いろいろな作図「円の接線・円の中心・30°の角度」の書き方を解説
中学１年生の数学で学習した、「基本の作図」で書けるようになった図の性質を使って、いろいろな作図をする方法を紹介するよ。
「円の接線」、「円の中心」そして「ある大きさの角」を書くための考え方や手順を、くわしく解説していくよ。
いろいろな作図 「円の接線・円の中心・30°の角度」の 書き方を解説のPDF（13枚）がダウンロードできます。
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目次
円の接線を作図してみよう
円の接線とは
円の接線とは、円と直線がただ1点だけで接するときの直線のことだよ。
「接する」というのは、触れ合っているとか、つながるという意味があるよ。
下の図で言うと、右側のような状態の直線のことを接線っていうよ。
左側は「２点で接している」から接線ではないということだね。
円の接線の性質
円の接線の大切な性質は、「接点を通る半径に垂直」になるということ。
どういうことかというと下の図を見てみよう。
「円の接線が接点を通る半径に垂直になる」という性質は接線の１番大切な性質なので、高校生でも使うから覚えておこう。
円の接線の書き方
それでは円の接線をコンパスと定規を使って書いていこう。
さっき「円の接線は、接点を通る半径に垂直になる」という性質を紹介したけれど、円の接線の作図では、この性質を使って作図するよ。
例題：下図のような円Оで、接点Tを通る円の接線を作図しなさい。
まずはなんとなく作図のイメージをしてみよう。
円の接線の性質は、「接点を通る半径に垂直」になるというものだったよね。
では、まず「OT」を結んでみよう。これが半径になるね。
線分OT（半径）に垂直になる直線を引くことができれば、円Oの接線の出来上がりだよね。
イメージはこんな感じかな。
実際に作図をしてみよう。
①半直線OTを引こう。
ここからは「垂線の作図」と同じだよ。
②コンパスの針を点Tに刺して、適当な半径で円の一部を書こう。
半直線OTと交わったところを点P、点Qとしよう。
③コンパスの針を点Pにさして、適当な半径で円の一部を書こう。
④コンパスの針を点Pにさして、③と同じ半径で円の一部を書こう。③と交わったところを点Rにしよう。
⑤直線RTを引いたら、円Oの接線が完成するよ。
円の中心の求め方
それでは、こんどは「円の中心」を作図で求める方法を紹介するよ。
下図のような円があったとしよう。円の中心はどうやって見つければよいだろう？
実は垂直二等分線を使うと、円の中心が求められるんだよ。
垂直二等分線の性質
垂直二等分線にはすごく大切な性質があるんだったよね。
下図のように、垂直二等分線の上にある点と、点A、点Bとの距離は等しくなるね。
もう少し簡単に言うと、垂直二等分線（赤線）の上であったら、必ずAP=BPになっているよ。
この性質を使って、円の中心を求めよう。
円の中心とはどんな点？
円の中心とは、どんな点なのか考えてみよう。
円の中心は、円周の上のどの点からの距離が等しいよね。
円の中心が点Oだったとすると、点Oは、点Aからも点Bからも点Cからも等しい距離にあるってことだよね。
点Oが点Aからも点Bからも点Cからも等しい距離にあるということは、
点Oは
- ①点A、点Bから等しい距離にある。
→中心Oは、線分ABの垂直二等分線の上にある。 - ②点B、点Cから等しい距離にある。
→中心Oは、線分BCの垂直二等分線の上にある。
ということだよね。
円の中心を作図で求めてみよう。
では実際に円の中心を作図で求めてみよう。
下図のような円の中心を作図によって求めなさい。
垂直二等分線を２つ書いて、円の中心を求めよう。
①３点A、B、Cをとろう。
②線分ABの垂直二等分線を作図しよう。
③線分BCの垂直二等分線を作図して、②の垂直二等分線と交わったところが円の中心Oだよ。
３０°の角度を作ろう
コンパスと定規を使って３０°の角度を作図してみよう。
作図するには２つのことをしなくちゃいけないんだ。
１つ目が正三角形を書くこと。
２つ目が角の二等分線を書くこと。
正三角形は１つの角度が６０°だよね。６０°を二等分したら３０°になるから、正三角形を書くんだよ。
では、順番にやっていこう。
１：正三角形を書こう
正三角形は３つの辺の長さが等しい三角形だよね。
なので、３つの等しい長さの直線を引くことで作図ができるよ。
①適当な長さを定規で引くよ。
②コンパスで、その線の長さ分広げよう。
なぜなら、等しい長さの直線を引くためだね。
③点Aにコンパスの針をさして、円の一部を書こう。
④点Bにコンパスの針をさして、円の一部を書こう。③と交わったところが点Cになるよ。
なぜなら、点Ｃは、点Ａから線分ＡＢと等しい距離、
そして点Ｂからも線ＡＢと等しい距離のところにある点だからね。
これで、「３つの長さが等しい辺」を書くことができるよね。
⑤A、B、Cを結んだら、正三角形の完成だよ。正三角形の１つの角度は６０°だったよね。
２：角の二等分線を書こう
∠Aが６０°だから、∠Aの二等分線を引いたら、３０°が作図できるよね。
角の二等分線の書き方は、「基本の作図の書き方」の解説ページを確認しよう。
赤線が角の二等分線だから、赤丸が３０°ということになるよ。
なぜなら、６０°の∠Aを半分にしているんだから、
６０÷２＝３０
となるからだね。
基本の作図をつかえば、いろいろな図が書ける
この方法をうまく利用すれば、３０°だけではなく、１５°や７５°も書けそうだね。
ポイントは、正三角形を作図できれば、６０°の角を作ることができるんだから、あとはその「６０」を使ってどうやって「１５」や「７５」を作り出すか考えればいいんだよ。
「６０」を一度二等分すれば「３０」になったよね。
なら、あともう一度二等分すれば「１５」になるよね。
「７５」は、「６０」に「１５」を足すことで作ることができるよね。
「６０」も「１５」も作ることができるんだから、
まず正三角形を書いて「６０」を作って、その「６０」にぴったりくっつくように別の正三角形を書いて「６０」を作って、
その「６０」を二等分して「３０」にして、
またその「３０」を二等分して「１５」にしてあげれば、
もとの１つ目の正三角形の「６０」と、２つ目の正三角形の「１５」をたして「７５」のできあがりというわけだね。
このように、「基本の作図」をマスターしていれば、正三角形とか、二等分線とか、垂直の線とか、その書けるようになったものをうまく利用して、いろいろな作図をすることができるんだよ。
基本の作図のワザをつかって、どうすればお題の図を書くことができるだろう、と自分で工夫して考えるのはなかなか楽しいね。
コツとしては、「その図」は、どういう性質をもっているのか？をまず理解して、覚えること。
たとえば、「正三角形」を書けば「正三角形は、３つの角がすべて６０°になる」という性質によって、６０度の角を作り出すことができる。
「垂直二等分線」を書けば、「１つの直線に垂直に交わる直線」という性質によって、「垂直な２つの直線」や「９０°の角」を作り出すことが出来る。
また、「垂直二等分線を書くためにとった２つの点から、垂直二等分線上のどの点までの距離はそれぞれ等しい」という性質によって、「等しい距離にある点」を探し出すことができたり。
正三角形や、垂直二等分線、円を書く「方法」が「ワザ」、
それぞれの図の性質によって、できあがる「直線」や「６０°の角」や「等しい距離の点」などが、「道具」ということ。
その「ワザ」と「道具」を使って、どうすれば新しい図を生み出せるのかな、と考えるということだね。
運営者情報
ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る
青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。
