「円錐の展開図」半径・弧の長さ・中心角の求め方をくわしく解説

中学１年生の数学で学習する「立体の展開図」のうち、「円錐の展開図」から、底面の円の半径や、側面になるおうぎ形の弧の長さや中心角を求める方法をイラストと例題を使ってわかりやすく解説するよ。

円錐の展開図の性質を復習しておこう。

円錐の展開図の大切な性質

①円錐の母線は、展開図では、おうぎ形の半径になる。

②展開図のおうぎ形の弧の長さと、底面の円周の長さは等しくなる

「円錐の展開図」半径・弧の長さ・中心角の求め方をくわしく解説のPDF（11枚）がダウンロードできます。

PDFを印刷して手書きで勉強したい方は以下のボタンからお進み下さい。

無料ダウンロードページへ

目次

• 円錐の展開図と半径の求め方
• 円錐の展開図と弧の長さの求め方
• 円錐の展開図と中心角の求め方
• まとめ

円錐の展開図と半径の求め方

まず、円錐の展開図の問題で出ることが多い「底面の半径の求め方」を解説するよ。

円錐の「母線」と「底面の半径」と「展開したときのおうぎ形の中心角」には大切な関係があるんだよ。
どんな関係があるかを例題を解きながら考えていこう。

円錐の底面の半径を求める例題

問

下のような円錐があり、展開図を右にかいた。この円錐の底面の半径を求めなさい。

おうぎ形の弧の長さと底面の円周は等しかったよね。だから、おうぎ形の弧の長さの長さを求めたら、底面の半径が求まりそうだね。

STEP１　弧の長さを求めよう。

おうぎ形の弧の長さを求める公式は次の通りだったよね。

直径×円周率×\(\frac{中心角}{３６０}\)

今回の問題では、おうぎ形の半径（母線）が６cm、中心角１２０°で円周率はπを使うから、式に当てはめると

直径×円周率×\(\frac{中心角}{３６０}\)
＝１２×π×\(\frac{１２０}{３６０}\)
＝４π　(cm)

おうぎ形の弧の長さと底面の円周が等しいから、底面の円周も４πcmだとわかるね。

STEP２底面の円の半径を求める

底面の円周が４πだから、半径も求められそうだよね。円周の求め方は次の通りだったね。

円周＝直径×円周率

この式に、円周４π、円周率πを代入すると

４π＝直径×π

上の式から直径＝４であることがわかるね。だから、底面の半径は４÷２＝２cmということだね。

円錐の「母線と中心角」から「底面の半径」を求める方法

円錐の「母線」と「展開したときのおうぎ形の中心角」がわかると、「底面の半径」が求まるんだね。

円錐の底面の半径を求める問題①

下の円錐の底面の半径を求めなさい。

STEP１　弧の長さを求めよう。

おうぎ形の弧の長さを求める公式は次の通りだったよね。

直径×円周率×\(\frac{中心角}{３６０}\)

おうぎ形の半径（母線）が６cm、中心角１８０°で円周率はπを使うから、式に当てはめると

直径×円周率×\(\frac{中心角}{３６０}\)
＝１２×π×\(\frac{１８０}{３６０}\)
＝６π　(cm)

おうぎ形の弧の長さは６πだとわかったね。ということは、底面の円周も６πだとわかるね。

STEP２底面の円の半径を求める

底面の円周が６πだから、半径も求められそうだよね。円周の求め方は次の通りだったね。

円周＝直径×円周率

この式に、円周６π、円周率πを代入すると

６π＝直径×π

上の式から直径＝６であることがわかるね。だから、底面の半径は６÷２＝３cmということだね。

円錐の底面の半径を求める問題②

下の図は円錐の展開図である。円錐の底面の半径を求めなさい。

STEP１　弧の長さを求めよう。

おうぎ形の弧の長さを求める公式は次の通りだったよね。

直径×円周率×\(\frac{中心角}{３６０}\)

おうぎ形の半径（母線）が６cm、中心角２４０°で円周率はπを使うから、式に当てはめると

直径×円周率×\(\frac{中心角}{３６０}\)
＝１２×π×\(\frac{２４０}{３６０}\)
＝８π　(cm)

おうぎ形の弧の長さは８πだとわかったね。ということは、底面の円周も８πだとわかるね。

STEP２底面の円の半径を求める

円周の求め方は次の通りだったね。

円周＝直径×円周率

この式に、円周８π、円周率πを代入すると

８π＝直径×π

上の式から直径＝８であることがわかるね。だから、底面の半径は８÷２＝４cmということだね。

円錐の母線と底面の半径と中心角の関係（裏ワザ）

実は、円錐の「母線」「おうぎ形の中心角」そして「底面の半径」には、ある関係式が成り立っているんだ。

さっき紹介した例題と２つの問題で求めた「母線」「おうぎ形の中心角」「底面の半径」を下の表にまとめてみるよ。

どうかな？

なんとこの３つは、「母線×\(\frac{中心角}{３６０}\)＝底面の半径」
という関係が成り立っているね。

この関係を利用すれば、「母線」「おうぎ形の中心角」「底面の半径」のうちどれか２つまでが分かっていれば、簡単にのこりのひとつを求めることができるね。

円錐の展開図と中心角の求め方

さっきは、「母線と中心角」から「底面の半径」を求めたね。

それでは今回は、「母線と底面の半径」から「中心角」を求めてみよう。

問

下の円錐を展開したとき、側面の中心角を求めなさい。

円錐の展開図は次のようになるよね。おうぎ形の中心角がわからないからｘ°にしたよ。

STEP１　おうぎ形の弧の長さをｘを使って表そう。

おうぎ形の弧の長さを求める公式は次の通りだったよね。

直径×円周率×\(\frac{中心角}{３６０}\)

おうぎ形の半径（母線）が６cm、中心角ｘ°で円周率はπを使うから、式に当てはめると

直径×円周率×\(\frac{中心角}{３６０}\)
＝１２×π×\(\frac{ｘ}{３６０}\)

STEP２　底面の円の円周を求めよう。

円周の求め方は次の通りだったね。

直径×円周率

この式に、直径２、円周率πを代入すると

直径×π
＝２×π
＝２π　(cm)

STEP３　方程式をたてて中心角を求めよう。

円錐の展開図では、おうぎ形の弧の長さと底面の円周が等しくなるので、STEP１とSTEP２の式で方程式を作ろう。

おうぎ形の弧の長さ＝底面の円の円周　になるから

１２×π×\(\frac{ｘ}{３６０}\)＝２π

という方程式をたてることができるよ。これをｘについて解けば、中心角が求まるってこと。

１２×π×\(\frac{ｘ}{３６０}\)＝２π
\(\frac{ｘ}{３０}\)＝２
\(\frac{ｘ}{３０}\)×３０＝２×３０　←両辺に３０をかけるよ。
ｘ＝６０

ｘは中心角だったから、おうぎ形の中心角は６０°と求められるよ。

「円錐の展開図の半径・弧の長さ・中心角の求め方」まとめ

運営者情報

ゆみねこ
詳しいプロフィールを見る

青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。