「長方形のたての長さと面積の関係」周が同じでも面積が変わる理由

小学校４年生の算数で学習する「面積」について、長方形と正方形の周りの長さと面積にはどういう関係があるのかをわかりやすく解説するよ。

周りの長さが同じでも、四角形が正方形に近づくにつれて面積が増えるのはなぜか、くわしく紹介しているよ。

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周りの長さが同じ四角形の面積

長方形と正方形の面積の求め方を学習したね。
このページでは、長方形と正方形の周りの長さと、面積にはどういう関係があるかを学習するよ。

次の３つの長方形を見てみよう。

長方形アの周りの長さは２＋７＋２＋７＝１８ｃｍ
長方形イの周りの長さは３＋６＋３＋６＝１８ｃｍ
長方形ウの周りの長さは４＋５＋４＋５＝１８ｃｍ

３つとも、「周りの長さが１８ｃｍ」で同じだね。

では、この３つの長方形の面積を計算してみよう。

たろう

周りの長さが同じなんだから、もちろん面積も同じだと思うよ。

長方形の面積は「たて×横」で求めることができるよね。

長方形アの面積は２×７＝１４ｃｍ^２
長方形イの面積は３×６＝１８ｃｍ^２
長方形ウの面積は４×５＝２０ｃｍ^２

くまごろう

なんと周りの長さが同じなのに、面積はちがうんだ。

３つの長方形の周りの長さと面積の関係をまとめると次のようになるよ。

３つの長方形の周りの長さと面積の関係から、次のことがわかるよ。
長方形の「たて」と「横の長さ」が同じくらいになっていくと、だんだん面積は大きくなる。

もっとわかりやすくいうと、
周りの長さが同じでも、「正方形っぽく」なるにつれて、面積は大きくなっていくんだ。

今度は、長方形と正方形では「周りの長さと面積の関係」がどうなっているのかを求めてみよう。

アの周りの長さは２＋１０＋２＋１０＝２４ｃｍ
イの周りの長さは６＋６＋６＋６＝２４ｃｍ

アは長方形で、イは正方形だけれど、２つとも周りの長さは２４ｃｍでおなじだね。

それでは２つの図形（長方形と正方形）の面積を計算してみよう。

長方形の面積は「たて×横」、正方形の面積は「１辺×１辺」で求めることができるから、
アの面積は２×１０＝２０ｃｍ^２
イの面積は６×６＝３６ｃｍ^２

たろう

周りの長さはおなじでも、やっぱり面積はちがうんだね。

２つの図形の周りの長さと面積の関係をまとめると次のようになるよ。

２つの図形の周りの長さと面積の関係から、次のことがわかるよ。
「たて」と「横の長さ」が同じになると面積は大きくなる。

もっと、わかりやすくいうと、
周りの長さが同じでも、正方形になると、面積は大きくなっていく。

やっぱり、さっき説明した関係がなりたっていることがわかるね。

長方形の長さと面積の関係

周りの長さが同じでも、正方形に近づくにつれて面積は大きくなる

正方形に近づくと面積が大きくなる理由

周りの長さが同じでも、正方形に近づくにつれて面積が大きくなることがわかったけれど、なぜそうなるのかフシギだよね。

少しむずかしい説明にってしまうのだけれど、なぜ正方形に近づくと面積が大きくなるのかを説明するよ。

長方形の面積を、１ｃｍ^２の正方形であらわしてみるよ。

長方形の周りの部分の正方形を白い正方形だとすると、「周りの長さが同じ」というのは、「白い正方形の数が同じ」ということだよね。

ただ、図を見てわかるとおり、周りの長さが同じでも形が正方形に近づくにつれて白の長方形にかこまれている「黄色の正方形」の数がふえていくよね。

黄色の正方形の部分が増えるほど、面積も大きくなっているということだよね。
だから、正方形に近づくにつれて面積が大きくなるんだよ。

たろう

正方形に近づくと、周りに囲まれる部分が増えるから面積が大きくなるんだね。

長方形と正方形で比べても、同じことがいえるよ。

周りの長さ（白い正方形の数）が同じでも、正方形は周りに囲まれる部分（黄色い正方形の数）が増えていることがわかるね。

長方形の長さと面積の関係を使った問題

運動場に長さが２０ｍのひもで長方形または正方形のコートを作ります。一番面積が大きくなるのは、たてと横の長さがそれぞれ何ｍのときになるかを答えなさい。

周りの長さが同じでも、正方形に近づくにつれて面積が大きくなるのだから、
できるだけ正方形になるように、たてと横の長さを考えればいいんだよね。

２０ｍのひもで長方形または正方形のコートを作るということは、できあがるコートの周りの長さは２０ｍになるということだよね。

長方形も正方形も４辺あるので、周りの長さを４で割ればいいね。
２０÷４＝５で割り切れるので、
１辺は５ｍになるね。
４辺がおなじ長さなので、できあがるコートは正方形だね。

問題では「コートの面積が一番大きくなるのは、たてと横の長さがそれぞれ何ｍのときか」ときかれているので、答えは「たて５ｍ、横５ｍのとき」だね。

ちなみに面積は５×５＝２５ｃｍ^２とわかるよ。

周りの長さが２４ｃｍになるように、長方形や正方形をつくります。
下の表をうめなさい。

たての長さがわかっているので、それをもとに横の長さと面積を求めればいいんだね。

長方形と正方形は、向かい合う辺の長さはおなじだから、「たてが３ｃｍ」だったら、たての辺が２辺で、３×２＝６ｃｍになるね。
周りの長さが２４ｃｍだから、たての２辺ぶんの６ｃｍを引くと、
２４－６＝１８で、横の長さは２辺合わせて１８ｃｍということがわかるね。

ということは、１辺の横の長さは、１８÷２＝９ｃｍだよね。

さらに長方形の面積は「たて×横」で求められるから、
３×９＝２７ｃｍ^２とわかるよ。

あとは、たてが４ｃｍ～１１ｃｍも同じように計算すると、表は次のようになるよ。