自然数と素数とは？素因数分解のやり方のコツとは「整数の性質」
「自然数と素数」とは？
「素因数分解」とは？
中学数学がはじまって、いきなり難しそうな言葉に、つい数学にニガテ意識をもってしまう子も多いんじゃないかな。
でも、数学はひとつひとつの単元をつみかさねていくことが大切な教科なんだ。
基本をきちんと理解していると、この先の単元もすんなり理解することができるようになるよ。
この記事では、自然数・素数・素因数分解についてわかりやすく解説して、定期テストを解くためのポイントを紹介するよ。
目次
１とその数自身の積でしかあらわせない数を素数という。
ただし、１は素数ではない。
自然数を素数の積だけであらわすことを素因数分解という。
それでは、教科書の説明をわかりやすく解説していくよ！
自然数とは
教科書１以上の整数を自然数という。
くまごろうここのポイントは、
・自然数は整数でなきゃいけない。つまり、小数や分数はダメなんだよね。
・１以上でないといけない。つまり、マイナスや「０」もダメなんだよね。
自然数を例でいうと
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０・・・・。
要するにプラスの整数のことだね。
中学校の数学ではプラスのことを「正」というから、自然数とは「正の整数」と言い換えることもできるよ。
自然数の意味はそのまま、「自然な数」とイメージするといいよ。
物の個数を数えたり、順番を数えたりといった日常生活で、みんなが当たり前のように使う数だと思ってもらえたらオッケー。
そうすると、どうしてマイナスや「０」が含まれないかがわかるはず。
たとえば、リンゴをかぞえなきゃいけないときを想像してみて。
「リンゴがあるから」数えるんだよね。リンゴがないのに、わざわざ「リンゴが０コある」とは数えないよね。
ましてや、「リンゴがマイナス２コ」なんてことは、自然にはありえないことだよね。
とくに「自然数には０は入らない」というのは、テストでもひっかけ問題としてよく出てくるので、ここでしっかりおさえておこう！
自然数について、どうして「0」が含まれないのかを解説しているページもあるよ。
自然数と整数の違いは何？
自然数と整数はすごく似ていて、間違えやすいよね。
でも、自然数と整数の違いはすごくシンプル。
自然数は「正の整数」だけだったよね。
整数は、正の整数だけではなく、「０」や、０より小さい整数「マイナス」も入るよね。（マイナスの整数は「負の整数」と言い換えられるよ）
わかりやすくまとめると次のようなイメージ。
自然数 → 正の整数だけ
整数 → 負の整数 ＋ ０ ＋ 正の整数
素数とは
教科書１とその数自身の積でしかあらわせない数を素数という。
ただし、１は素数ではない。
くまごろうここのポイントは、
・１は素数ではないこと！
「１とその数自身の積でしかあらわせない数」という言葉がむずかしいよね。
素数をわかりやすく簡単に言うと「１と、”自分自身の数”でしか割り切れない数」。
たとえば、「３」と「５」って、それぞれ「３」と「５」でしか割り切れないよね。
でも、「４」とか「６」はどう？
「４」は「２」でも割り切ることができるし、「６」も「３」で割り切ることができるよね。
「１」は、すべての数を割り切ることができるから、あたりまえのように登場しているよ。つまりスタメンみたいなものかな。
「１と、”自分自身の数”でしか割り切れない数」という条件で、素数かどうかを判定していくと、１～１００までの素数は次の通り。
２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７
素数の覚え方
「えー！そんなに覚えられないよ・・・」という子がいっぱいいると思う。
ただ中学校の数学では「２、３、５、７、１１」が素数であることを知っていれば解ける問題ばかりなので次のように覚えるのがおすすめだよ。
中学数学でよく出る素数の覚え方
兄さん（２、３）と午後（５、５）にセブンイレブン（７、１１）に行く。
これだったら覚えられるね。
１は素数ではない！
さて、素数の大切なポイントのひとつは、「１は素数ではない」こと。
素数には、「約数が２つしかない数」という定義（ルール）があるんだよ。
約数というのは、「その数を割り切ることができる数」のこと。
さっきの「１と、その数自身でしか割り切ることができない」という言葉は、言い換えると「その数を割り切ることができるのは１とその数自身の２つ」。
つまり「約数は２つしかない」となるよね。
そうすると、「１」はどうかというと・・・
そう、「１」は約数が１つしかないよね。だって、「１」だけだから。
だから、「１」は素数の仲間入りはできないんだ。
でもなんでそんないじわるをするのかというと、「１」を素数にしてしまうと、「他の数がすべて素数ではなくなってしまう」からなんだ。
どうしてそんなことになってしまうかを説明するとすごく大変なのでここでは省略するけど、「１」って、どんな数でも割り切ることができるよね。
つまり、「スーパーチートアイテム」みたいなイメージ。
「１」を素数にしてしまうと、めちゃくちゃになってしまうので、「１」はナシね、となっているというわけだね。
素因数分解のやり方をマスターしよう！
素因数分解のやり方をマスターするために、まずは素因数分解とは何かを知ろう。
教科書自然数を素数の積だけであらわすことを素因数分解という。
くまごろうある自然数のことを、「〇かける△」だよ、と素数のかけ算だけであらわすことを素因数分解というんだ。
例えば３０という自然数で考えてみよう。
３０は６×５と表すことができるよね。
ただ、これでは素因数分解したとはいえないんだよ。なぜなら６が素数ではないから。
だから６を分解して２×３にしたら、すべてが素数になるよね。
まとめると次のようになるね。
①３０＝６×５
→６が素数ではないから、素因数分解できていない。
②３０＝２×３×５
→２、３、５すべてが素数だから、素因数分解できている。
もう１問考えてみよう。
４２という数を考えてみよう。①②どちらが素因数分解できているかわかるかな？
①４２＝２×３×７
②４２＝６×７
→もちろん答えは①だよ。２、３、７すべて素数だからね。一方②は６が素数ではないよね。
このように素因数分解っていうのは、自然数を素数の積（かけ算）で表すことをいうよ。
これは「料理」に例えてみると面白いよ。
たとえば、「ハンバーグ」があったとするよ。
ハンバーグを「できている材料で分解」してみよう。
牛ひき肉と、豚肉と、卵と、パン粉、玉ねぎと牛乳、ナツメグに塩コショウ・・
「パン粉」がまだ分解できるね。
牛ひき肉と、豚肉と、卵と、卵と、小麦粉と、さとう、イースト、バター・・・
こんなふうに、「もう分解できないよ」というところまで分解するイメージ。
「この自然数は、どんな数（素数）でできている数なのかな？」と分解してみるのが、素因数分解なんだね。
くまごろう「因」っていう漢字は、「原因」とかでも使われるように、「もとになったこと」という意味だよね。
「素因数分解」は、「もとになっている素数で分解する」という意味の言葉なんだね。
素因数分解のひっ算
では最後に４４１を素因数分解してみよう。
「えー！！そんなおおきい数がどんな素数のかけ算になっているかなんて、さっぱりわからないよ！」ってなるよね。
そうだね、今のやり方で考えていては大変。
そこで、「素因数分解のひっ算」のやり方を覚える必要があるんだ。
ひっ算と言っても、これまでに使ってきた「足し算や引き算」の時とはちょっと違って、次のようなやり方をするよ。
- 素因数分解したい数を書く。
- 右の数を割り切ることができる素数を書く。
- 商を書く。
※②と③を商が素数になるまで繰り返す。 - ④商が素数になったら、図で赤く示したところの積が答えになる。
さっき、「数が大くて無理！」と思った「４４１」を素因数分解してみると次のようになるよ。
この結果から４４１=３２×７２
このひっ算を知っていれば簡単に素因数分解ができるよね。
素因数分解の裏ワザ・コツは？
素因数分解の裏ワザやコツを紹介するよ。素因数分解を早く解くには、割り切れる数を見つけるスピードが大事だよ。
１桁目が偶数だったら２で割り切れることは当たり前だよね。では、例えば、１１１３って何で割り切れるかわかるかな？
実は３で割り切れるんだよ。
そんないくつで割り切れるかを見つける裏ワザやコツを紹介するよ。マスターすることで素因数分解が速くなること間違いなし。
素数３で割り切れるか見分ける裏ワザ
素数３で割り切れるかどうかは、すべての桁の和が３の倍数になっているかどうかでわかるよ。
例えば、１１１３だったら、すべての桁の和は１＋１＋１＋３＝６で３の倍数になっている。だから３で割り切れるとわかるんだよ。
素数１１で割り切れるか見分ける裏ワザ
３で割り切れるかを見つけるより複雑であまり使うことはないかもしれないけど、素数１１で割り切れるか見分ける裏ワザもあるよ。
①同じ数字が偶数個ずつ並んでいる
（８８、２２８８、２２４４３３など）
②奇数個の数字の繰り返しになっている
（３４５３４５、５６１４２５６１４２など）
③偶数桁の数字が、上から読んでも下から読んでも同じ数字になっている
（４５５４、６５７４４７５６など）
素因数分解の問題に挑戦してみよう
素因数分解の問題に挑戦してみよう。
素因数分解の例題
２４を素因数分解してみよう。
答え ２４＝２３×３
素因数分解の問題（難しい）
２４３を素因数分解してみよう。
答え ２４３＝３５
素因数分解の問題（応用）
次の問題は素因数分解を利用した応用問題。まず素因数分解するところから始めてみよう。
問題：ある数を２乗すると１７６４になる。ある数を求めなさい。
【解説】
①１７６４を素因数分解すると次のようになるよね。
１７６４＝２２×３２×７２
②素因数分解の答えのかけ算の順番を変えてみるよ。
１７６４＝２２×３２×７２
＝２×２×３×３×７×７
＝２×３×７×２×３×７
＝（２×３×７）×（２×３×７）
＝ ４２ × ４２
③４２×４２が１７６４になることがわかるかな？
なので答えは４２になるんだ。
整数の性質まとめ
「自然数と素数」「素因数分解」についてわかったかな？
整数の中には自然数や素数という数字があって、素数を使うと素因数分解ができるんだよ。
中学数学がはじまって、いきなり難しそうな言葉に、つい数学にニガテ意識をもってしまう子も多いと思うので、整数の性質のまとめを下に乗せたよ。
整数の性質まとめ
- 整数はー３、ー２、ー１、０、１、２、３などで、０もマイナスも含まれる。
- 自然数は１、２、３などの正の整数で０やマイナスは含まない。
- 素数は１より大きい自然数で、１と自分自身でしか割り切れない数のこと。例：２、３、５、７、１１・・・。
- 素因数分解とは素数の積で表すこと。例：３０＝２×３×５。
運営者情報
ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る
青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
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ゆみねこ先生、また教えてください。次の理解は間違っていませんか？
1．互いに素な２と５は共通な因数を持たないので、それぞれを累乗した２のa乗と5のb乗（a、bは自然数）についても互いに素となる。またその逆も成り立つ。
2. ある数を素因数分解して、（５のa乗）ｘ（７のb乗）ｘ（11のｃ乗）（a、b、ｃは自然数）の形になった時、5,7,11は素数なので互いに素であり、また５のa乗、７のb乗、11のｃ乗それぞれの数も互いに素である。
宜しくお願いいたします。
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また、教えてください。
1から100までの整数の中で、45と互いに素なものはいくつあるか？という問題です。
普通の集合算の解き方で、ベン図を用いて答えは53個とでました。ネットで互いに素な自然数の個数はオイラー関数を利用すると関係する素因数が多くなるほど早く解けるとありました。
試しにφ(45)を計算すると、φ(45)=24となったので、よくわからないままφ(45) = 24 を使って 90 までに 48個、残り 91〜100 の中で 45 と互いに素なのは 5個としたら答えが一致しました。
よくわからないままというのは、1～45の自然数で、45と互いに素な個数が24となった時、46から90までに45と互いに素な個数も24になることをどう示せばいいのかということです。
何時も変な質問ですがよろしくおねがいします。
テスト練習問題とまとめ的なものを投稿していただきありがとうございます。
図やイラスト的なものを添えて解説してもらったおかげですごく分かりました。
全教科の復習の仕方詳しく載せたりしてもらえないでしょうか……。
学力テストで意外な点数をとってしまい絶望しました。
お願いです！！！！！！