共通でAD：AB＝AE：AC＝１：２になって、相似条件の「２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」を満たすからだね。

△ADEと△ABCが相似だということは、対応する角が等しくなるから
∠ADE＝∠Bになるよね。

緑丸の位置は同位角の位置で、同位角の∠ADE＝∠Bが等しくなるということは、平行線の性質によりDEとBCは平行になることがわかるね。

これで、「中点どうしを結んだ辺と底辺が平行になること」の証明ができたね。

中点どうしを結んだ辺は底辺の\(\frac{１}{２}\)になることの証明

青（△ADE）と赤（△ABC）の三角形は相似になるんだったよね。

２つの三角形をわけて考えてみよう。

点Dは辺ABの中点、点Eは辺ACの中点だから、AD：AB＝AE：AC＝１：２になっているよね。

相似な図形の性質を思い出してみよう。

ということは、△ADEと△ABCは相似な図形なので、対応する辺の長さの比はそれぞれ等しいということだね。

AD：AB＝AE：AC＝１：２なのだから、残ったDE：BCの長さの比も１：２になるということだよね。

これで、「中点どうしを結んだ辺は底辺の\(\frac{１}{２}\)になること」の証明ができたね。

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ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。