中学数学

中学数学数の大小「不等号」「絶対値」をかんたんな言葉で説明!イラストや身近な例えでわかりやすく解説

絶対値について説明しているイラスト

中学数学「数の大小」
yumineko
yumineko
このページでは、中学数学「数の大小」を学習するときに登場する「不等号ふとうごう絶対値ぜったいち」というものが何かを解説するよ!

数の大小とは

「数の大小」とは、そのまま「ある数が、他の数と比べて大きいか小さいか」を考えることだよ。

他の数より大きいか小さいか・・・って、
今更!??
くまごろう
くまごろう
それが、中学数学では「負の数(マイナスの数)」が登場しているよね。
だから、数の大小を考えるときも、単純じゃなくなってくるんだ。

ザックリいうと
中学数学で数の大小を学ぶ理由は・・

マイナスの数の場合に「どちらの数が大きいのか」を間違えないように注意しよう!ということ

くまごろう
くまごろう
ある2つの数があるとき、どちらが「大きい数か」は分かるかな?
えっ
そんなのカンタンだよ。
例えば、5と7だったら
7の方が大きい数だよね。
そのまま「大きい数字の数」を選べばいいんでしょ。
くまごろう
くまごろう
小学校の算数までだったらそうだね。
でも、中学数学では、負の数(マイナスの数)が登場しているから、「見かけの数」で考えるだけだとダメなんだ。

さっきの例でいうと、
−5と−7だったら、どちが「大きい数」か分かるかな?

5と7なら、7の方が大きい数字だから・・
・・あれ??
くまごろう
くまごろう
そう。
7の方が大きい数字だけど、負の数では、「大きい数字」=「大きい数」ではないんだ。

数の大小は、数直線を使うと一目瞭然!

くまごろう
くまごろう
それぞれの数を数直線で表してみよう。

数直線では、「右に行くほど数は大きくなって、左に行くほど数は小さくなる」 よ。

−7は、−5よりも左側にあるね。
ということは、−7と−5では、−5の方が数が大きいんだ!!
くまごろう
くまごろう
正の数では、「0から離れれば離れるほど(右に行けばいくほど)」数はどんどん増えていくよね。でも、負の数では、「0から離れる」ということは、0にどんどん遠くなっていくんだから、その数は「小さく」なっていってしまうということだね。

負の数(マイナスの数)では、数字が大きいほど「小さな数」になる!

 

不等号ふとうごうとは

ザックリいうと
「どっちが大きいか」を表す記号!

くまごろう
くまごろう
不等号のマークは見たことあるんじゃないかな?

イコール のマークは「等しい」ということを表すよね。

\(3+5=8\)
「3と5を足したものは、8と等しい」ということ!

くまごろう
くまごろう
この「=」のことは「等号とうごう」と呼ぶんだ。
ひとしい」ことを表す「記」だからだね。

不等号はというと、こんな記号を使うよ。




不等号は、「大きく口が開いているほう」が「大きい」ということを表すよ。

例えば、

A<Bだったら、
「BはAよりも大きい」ということ。

A>Bだったら、
「AはBよりも大きい」という意味なんだ、

くまごろう
くまごろう
どうして「不等号」という名前かというと・・
「どちらかが大きいことを表す」わけだから、
つまり「2つの数は等しくない」ということだよね。
そうか!
しくない」ことを表す「記」だから、「不等号」なんだ!

不等号はどうやって「読む」の?

\(2<5\)
「2 しょうなり 5」

\(5>2\)
「5 だいなり 2」

と読むよ!

3つ以上の数の大小を不等号で表すには?

3と5と7を不等号で表してみるよ。

小さい順なら、
\(3<5<7\)
大きい順なら、
\(7>5>3\)

と表すよ。

\(3<7>5\)
というように、「大きい」や「小さい」の向きを混ぜて使うことはしないので注意!

絶対値ぜったいちとは

教科書にはなんて書いてあるの?

絶対値とは

数直線上で、ある数に対応する点の原点からの距離を、その数の絶対値という。

くまごろう
くまごろう
実際に数直線で見てみよう。

「スタート地点」から、「東」と「西」に分かれている数直線で考えてみよう。

くまごろう
くまごろう
みつお君は「西」へ5km、たろう君は「東」へ5km進んだとするよ。

このとき、数直線で表すと
みつお君は「−5」で、たろう君は「+5」になるね。

でも、みつお君はスタート地点から「5km進んだ」わけで、たろう君と「歩いている距離は同じ」だよね。

くまごろう
くまごろう
このように、「絶対値」というのは、原点(スタート地点・基準の点)から「どのぐらい距離があるか」ということを表すことなんだ。

絶対」という言葉は、
絶対約束だよ!」と使うように、「必ず」というイメージが強くないかな?

実は「絶対」には、「立することをつ」という意味もあるんだ。
つまり、「対立する(比べる)ことを絶つ(やめる)」ということ。

なので、「+」とか「−」とか比べることなく
ただ単に「それが原点からどのくらい動いたのか」で考える ということなんだ。

絶対値について説明しているイラスト
くまごろう
くまごろう
まぁ、ムズかしく考えずに、
+5の絶対値は「5」、−5の絶対値も「5」
つまり、「符号をとってしまうだけでOK」と考えても大丈夫だよ。
でも、一体なんのためにこんな面倒くさいことまで考えるの?

絶対値は、今ではまだ「一体何に役立つの?」とピンとこないけど、この先の高校数学や複雑な学習で必要になってくるよ。

くまごろう
くまごろう
実は、「負の数の大小」を見分けるときにも早速「絶対値」が役に立つんだよ。

−5と−7、どちらが大きい数字かを考えるときに、「負の数では、数字が大きい方が小さい数になる」のがポイントだったよね。

そうか、この「数字が大きい」というのは、「絶対値が大きい」ということだったんだ!

つまり、負の数の大小を考えるときは、数直線で表さなくても、「絶対値が大きい」ほど「数は小さくなる」ということ
絶対値を見れば、どちらが大きい数なのか、小さい数なのか一目瞭然ということだね。

yumineko
yumineko
もちろん、正の数の場合は、「絶対値が大きい」ほど「数は大きくなる」よ!

絶対値の記号

絶対値の記号には、「||」のように、2本の縦線を使うよ!
|5|は「5の絶対値」、
|−5|は「−5の絶対値」という意味になるよ。

こういう問題が出る!

yumineko
yumineko
実際の問題は、こういう風に出てくるよ

数直線を使って、数の大小を不等号で答えるタイプ

数直線を利用して、次の各組の数の大小を、不等号を使って表しなさい。

(1)\(−6 、+8\)
(2)\(−3、−9\)

 

【考え方】

①まずは それぞれの数字を
数直線の上に記入しよう!

②それぞれの数字のうち、
左側にあるものほど「小さい数」。
(右側にあるものほど「大きい数」)

ということは、左側にある「−6」は、右側にある「+8」よりも小さい数ということだね。

小さい数順(または大きい数順)に、
不等号の記号「<」(または「>」)を使って書こう

こ答え
(1)−6<+8
※+8>−6でも正解

(2)−9<−3
※−3>−9でも正解

くまごろう
くまごろう
小さい順に表したときは−6<+8になるし、大きい順に表したときは+8>−6になるね。
これはどちらでも正解だよ。
不等号の記号の「開いている方」が大きい数の方になるようにだけ注意してね

これでOK!

数の大小を不等号を使って表わすタイプ

次の各組の数の大小を、不等号を使って表しなさい。

(1)−7、−4
(2)+6、+11

さっきの問題と違うのは、「数直線を使って」という部分がないことだね。
つまり、「数直線をヒントにできない」ということ。

このとき役に立つのが「絶対値」なんだ。

 ①数字の組み合わせが、
「正の数」なのか「負の数」なのか見る

(1)をみてみよう。
\(−7\)と\(−4\)の組み合わせなので、「負の数」だね。

(2)は、
\(+6\)と\(+11\)なので、「正の数」だね。

②絶対値で数の大小を判断する!

「正の数」のときは、絶対値が大きいほど「数は大きい」よ。
「負の数」のときは、絶対値が大きいほど「数は小さい」ね。

つまり、
(1)は負の数なので、絶対値が大きいほど数は小さくなる。
−7の絶対値は「7」
−4の絶対値は「4」。
絶対値が大きい−7の方が−4よりも小さい数ということがわかるよ。

あとは、不等号で順番に書けばOK!

(2)は正の数なので、絶対値が大きいほど数も大きくなる。
+6の絶対値は「6」
+11の絶対値は「11」。
絶対値が大きい+11の方が+6よりも大きい数ということがわかる。

あとはやはり、不等号で順番に書けばOKだよ。

 

答え
(1)\(−7<−4\)
※\(−4>−7\)でも正解

(2)\(+6<+11\)
※\(+11>+6\)でも正解

分数で問題が出たときはどうする?

数の大小の問題では、問題に分数が登場することもあるよ。

次の各組の数の大小を、不等号を使って表しなさい。

\(-\frac{5}{8}\),\(-\frac{2}{9}\)

分母が同じであればいいけど、分母が違う分数だと、パッとみて「どちらが大きい数」かどうか分かりにくいよね。

くまごろう
くまごろう
分数が出た時、どうすればいいか2つの方法があるよ!

方法①通分する

分母が違って分かりにくいのだから、「通分」すればいい ね。

\(-\frac{5}{8}\),\(-\frac{2}{9}\)だから、
通分すると

\(-\frac{45}{72}\),\(-\frac{16}{72}\)になるね。

絶対値は\(-\frac{45}{72}\)の方が大きい。
2つは負の数なので、絶対値が大きい方が数は小さくなるね。

あとは大小に合わせて不等号で表せばOK。
答える時は通分する前のもとの分数のまま答えよう。

方法②分数を「分子÷分母」することで小数に直す!

分数を小数に直せば、どちらが大きい数字なのかハッキリする ね。

分数を小数に直したい場合は、「分子」を「分母」で割ればよかったね。

上の問題だと、

\(-\frac{5}{8}\)は「\(−(5÷8)\)」で、 \(−0.625\)。

\(-\frac{2}{9}\)は「\(−(2÷9)\)」で \(−0.222\)。(小数点第3位を四捨五入したよ)

小数に直せば、絶対値は-0.625の方が大きいって分かるね。

あとは、「負の数」では「絶対値が大きいほど数は小さい」ので、

\(-0.625<-0.222\)

問題では分数だったから

\(-\frac{5}{8}\)<\(-\frac{2}{9}\)が答えだよ。

答え

\(-\frac{5}{8}\)<\(-\frac{2}{9}\)
※\(-\frac{2}{9}\)>\(-\frac{5}{8}\)でも正解

中学数学ではココを押さえればOK!
数の大小まとめ

 

まとめ
  • 数直線では「右にいくほど数は大きくなる
  • 数直線では「左にいくほど数は小さくなる。
  • どちらか片方が、もう片方よりも大きいことを表す記号を不等号ふとうごうと呼ぶ。
  • A<Bは、「AはBよりも小さい」「BはAよりも大きい」ことを表す。
  • A>Bは、「AはBよりも大きい」「BはAよりも小さい」ことを表す。
  • 3つ以上の関係を表す時、<と>の向きを混ぜて使ってはいけない
  • 数直線上で、ある数に対応する点の「原点からの距離」を、その数の絶対値ぜったいちという。
  • 負の数では、絶対値が大きいほど数は小さくなる。
  • 正の数では、絶対値が大きいほど数は大きくなる。
  • 分数を含む数の大小を答える場合の方法2つ
    ①通分して考える
    ②分数を小数に直して考える
yumineko
yumineko
次は「加法かほう」について解説するよ!

 

 

 

ABOUT ME
yumineko
2児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。 志望校にトップ10位内で合格を果たす。 勉強をみるにあたって感じたのは、教科書の説明には子供には分かりづらい部分が多く、子供にイメージしやすく噛み砕いて説明するのがとても有効だということ。 同じように教科書の内容が分かりづらいと感じている子供たちの ヒントになれば、との思いで「教科書を分かりやすく通訳するサイト」創設。

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