「ｙはｘの二乗に比例する」関数の変化の割合の求め方・変域とは？

中学３年生の数学で学習する「ｙはｘの二乗に比例する関数（y=ax²）」について、ｘが増加に対して、ｙがどのように増加するかの「変化の割合」がどういう仕組みになっているのか、変化の割合の求め方・変域の求め方をわかりやすく解説するよ。

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目次

• y=ax²の値の変化
• y=ax²の変化の割合の求め方
• y=ax2の変域
• まとめ

y=ax²の値の変化

「ｙはｘの二乗に比例する関数（y=ax²）」の値が、どのように変化していくのか見ていこう。

y=2x²の「ｘ」と「ｙ」の対応表を作成してみたよ。

この対応表を見ると、「x=0」からｘが１ずつ増えると、ｙは２、６、１０と増えていっているよね。

ｙの増え方はずっと同じでではないよね。

ずっと同じことを「一定」というから、
「y=ax²の値の変化は一定ではない」といえるね。

２年生で勉強した一次関数「y=ax+b」の値の変化はどうだったのか復習してみよう。

一次関数「y=ax+b」の値の変化

一次関数「y=2x+1」の「ｘ」と「ｙ」の対応表を確認してみよう。

対応表を見ると「x=0」からｘが１ずつ増えると、ｙは２ずつ増えているよね。

ｙは２ずつ増えているから、「y=ax+b」の値の変化は一定だとわかるね。

y=ax²の変化の割合の求め方

「変化の割合」という言葉を覚えているかな？
変化の割合とは、「どのくらい変化したか」を表すものだったよね。

ｙはｘの二乗に比例する関数「y=2x²」の変化の割合\(\frac{yの増加量}{xの増加量}\)は、次のようになるよ。

変化の割合はだんだんと大きくなっていて、一定ではないことがわかるね。

ｙはｘの二乗に比例する関数（y=ax²）の変化の割合は、ｘの範囲によって変わってくるんだ。
実際に問題で確かめてみよう.

y=ax²の変化の割合を求める問題

変化の割合は、\(\frac{yの増加量}{xの増加量}\)で求めることができるので

ｘとｙの対応表を考えてみよう。

y=3x²で

x=1のとき、
y=3x²
=3×x²
=3×1²
=3×1
=3

x=4のとき、
y=3x²
=3×x²
=3×4²
=3×16
=48

ｘとｙの対応表を作ってみよう。関係のないところは「…」と書いてあるよ。

対応表から、ｘの増加量＝＋３、ｙの増加量＝＋４５とわかるから、

=\(\frac{yの増加量}{xの増加量}\)
=\(\frac{+45}{+3}\)
=15

変化の割合は「15」と求めることができたね。

じゃあ次に、ｘの範囲を変えてみるよ。

変化の割合は\(\frac{yの増加量}{xの増加量}\)で求めることができるので、

ｘとｙの対応表を考えてみよう。

y=3x²で

x=-2のとき、
y=3x²
=3×x²
=3×(-2)²
=3×4
=12

x=1のとき、
y=3x²
=3×x²
=3×1²
=3×1
=3

ｘとｙの対応表を作ってみよう。関係のないところは「…」と書いてあるよ。

対応表から、ｘの増加量＝＋３、ｙの増加量＝－９とわかるので、

=\(\frac{yの増加量}{xの増加量}\)
=\(\frac{-9}{+3}\)
=-3

変化の割合は「-3」と求めることができたね。

ｙはｘの二乗に比例する関数（y=ax²）の変化の割合は、ｘの範囲によって変わってくることをしっかり覚えておこう。

一次関数「y=ax+b」の変化の割合

一次関数の変化の割合はどうなっていうのか、復習もかねて確認しておこう。

y=2x+1の変化の割合\(\frac{yの増加量}{xの増加量}\)は次のようになるよ。

変化の割合はずっと「２」になるから、一定だとわかるね。

一次関数の変化の割合は一定になるよ。

y=ax²の変域

ｙはｘの二乗に比例する関数の変域を考えてみよう。

「変域」とは、「範囲のこと」だと思っていればＯＫだよ。
変域について解説しているページもあるので、参考にしてね。

まず、y=x²のグラフの形を思い出してみよう。

(1)

1≦x≦3の範囲だけグラフを書いてみると次のようになるよ。

ｙの値は、y=x²の式にｘを代入してそのつど求めることができるね。

ｙの最小値はｙ＝１のとき、
ｙの最大値はｙ＝９のときだから

1≦y≦9

とｙの変域が求まるよ。

(2)

-2≦x≦1の範囲だけグラフを書いてみると次のようになるよ。

ｙの最小値はｙ＝０のとき、
ｙの最大値はｙ＝４のときだから

0≦y≦4

とｙの変域が求まるよ。

よくある間違い

y=x²でxの変域が-2≦x≦1のときのｙの変域を求める問題は間違えやすいので、注意が必要だよ。

なぜなら、ｘの変域に「０」が含まれているから。
（－２から１の範囲に、「０」がふくまれているよね）

最大値はｙ＝４のときだというのは間違えようがないんだけれど、問題は最小値。

グラフを書けば、最小値はｘが「０」のときのｙ＝０のときだとわかるんだけれど、
グラフを書かずに式と変域だけで見てしまうと、つい最小値はｘ＝１のときのｙ＝１と早とちりしてしまうんだよ。

ミスをふせぐために、ｙはｘの二乗に比例する関数（y=ax²）のｘ変域が「０」をはさむ場合は、簡単でいいのでグラフを書いてｙの変域を確かめるのが確実で安全だね。

「ｙはｘの二乗に比例する関数の変化の割合・変域」まとめ

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ゆみねこ
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。