角柱と円柱・角錐と円錐の体積の求め方と公式を解説「立体の体積」のPDFをダウンロード
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yumineko
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。 ※サイト全体の運営実績についてはこちらにまとめています。
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もっちゃんさん
ポイントは、底面全体で高さの変化が均一かどうかです。
平行四辺形の場合、向かい合う辺が平行で形がそろっているため、底面上で高さが比較的均一に変化しやすく、
「底面積 × 平均高さ」
で体積を求めやすくなります。一方、台形の場合は、底面の形が左右で均一ではないため、場所によって高さの分布の重みが変わります。
そのため、単純に4頂点の高さの平均を使うだけでは、底面全体の体積を正確に表せないことがあります。なので、三角形に分けてそれぞれの断頭三角柱として計算すると、より正確に求めやすくなります。
つまり、
・平行四辺形 → 高さ分布が均一なので平均高さが使いやすい
・台形 → 高さ分布に偏りがあるため、そのままでは使いにくいという違いです。
少し発展的な内容ですが、「高さの平均にも形によって使いやすさが変わる」と考えると整理しやすいですね。
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ご回答いただきありがとうございます。どうもこういう数学は苦手で高校以降だんだん話が抽象的になっていくのかと思うと憂鬱です。
高さの分布の重みが変わるとはこういう事ですか？
柱体下側の台形の底面を構成する点の集合と斜めに切断されて出来る台形上の対応する点を結びそれを個々の高さとしたときに仮にｘ軸方向に左から右に移動させていったとき、この高さの集まり方が左から右に向かっときに均一に変化せずに位置によって変わるというニュアンスなんですか？
平行四辺形と台形との違いがイメージしにくいです。-
そもそも、断頭四角柱の体積を求めるときに、平均の高さを出して求めるというのは、どういうことかというと
イメージとしては、「でこぼこに盛られた砂をならして、全体を同じ高さにする」感じですよね。詳しくいうと、
高いところの分を、低いところへならす
↓
全体が同じ高さになったと考える
↓
底面積 × ならした高さで体積を出すということです。
ただし、ここで大事なのは、
どんな形でも単純に角の高さを平均すればいいわけではない、ということです。平行四辺形のように、形の広がり方がバランスよい場合は、角の高さの平均が全体の平均として使いやすいです。
でも台形のように、広い部分と狭い部分がある形では、
高いところが広いのか、低いところが広いのか
によって、全体の平均高さが変わります。たとえば、
高い部分が広い → 高さは高めになる
低い部分が広い → 平均高さは低めになるので、ただ4つの角の高さを足して4で割るだけでは、正確な「全体の平均高さ」にならないことがあるんです。
そのため、もっちゃんさんが最初に書いていただいた通り、「平行四辺形ならそのまま平均高さが使えるけれど、台形では三角形に分けて、それぞれで平均高さを出す必要がある」ということになります。
台形では「ならした高さ」を出すのが単純ではない、ということになるのですが、この考え方ならどうでしょうか？
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ありがとうございます。切断された台形の各頂点の単純平均がならしたときの高さと平均高さは一致しないから使えないという理屈はわかります。単純に考えるのであれば平行四辺形の対角線の交点は対角線の中点で交わるので平均高さは一致するが、台形はそうならないので高さの平均は一致しないというふうに考えてもよいんですかね？
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はい、その考え方はイメージとしてかなりわかりやすいと思います！
平行四辺形は、対角線が互いの中点で交わるように、図形全体の形がバランスよく整っているため、高さの平均も比較的一致しやすいです。
一方、台形はそのような対称性が弱く、広い部分と狭い部分があるため、単純に頂点の高さを平均しただけでは、底面全体をならしたときの平均高さとズレやすくなります。
つまり、
・平行四辺形 → バランスがよく平均しやすい・台形 → 広さに偏りがあり単純平均しにくい
という理解で大丈夫です。
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ありがとうございます。切断された台形の各頂点の単純平均がならしたときの高さと平均高さは一致しないから使えないという理屈はわかります。単純に考えるのであれば平行四辺形の対角線の交点は対角線の中点で交わるので平均高さは一致するが、台形はそうならないので高さの平均は一致しないというふうに考えてもよいんですか？
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また教えてください。断頭四角柱の体積を求めるとき底面積ｘ平均高さを利用する場合についてです。この場合、底面の四角形は平行四辺形の仲間に限られ、台形の場合はそのまま平均の高さを使うことができず三角形に二分してそれぞれの断頭三角柱の平均高さからの体積の和を計算することになります。なぜ底面が台形であれば、なぜそのまま平均高さが使えないのかすっきりした答えが見つかりません。 よろしくお願いいたします。