「一次関数の変化の割合」とは？求め方を分かりやすく解説
中学２年生の数学で学習する「一次関数」について、「変化の割合」とはなにか、変化の割合はどうやって求めることができるのかをくわしく解説するよ。
目次
一次関数の変化の割合とは
ｙ＝３χ＋１の表を使って、一次関数の性質について確認をしてみよう。
| χ | －２ | －１ | ０ | １ | ２ |
| ｙ | －５ | －２ | １ | ４ | ７ |
χが－２から－１へ１増えた時、ｙは３増えているよね。
χが１から２へ１増えた時も、ｙは３増えているね。
χが１増えたら、ｙが３増える関係のように、
χが１増えたときのｙがいくつ増えるか、という割合のことを変化の割合っていうんだ。
今回の式では、変化の割合は３ということになるよ。
変化の割合にはこんな公式もあるんだ。
変化の割合＝\(\frac{ｙの増加量}{χの増加量}\)
増加量は、文字の通りで増加した量（増えた数字）のことだよ。
そして、さっきの表で確認してわかる通り、一次関数の変化の割合は常に一定でｙ＝ａχ＋ｂのａと同じになるんだ。
早速これらの性質を使って、問題にチャレンジしてみよう。
問題
ｙ＝－３χ＋４で、χの値が次のように増加したときのχとｙの増加量と変化の割合を、それぞれ求めなさい。
（１）２から４まで
（２）－５から－１まで
解き方の手順は
①与えられたχの値に対応するｙの値を求める
②表を書く
③いくつ増えているか（増加量）を計算
④公式に代入
で進めていこう。
（１）
①与えられたχの値に対応するｙの値を求める
今回の問題では、χが２から４まで増加、と書いてあるね。
だから、χが２の時とχが４の時のｙの値を式に代入して求めるよ。
χが２の時
ｙ＝－３×２＋４
＝－２
χが４の時
ｙ＝－３×４＋４
＝－８
②表を書く
| χ | ２ | ４ |
| ｙ | －２ | －８ |
③いくつ増えているか（増加量）を計算
χの増加量
χは２から４まで増えているので、２増加
ｙの増加量
ｙは－２から－８まで増えているので、－６増加
ｙは減っているのに増加？と思った人もいるかもしれないけれど、中学１年生の時に勉強した正負の数を思い出そう！
－２から－８は、６減っているよね。
「減っている」を「増えている」に変えた時、どういう風に表現したらいいかな？
これは、数字の符号を変えるとOKなんだ。
だから、「６減っている」は「－６増えている」と同じなんだよ。
ちなみに、増加量は計算でも求めることができるよ。
さっきの表を使うと、「右側の数字」－「左側の数字」の計算をすればOK。
| 左側の数字 | 右側の数字 | |
| χ | ２ | ４ |
| ｙ | －２ | －８ |
χの増加量＝４ー２
＝２
ｙの増加量＝－８－（－２）
＝－８＋２
＝－６
慣れてくると計算の方が、ミスなく解くことができるよ！
※②で表を書いてもらった理由は、この計算で解くためなんだ。
表を書くことで、「右側の数字」－「左側の数字」を間違ずに解くことができるから慣れるまでは書くようにしよう！
④公式に代入
最後に変化の割合を求めるために、公式に代入しよう。
変化の割合＝\(\frac{ｙの増加量}{χの増加量}\)
＝\(\frac{－６}{２}\)
＝－３
そして、一次関数の変化の割合はｙ＝ａχ＋ｂのａと同じ値になるので、確認しておこう。
※ちなみに、一次関数で変化の割合だけを聞かれた場合には、ｙ＝ａχ＋ｂのａの値を答えたら良いので、計算は不要だよ！
（１）の答えは、
χの増加量２、ｙの増加量－６、変化の割合－３
（２）
（２）も（１）と同じ流れで解き進めよう。
①与えられたχの値に対応するｙの値を求める
今回の問題では、χが－５から－１まで増加、と書いてあるね。
だから、χが－５の時とχが－１の時のｙの値を式に代入して求めるよ。
χが－５の時
ｙ＝－３×（－５）＋４
＝１９
χが－１の時
ｙ＝－３×（－１）＋４
＝７
②表を書く
| χ | －５ | －１ |
| ｙ | １９ | ７ |
③いくつ増えているか（増加量）を計算
さっき説明した計算で求めよう！
χの増加量＝－１－（－５）
＝４
ｙの増加量＝７ー１９
＝－１２
④公式に代入
最後に変化の割合を求めるために、公式に代入しよう。
変化の割合＝\(\frac{ｙの増加量}{χの増加量}\)
＝\(\frac{－１２}{４}\)
＝－３
（２）の答えは、
χの増加量４、ｙの増加量－１２、変化の割合－３
一次関数の変化の割合について
①一次関数の変化の割合は、ｙ＝ａχ＋ｂのａと同じ値になる
②変化の割合を求める公式は、
変化の割合＝\(\frac{ｙの増加量}{χの増加量}\)
変化の割合を求める問題
変化の割合について色々な問題にチャレンジしてみよう。
問題
次の一次関数の変化の割合を求めなさい。また、χの増加量が３のときのｙの増加量を求めなさい。
（１）ｙ＝－２χ＋４
（２）ｙ＝３χ
（３）ｙ＝－\(\frac{１}{３}\)χ＋２
（１）
変化の割合は、式を見たらすぐにわかるね！
変化の割合は、－２
次にｙの増加量について求めてみよう。
変化の割合の公式をそのまま利用すればOKだよ。
変化の割合＝\(\frac{ｙの増加量}{χの増加量}\)
にわかっている数字を代入すると
－２＝\(\frac{ｙの増加量}{３}\)
ここから、「ｙの増加量＝」の形に変形すればＯＫ！
右辺と左辺を入れ替えて、両辺に「×３」をすれば求められるね。
\(\frac{ｙの増加量}{３}\) ＝－２
\(\frac{ｙの増加量}{３}\)×３＝－２×３
ｙの増加量＝－６
公式のように
ｙの増加量＝χの増加量×変化の割合
と覚えてもいいけれど、覚えることが増えて大変・・・という場合には、今回解いた方法がおすすめだよ。
答え 変化の割合－２、ｙの増加量－６
（２）
変化の割合は、式を見たままでOKだから３だね。
ｙの増加量は、公式に代入して計算をしていこう。
３＝\(\frac{ｙの増加量}{３}\)
↓右辺と左辺を入れ替えて、両辺に３を掛ければOK
ｙの増加量＝９
答え 変化の割合３、ｙの増加量９
（３）
分数の問題だから難しそうに見えるけれど、（１）（２）と同じように解けばOK！
変化の割合は、－\(\frac{１}{３}\)
ｙの増加量は、
－\(\frac{１}{３}\)＝\(\frac{ｙの増加量}{３}\)
↓右辺と左辺を入れ替えて、両辺に３を掛ければOK
ｙの増加量＝－１
答え 変化の割合－\(\frac{１}{３}\)、ｙの増加量－１
一次関数の変化の割合について確認をしたけれど、反比例の場合はどうなるのか確認してみよう。
問題
反比例ｙ＝\(\frac{１２}{χ}\)で、χの値がの次のように増加した時の変化の割合を求めなさい。
（１）２から４まで
（２）３から６まで
解くときの手順は、一次関数の時と同じように
①与えられたχの値に対応するｙの値を求める
②表を書く
③いくつ増えているか（増加量）を計算
④公式に代入
で進めていくよ。
（１）
①与えられたχの値に対応するｙの値を求める
χ＝２を式に代入すると
ｙ＝\(\frac{１２}{２}\)
＝６
χ＝４も同じように代入すると
ｙ＝\(\frac{１２}{４}\)
＝３
②表を書く
| 左側の数字 | 右側の数字 | |
| χ | ２ | ４ |
| ｙ | ６ | ３ |
※増加量を求めるために、「左側の数字」「右側の数字」を表に書き加えているよ。
③いくつ増えているか（増加量）を計算
「右側の数字」－「左側の数字」の計算をして求めよう。
χの増加量＝４ー２
＝２
ｙの増加量＝３－６
＝－３
④公式に代入
\(\frac{ｙの増加量}{χの増加量}\)
に代入して、変化の割合を求めよう。
変化の割合＝－\(\frac{３}{２}\)
（２）
①与えられたχの値に対応するｙの値を求める
χ＝３を式に代入すると
ｙ＝\(\frac{１２}{３}\)
＝４
χ＝６も同じように代入すると
ｙ＝\(\frac{１２}{６}\)
＝２
②表を書く
| 左側の数字 | 右側の数字 | |
| χ | ３ | ６ |
| ｙ | ４ | ２ |
※増加量を求めるために、「左側の数字」「右側の数字」を表に書き加えているよ。
③いくつ増えているか（増加量）を計算
「右側の数字」－「左側の数字」の計算をして求めよう。
χの増加量＝６ー３
＝３
ｙの増加量＝２－４
＝－２
④公式に代入
\(\frac{ｙの増加量}{χの増加量}\)
に代入して、変化の割合を求めよう。
変化の割合＝－\(\frac{２}{３}\)
答え （１）－\(\frac{３}{２}\) （２）－\(\frac{２}{３}\)
答えを見てわかるとおり、反比例では
変化の割合＝比例定数（反比例の場合は、ｙ＝\(\frac{ａ}{χ}\)のａが比例定数だよ）にはならないんだ。
変化の割合＝比例定数になるのは、一次関数（比例もOK）の特徴だということも覚えておこう！
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ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
