「多項式と単項式の乗法・除法」のやり方をわかりやすく解説

中学3年生の数学で学習する「多項式と単項式の計算」について、「多項式と単項式の乗法」「多項式と単項式の除法」それぞれどんな問題が出るのか、問題パターンごとの解き方をくわしく解説するよ。

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目次

単項式と多項式の違いをおさらいしよう

単項式と多項式の違いは覚えているかな?2年生で学習したよね。忘れてしまっている人はおさらいをしよう。

単項式とは

単項式っていうのは、「数や文字についての乗法(かけ算)だけで作られた式」のことだよ。

例えば、2xだったら、2×xって表せるよね。だから単項式といえるよ。

※数字と文字の間に【+】や【-】が無い式と覚えておこう!

多項式とは

逆に多項式っていうのは、単項式の和(足し算)や差(引き算)の形で表された式のことだよ。

例えば、2x+yだったら、2xとyの間に足し算が入っているよね。だから多項式なんだ。

項の数で多項式と単項式を見分ける

もっと簡単に見分けるには、「項の数」に注目してみよう。

多項式と単項式の違い

多項式:項が2つ以上 (例)2x+y、a+b、x-y+z

単項式:項が1つ (例)2x、b、-4x

単項式と多項式の違い

多項式と単項式の乗法

多項式と単項式の乗法の計算を考えよう。2年生の内容がわかっていたら、簡単にできちゃうと思うよ。

2年生のおさらい

2年生ではこんな計算をやったよね。

(2a-3b)     ←分配法則を使う

×2a+4×(-3b)

=8a-12b

分配法則を使えてしまえば楽勝な問題だね。3年生になると2年生より少しだけレベルアップするよ。

2年生と3年生の違い

2年生:(2a-3b) → ×(多項式)

3年生:4a(2a-3b) →単項式×(多項式)

2年生では「×(多項式)」だったのが、3年生になると「単項式×(多項式)」になるんだよ。

多項式と単項式の乗法の例題

多項式と単項式の乗法は2年生でやった「(2a-3b)」の計算の仕方と全く同じだよ。

じゃあ実際に次の例題をやってみよう。

4a(2a-3b)      ←分配法則を使う

分配法則のやり方を説明している画像

4a×2a+4a×(-3b)

=8a-12ab 

気を付けること

・4a×2aの計算は、数字同士、文字同士をかけること

・a×a=aになること

・-3bには( )をつけること

多項式と単項式の乗法の練習

多項式と単項式の乗法の練習をして、計算に慣れていこう。

(1)

3a(-2a-4b)

3a×(-2a)+3a×(-4b)

=-6a-12ab

よくある間違い

3a(-2a-4b)

3a×(-2a)3a×(-4b)

2つ目の3aの前に符号(+か-)がないよ。「3a(-2a-4b)」の3aの前には「」が省略されているから次のようになるよ。

3a×(-2a)3a×(-4b)

(2)

(3a-2b)×4b

=3a×4b-2b×4b

=12ab-8b

後ろからかける問題

「(3a-2b)×4b」は後ろから「4b」をかけていくよ。下の2つは同じことだから、もし①のやり方が難しかったら、②のやり方でやるのもありだね。

① (3a-2b)×4b

② 4b(3a-2b)

(3)

-2a(3a-4b-c)

-2a×3a-2a×(-4b)-2a×(-c)

=-6a+8ab+2ac

多項式の項の数が3つの問題

-2a(3a-4b-c)」の「-2a」を順番に、「3a」「-4b」「-c」にかけるだけだよ。

(4)

最後に次の問題に挑戦してみよう

2a(a+b)-3a(a-b)

式を見た瞬間、「難しそう」って思うかもしれないけど、2つに分けて考えたら簡単だよ。

2a(a+b)-3a(a-b)を

2a(a+b) と -3a(a-b) にわけて計算しよう。

2a(a+b)     -3a(a-b)

2a×a+2a×b   -3a×a-3a×(-b)

=2a+2ab     -3a+3ab

ここまでいったら、同類項(文字の部分が同じ項)を計算しよう。

2a+2ab      -3a+3ab

2a-3a+2ab+3ab

-a+5ab

多項式と単項式の除法

多項式と単項式の除法(割り算)の計算を考えよう。2年生の内容とさっきの内容がわかっていたら、簡単にできちゃうと思うよ。

2年生のおさらい

2年生ではこんな計算をやったよね。

(12a-8ab)÷4     ←割り算をかけ算にすると「逆数」になるよ。

=(12a-8ab)×\(\frac{1}{4}\)

=12a×\(\frac{1}{4}\)-8ab×\(\frac{1}{4}\)

=3a-2ab

逆数にして、分配法則を使えてしまえば楽勝な問題だね。3年生になると2年生より少しだけレベルアップするよ。

2年生と3年生の違い

2年生:(12a-8ab)÷ → (多項式)÷

3年生:(12a-8ab)÷4a → (多項式)÷単項式

2年生では「(多項式)÷」だったのが、3年生になると「(多項式)÷単項式」になるんだよ。

逆数のおさらい

わり算をかけ算にすると、逆数になるよ。逆数っていうのは「分母」と「分子」を入れ替えた数のことだよ。

例えば、

4÷\(\frac{3}{2}\)だったら

4×\(\frac{2}{3}\)になるよ。わり算をかけ算にすると、分母と分子が入れ替わっていることを確認しよう。

多項式と単項式の除法の例題

多項式と単項式の除法は2年生でやった「(12a-8ab)÷」の計算の仕方と全く同じだよ。

じゃあ実際に次の例題をやってみよう。

(12a-8ab)÷4a       ←わり算をかけ算にすると「逆数」になる。

=(12a-8ab)×\(\frac{1}{4a}\) ←分配法則を使う

=12a×\(\frac{1}{4a}\)-8ab×\(\frac{1}{4a}\) 

=3-2b

気を付けること

・「4a」は分数であらわすと「\(\frac{4a}{1}\)」になるから、逆数にしたら「\(\frac{1}{4a}\)」だよ。

・「12a×\(\frac{1}{4a}\)」って次のように計算できるよ。aが約分して消えることに注意しよう。

分数の計算で気をつけること

多項式と単項式の除法の練習

多項式と単項式の除法の練習をして、計算に慣れていこう。

(1)

(4a-2a)÷2a      ←逆数にする

=(4a-2a)×\(\frac{1}{2a}\) ←分配法則

=4a×\(\frac{1}{2a}\)-2a×\(\frac{1}{2a}\)

=2a-1

気を付けること

・「2a」を逆数にすると、「2」だけではなく、「a」も分母になることを忘れないようにしよう。(\(\frac{1}{2}\)aは間違い)

・「4a×\(\frac{1}{2a}\)」の約分の計算に気を付けよう。

分数の計算で気を付けること

(2)

次の問題は少し難しいよ。

(9ab-6ab)÷\(\frac{3}{2}\)ab

まず、わり算をかけ算にして逆数にするんだったよね。ただ、\(\frac{3}{2}\)abを逆数にするのが難しいね。

\(\frac{3}{2}\)abを逆数にする

「\(\frac{3}{2}\)ab」の横についている「ab」っていうのは、分母か分子のどちらかに移動できるんだけど、どっちかわかるかな。

分数の横についている文字は「分子(上)」に移動することができるんだ。だから、「\(\frac{3}{2}\)ab」は「\(\frac{3ab}{2}\)」と表せるよ。

これを逆数にすると

\(\frac{3ab}{2}\)→\(\frac{2}{3ab}\)

じゃあ、わり算をかけ算にして逆数にしてみるよ。

(9ab-6ab)÷\(\frac{3}{2}\)ab

=(9ab-6ab)×\(\frac{2}{3ab}\)

ここまでできちゃえば、あとは分配法則が使えたらできるよ。

9ab×\(\frac{2}{3ab}\)-6ab×\(\frac{2}{3ab}\)

分数の約分

=6a-4b

運営者情報

青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。2児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。

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  1. 田中 より:

    わかりやすい