「yはxの二乗に比例する」関数とは？二次関数との違い・比例定数

中学３年生の数学で学習する「y=ax2（ｙはｘの二乗に比例する）」関数について、二乗に比例するとはどういう特徴をもっているのか、y=ax2（ｙはｘの二乗に比例する）の比例定数とは何かをくわしく解説するよ。

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「yはxの二乗に比例する」関数とは？ 二次関数との違い・比例定数

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目次

yはxの二乗に比例する関数

「関数」とは、「xの値が1つ決まる」と、「yの値もただ1つ決まる」という関係のことだったよね。
※「関数」とは何かをわかりやすく解説しているページもあるよ

今まで、比例や反比例、一次関数などの関数を学習してきたね。

今まで学習してきた関数

・比例　y=ax

・反比例　y=\(\frac{a}{x}\)

・1次関数　y=ax+b

3年生の数学で学習するのは、「二乗に比例する関数」だよ。

二乗に比例する関数の身近な例

「二乗に比例する」と言われても、ちょっとピンとこないね。
実際の例をもとに説明していくよ。

たとえば、「坂道で球を転がしてみた時」を考えてみよう。
坂道で球を転がすと、だんだんスピードアップして転がり落ちていく（加速していく）よね。

坂を転がし始めてから、1秒ごとの球の位置を記録したら次のようになったよ。

球が斜面を転がる様子
球が斜面を転がるときの時間と距離

この表を見ると

xが2倍、3倍、4倍・・・となるとyの値は4倍、9倍、16倍・・・となっているよね。

じゃあxとyの関係はどうなるだろう？
xとyだけの関係で考えると、

x=1のときは、y=0.2（y=0.2x）
x=2のときは、y=0.8（y=0.8x）
x=3のときは、y=1.8（y=1.8x）

・・・となってしまって、比例定数が定まらないね。
つまり、これは比例の関係ではないということだね。

そこで、さっきの表に「x2」を付け足してみるよ。

球が斜面を転がるときの時間ｘとｘ^2と距離ｙ

x２=1のときは、y=0.2（y=0.2x2）
x２=4のときは、y=0.8（y=0.2x2）
x２=9のときは、y=1.8（y=0.2x2）

比例定数が定まったね。
つまり、この表を見るとyの値はx2の値の0.2倍になっていることがわかるよね。

ｘ^2とｙの関係を表した表

だから
y=0.2x2
と表すことができるんだよ。

「y=0.2x2」という式からもわかるけれど、「yはxの二乗に比例する」関数になっているよね。

二乗に比例する関数の形

y=0.2x2は「yはxの二乗に比例する」関数だったよね。

「yはxの二乗に比例する」関数の形を紹介しよう。

yはxの二乗に比例する関数

  • y=ax2で表すことができる
  • 「a」のことを比例定数と呼ぶ
  • 比例定数「a」はa=\(\frac{y}{x^2}\)で求めることができる
    ※ただし、この式は「y=ax2」の両辺を「x2」で割ったら出てくるので、絶対に覚える必要はないよ。

「２次関数」と「ｙはｘの二乗に比例する関数」の違い

２年生で「1次関数」を学習したから、３年生で学習したこの「y=ax2」のことは「２次関数」とは言わないの？と思う人も多いかもしれないね。

「２次関数」と「ｙはｘの二乗に比例する関数」の違いを説明するよ。

２次関数と二乗に比例する関数の違い

  • ２次関数は「y=ax2+bx+c」
  • ｙはｘの二乗に比例する関数は「y=ax2」

ｙはｘの二乗に比例する関数「y=ax2」っていうのは、

２次関数「y=ax2+bx+c」の式で、b=0、c=0になる特別な場合のことなんだよ。

こんな感じのイメージだね。

二次関数と、yがxの二乗に比例している関数の関係を表しているイラスト

２次関数という集まりの中に、「ｙはｘの二乗に比例する関数」がいるということだね。
だから、「ｙはｘの二乗に比例する関数」は、２次関数といっても間違いではないけれど、中学3年生でやるのは、b=0、c=0の特別な場合（＝比例している）だけだよ。

y=ax²の比例定数の求め方

ｙはｘの二乗に比例する関数「y=ax2」の比例定数「a」の値を次の問題で求めてみよう。

(1)

1辺がxcmの正方形で、高さが4cmの四角柱の体積がycm3になった。yをxの式で表せ。

また比例定数を答えなさい。

直方体

四角柱の体積は

体積＝底面積×高さ

で求まるから、

y=x×x×4
y=4x2

と表すことができるよね。

だから比例定数は「4」になるね。

(2)

yはx2に比例し、x=2のときy=12になる。yをxの式で表せ。

この問題はよく入試問題や定期試験にでるよ。

まず、「yはx2に比例し」という文章を見たら、

「ｙはｘの二乗に比例する関数だから、答えの式は、y=ax2になるな」と反応できるようにしよう。

これができたら、あとは楽勝だよ。

y=ax2に「x=2のときy=12」を代入しよう。

12=a×22

12=4a

a=3

比例定数「a」が「3」とわかったので、「y=ax2」の式に代入しよう。

答えの式は

y=3x2

と求めることができるよ。

「ｙはｘの二乗に比例する関数」まとめ

「ｙはｘの二乗に比例する関数」まとめ

  • 「ｙはｘの二乗に比例する関数」の式は、「y=ax2」で表すことができる
  • 「a」のことを比例定数と呼ぶ
  • 比例定数「a」はa=\(\frac{y}{x^2}\)で求めることができる
  • ｙはｘの二乗に比例する関数「y=ax2」とは、２次関数「y=ax2+bx+c」の式で、b=0、c=0になる特別な場合のことである

運営者情報

青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。

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