中学1年数学

「おうぎ形の弧の長さと面積」が苦手でもコレなら分かる!中学1年数学「平面図系」

中学数学「おうぎ形の孤の長さと面積」がどうしても理解できないという子にも分かるように、ひとつひとつのつまずきポイントを丁寧に解説していくよ!

おうぎ形の弧の長さと面積
つまづきポイント

つまづきポイント
  • 公式が複雑で、見ただけで挫折してしまう
  • 公式が「どうしてそうなるのか」分からない
  • 「おうぎ形」というだけで苦手意識がある
どんなに説明を受けても、とにかくピンとこないんだよ・・
どうせ難しそうと思って諦めちゃうんだ。

おうぎ形の弧の長さと面積を
身近な話に変えてみよう!

じゃあ、「おうぎ形」とか「弧」とかは一旦いったん忘れて、
身近な話で考えてみよう。

考えてみよう

太郎くんのクラスは、全部で40人の生徒がいるよ。

でも、インフルエンザでみんなお休みになって、2分の1の生徒だけが残ったんだ。

さて、何人の生徒が残っている?

そんなのカンタンだよ。
40人の半分の、20人でしょ。

計算で表すと、

40×\(\frac{1}{2}\)=20

ということだね。

もちろん、これが2分の1でなくて、4分の1でも同じ考え方でいいよね。

これって、「円」と「おうぎ形」でも同じことなんだよ。

「全部で」というのが「円」のこと。
「残った生徒」が「おうぎ形」のことで考えてみて。

「円」=「全部」

円というのは、「パーフェクトな状態」のことだよね。

ホールケーキとかピザで例えるなら、「食べる前」の状態。
つまり、全部揃った状態。満タン状態。

さっきのクラスの例えで言うと、「クラス全員の人数」。

「おうぎ形」=「残ったもの」

おうぎ形というのは、パーフェクトだった円が欠けた状態。

※イメージしやすいように、このページでは おうぎ形のことを「残った部分」という表現をするよ。

ケーキやピザでいうなら、何切れか食べられてしまった状態。
さっきの例えなら、「インフルエンザで何人かがお休みして、残った生徒」のことだね。

この、
「残ったもの」が実際どのくらいの量とか数があるのかは、「もとのパーフェクトな状態とくらべてどのくらいの割合残っているのか」 でもとめられるよね。

クラスで考えた時のように、「もとの生徒の数」とくらべて「半分」残ったから、「残った生徒の数」は

40(全部)× \(\frac{1}{2}\)(どのくらい残ったか)=20(残った生徒の数)

になるんだよね。

おうぎ形も、

「円(全部)の時の円周」× 「残った割合」 = 「おうぎ形(残った部分)」の円周」

というように求めることができるんだ。

説明だけだとピンとこないので、例題を解きながら説明していくよ。

おうぎ形の弧の長さと面積を
例題で考えてみよう

例題

次のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。

まずはもとの円(全部)の弧の長さと面積を求める。

クラスの生徒の例えだと、
「クラスの生徒は全部で40人」とあらかじめ分かっていたよね。

でも、このおうぎ形の「もともとの円の円周や面積はいくつなのか?」は
あらかじめ分かっていないね。

だから、まずは「もともとの円の弧の長さや面積はいくつなのか?」を求める必要があるんだ。

もともとの円が描いていないから、そんなの分からないよ。
くまごろう
くまごろう
ここで手がかりになるのが、おうぎ形にある「3㎝」という数字。
これって、実はもとの円の半径の部分なんだよね。

ということは、この半径を使えばもとの円の円周も面積も求めることができるね。

円周の求め方は 「直径(半径×2)×π」なので、

 3×2×π=6πcm

つまり、もとの円だった時の円周は6πだね。

円の面積の求め方は 「半径×半径×π」なので、

 3×3×π=9π㎠

ということになるね。

じゃあ、おうぎ形が、この円の半分だったとしたら?

円周も、面積も、もちろん半分になるよね。

だから円周なら6π㎝の半分の「3π㎝」になるし、
面積は「9π㎠の半分の「\(\frac{9}{2}\)π㎠」になるね。

4分の一だったら?
3分の2だったら?

とにかく、
もとの円の円周や面積を求めれば、
もとの円と比べておうぎ形がどのくらい残っているかによって、
おうぎ形の面積や円周も求めることができるんだね。

でも、おうぎ形が「もとの円」のどのくらい残っているのかは、どうやって分かるの?

それが分かるのがおうぎ形の「中心角」なんだ。

中心角を見れば
「おうぎ形がもとの円に対してどのくらい残っているか」が分かる!

おうぎ形が、もとの円にたいしてどのくらい残っているかの割合を求めるには、
円の中心核360度に対して、おうぎ形の中心角がどのくらいあるのかで求められるんだ。

例えば、ちょうど半分のおうぎ形の中心角は180度。

180度は、360度に対してどのくらいあるかの割合を求めると、

180÷360
=\(\frac{180}{360}\)
=\(\frac{1}{2}\)

90度の場合なら、
90÷360
=\(\frac{90}{360}\)
=\(\frac{1}{4}\)

こうやって、「おうぎ形の中心角」÷360をすれば、おうぎ形がどのくらい残っているのかの割合が求められるんだよ。

例題のおうぎ形の中心角は、120度だね。

そうすると、
120÷360
=\(\frac{120}{360}\)
=\(\frac{1}{3}\)

このおうぎ形は、もとの円に対して\(\frac{1}{3}\)残っているということだね。

求めた割合を、円周や面積にかける

そうしたら、あとは「もとの円だったときの円周や面積」に、求めた割合をかけてあげれば、おうぎ形の弧の長さや面積が求められるということだね。

もう一度、ひとつひとつ手順を表すと

①もとの円の円周や面積をもとめる

②おうぎ形が、もとの円に対して「どのくらい残っているか」をもとめる

③ ①に②をかける

例題で考えると、

①もとの円の円周は6π

②おうぎ形は、もとの円に対して\(\frac{1}{3}\)残っている。

③ ①に②をかけると、\(6π×\frac{1}{3}=2π\)

というわけで、弧の長さは2π㎝だね。

くまごろう
くまごろう
同じように、おうぎ形の面積を求めると、3π㎠になるよ。

この作業をいっぺんに表したのが教科書の公式なんだよ。

弧の長さの公式:\(l=2πr×\frac{a}{360}\)

弧の長さの公式の意味のイラスト

おうぎ形の面積の公式:\(s=πr^2×\frac{a}{360}\)

おうぎ形の面積の公式の意味のイラスト
ABOUT ME
yumineko
2児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。 志望校にトップ10位内で合格を果たす。 勉強をみるにあたって感じたのは、教科書の説明には子供には分かりづらい部分が多く、子供にイメージしやすく噛み砕いて説明するのがとても有効だということ。 同じように教科書の内容が分かりづらいと感じている子供たちの ヒントになれば、との思いで「教科書を分かりやすく通訳するサイト」創設。

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