平方根の計算「平方根の掛け算と割り算」を解説（有理化とは）

中学３年生の数学で学習する「平方根の乗法と除法」について、平方根のかけ算・割り算はどのように計算をすれば良いのかを解説するよ。

平方根の変形の考え方と方法や、平方根を変形することで近似値を求めたり、有理化する方法も紹介していくよ。

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目次

• 平方根の乗法
• 平方根の除法
• 平方根の変形
• 平方根を変形して近似値を求めよう
• 有理化とは
• まとめ

平方根の乗法のやり方

平方根の乗法（かけ算）のやり方は、普通のかけ算に「ルート」がついただけだと思えばＯＫだよ。
平方根の乗法は、ルートの中の数字をかけ合わせるだけなんだ。

たとえば、
\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{５}\)
だったら、ルートの中の数字（２と５）をかけ合わせるだけなので、
\(\sqrt{２×５}\)
＝\(\sqrt{１０}\)
となるよ。

もう一問やってみよう。

\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)
だったら
\(\sqrt{２×３}\)
＝\(\sqrt{６}\)
となるね。

なぜルートの中の数字をかけ合わせるだけでいいのか？

ただ「ルートの中の数字をかけ合わせるだけでよい」とはいっても、どうしてそうなるのか、理由を確かめてみよう。

\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)を例として考えてみるよ。

①\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)の計算を考えよう。

\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)を２乗してみよう
=（\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)）^２
=\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)×\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)

（\(\sqrt{２}\)と\(\sqrt{３}\)）の順番を入れ替えるよ。
=\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)×\(\sqrt{３}\)
=（\(\sqrt{２}\)）^２×（\(\sqrt{３}\)）^２
=２×３

つまり
（\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)）^２＝２×３
になるね。

②左辺と右辺の平方根を考えよう。

今求めた（\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)）^２＝２×３の、左辺と右辺の平方根を考えてみるよ。

平方根とは、「２乗する前の数」だったよね。

左辺（\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)）^２の平方根は\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)

右辺の２×３の平方根は\(\sqrt{２×３}\)だから、

\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)＝\(\sqrt{２×３}\)＝\(\sqrt{６}\)という式が成り立つね。

これで、平方根の乗法は、ルートの中の数字をかけ合わせたものと等しい、ということを確かめることができたね。

平方根の除法のやり方

平方根の除法（割り算）もさっきのかけ算と同じように、ルートの中の数字を割り算するだけだよ。

例えば
\(\sqrt{１０}\)÷\(\sqrt{２}\)
だったら、
\(\sqrt{１０÷２}\)
＝\(\sqrt{５}\)

ルートの中で１０÷２をしているだけだね。

もう一問やってみよう。

\(\sqrt{１４}\)÷\(\sqrt{７}\)
だったら、
\(\sqrt{１４÷７}\)
＝\(\sqrt{２}\)

最後にもう一問やってみよう。

\(\sqrt{５}\)÷\(\sqrt{２}\)
５÷２は割り切れないよね。そういうときは分数であらわそう。
割り算の場合、÷の後の数を分母にすればよいから
\(\sqrt{５÷２}\)
＝\(\frac{\sqrt{５}}{\sqrt{２}}\)
となるよ。

分母にも分子にもルートがあるときは、まとめて次のように表すことができるよ。

\(\frac{\sqrt{５}}{\sqrt{２}}\)
＝\(\sqrt{\frac{５}{２}}\)

まさに普通の割り算と同じようにできるね。

ちなみに、このように割り算で分母がルートになったとき、テストなどでは「有理化」して分母がルートにならないようにするのが安全だよ。

問題で特別指示がないのであれば、明確に「ダメ」というわけではないのだけれど、暗黙の了解（答えの分数は、約分していないとバツになる、などと同じ）で分母がルートの場合は、有理化することになっていて、そのままだと不正解や減点の対象になってしまう場合もあるんだ。

有理化については、このあとやり方を解説するので安心してね。

平方根の変形のやり方

平方根は、変形することができるんだ。
今までも\(\sqrt{４}\)＝２と変形させたり、３＝\(\sqrt{９}\)に変形させたりしてきたよね。

今回学習する「平方根の変形」は、次の２つのパターンだよ。

それでは順番に紹介していくね。

ａ\(\sqrt{ｂ}\)を\(\sqrt{ｃ}\)にする

例えば、２\(\sqrt{３}\)を\(\sqrt{ｃ}\)の形に変形してみるよ。

２\(\sqrt{３}\)とは、２×\(\sqrt{３}\)のことだよね。
２＝\(\sqrt{４}\)だから、
２\(\sqrt{３}\)
＝２×\(\sqrt{３}\)
＝\(\sqrt{４}\)×\(\sqrt{３}\)　　　←ルートのかけ算をしよう。
＝\(\sqrt{４×３}\)　　
＝\(\sqrt{１２}\)
２\(\sqrt{３}\)＝\(\sqrt{１２}\)になることがわかったね。

今度は、３\(\sqrt{２}\)を\(\sqrt{ｃ}\)の形に変形してみよう。

３\(\sqrt{２}\)とは、３×\(\sqrt{２}\)のことだね。
３＝\(\sqrt{９}\)だから、
３\(\sqrt{２}\)
＝３×\(\sqrt{２}\)
＝\(\sqrt{９}\)×\(\sqrt{２}\)　　　←ルートのかけ算をしよう。
＝\(\sqrt{９×２}\)
＝\(\sqrt{１８}\)
３\(\sqrt{２}\)＝\(\sqrt{１８}\)になることがわかったね。

\(\sqrt{ｃ}\)をａ\(\sqrt{ｂ}\)に変形する

こんどは逆の変形をさせるよ。

\(\sqrt{２５}\)＝５のような変形はやってきたよね。
どういうときにルートの中から数字が出ていくかというと、ルートの中で同じ数字が２つかけ合わされているときだよね。

\(\sqrt{２５}\)だったら
\(\sqrt{５×５}\)になるよね。
\(\sqrt{５×５}\)
＝\(\sqrt{５}\)×\(\sqrt{５}\)だからルートの外に５が出ていくよ。

同じように考えてみよう。

\(\sqrt{１２}\)をａ\(\sqrt{ｂ}\)に変形してみよう。

さっきの例のように、２５は５の２乗だということはすぐに思いつくかもしれないけれど、１２となると、パッとは思いつかないかもしれないね。

そんなときは、素因数分解をするといいんだ。

１２を素因数分解すると、２×２×３となるよね。
つまり、「２」が２回かけ合わされていることがわかるね。
だから、「２」をルートの外に出すことができるんだ。

ということは
\(\sqrt{１２}\)
＝\(\sqrt{２×２×３}\)
＝\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)　　←\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{２}\)＝２
＝２×\(\sqrt{３}\)
＝２\(\sqrt{３}\)

と表すことができるね。

\(\sqrt{１８}\)をａ\(\sqrt{ｂ}\)に変形してみよう。

１８を素因数分解すると２×３×３になるね。
つまり、「３」が２回かけ合わされているから、「３」をルートの外に出すことができるね。

ということは
\(\sqrt{１８}\)
＝\(\sqrt{２×３×３}\)
＝\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)×\(\sqrt{３}\)　　←\(\sqrt{３}\)×\(\sqrt{３}\)＝３＝\(\sqrt{２}\)×３
＝３\(\sqrt{２}\)

と表すことができるね。

\(\sqrt{２４}\)をａ\(\sqrt{ｂ}\)に変形してみよう。

２４を素因数分解すると２×２×２×３だよね。

ということは
\(\sqrt{２４}\)
＝\(\sqrt{２×２×２×３}\)
＝\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)　
\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{２}\)＝２だから
＝２×\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{３}\)
＝２\(\sqrt{６}\)
と表すことができるね。

２×２×２×３は２×２が１セットあるから、ルートの外に出て、残った２×３はルートの中のままになるよ。

\(\sqrt{ｃ}\)をａ\(\sqrt{ｂ}\)の形にする変形はテストでもすごくよく使うんだ。
だから、速く変形するコツを紹介するね。

平方根を変形して近似値を求めよう

平方根の近似値は以前学習したよね。

このように、ルートの中の数字が「２」「３」「５」の場合の近似値を求めることはできるよね。

ルートの中の数が大きくても、平方根を変形して「２」「３」「５」を作り出すことができれば、近似値を求めることができるんだよ。

\(\sqrt{１２}\)の近似値を考えてみよう。
\(\sqrt{１２}\)をａ\(\sqrt{ｂ}\)の形にすると、
\(\sqrt{１２}\)
＝\(\sqrt{２×２×３}\)
＝２\(\sqrt{３}\)
になるよね。

２\(\sqrt{３}\)とは、２×\(\sqrt{３}\)のことだから、\(\sqrt{３}\)の近似値を代入することができるよ。

そうすると
２×\(\sqrt{３}\)
＝２×1.7320508
＝3.4641016

\(\sqrt{１２}\)の近似値を求めることができたね。

\(\sqrt{２７}\)の近似値を考えてみよう。

\(\sqrt{２７}\)をａ\(\sqrt{ｂ}\)の形にすると、
\(\sqrt{２７}\)
＝\(\sqrt{３×３×３}\)
＝３\(\sqrt{３}\)
になるよね。

３\(\sqrt{３}\)とは３×\(\sqrt{３}\)のことだから、\(\sqrt{３}\)の近似値を代入することができるよ。
そうすると
３×\(\sqrt{３}\)
＝３×1.7320508
＝5.1961524

\(\sqrt{27}\)の近似値を求めることができたね。

有理化とは

有理化とは、分母にルートを含む数を、分母にルートを含まない形にすることだよ。

平方根の暗黙のルールとして、テストで答えるときに分母にルートがついていると減点されたり、不正解になる場合もあるんだ。
だから、有理化して分母のルートをなくす作業が必要なんだよ。

\(\frac{\sqrt{３}}{\sqrt{２}}\)を有理化してみよう。

このままだと、分母にルートがあるよね。
分母のルートを消すためには、分母と同じ数のルートを、分母と分子にかけたらいいよ。

今回だったら分母と分子に\(\sqrt{２}\)をかけてみよう。

\(\frac{\sqrt{３}}{\sqrt{２}}\)
＝\(\frac{\sqrt{３}×\sqrt{２}}{\sqrt{２}×\sqrt{２}}\)　　←\(\sqrt{２}\)×\(\sqrt{２}\)＝２
＝\(\frac{\sqrt{６}}{２}\)

分母のルートがなくなったことがわかるね。これが有理化だよ。
ほとんどの場合、分母のルートと同じ数をかければOKだよ。

「平方根の乗法と除法」まとめ

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ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る

青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。