集合と要素とは？記号の書き方と意味は？イラストと身近な例でわかりやすく解説！高校数学A

高校数学Aで学ぶ「集合と要素」について、言葉の意味や記号の意味をわかりやすく解説します。

高校数学A
「集合と要素」

目次【本記事の内容】

1.集合と要素とは（教科書の説明）
2.「集合・要素・属する」とは？身近な例で考えてみよう
　2-1.集合とは
　2-1.要素とは
3.まとめ

ここに見出し２

ここに見出し３

まとめ

「集合しゅうごうと要素ようそ」
教科書にはなんて書かれてるの？

教科書の説明

ある条件を満たすもの全体の集まりを集合といい、集合をつくっている個々のものを集合の要素という。
aが集合Aの要素であるとき、aは集合Aに属ぞくするといい、a∈Aで表す。また、bが集合Aの要素でないことをb∉Aで表す。
集合を表すには、要素を書き並べて表すか、要素の条件を書いて表す。

例　12の正の約数全体の集合A
A={1，2，3，4，6,12}
A={x｜xは12の正の約数}

難しい言葉ばかりだし、記号を見ただけでクラクラする・・

くまごろう

そうだよね。
言葉自体が難しいし、見たこともない記号が出てきてパニックだよね。
「何を言っているのかさっぱりわからない！」という子の為に、
早速通訳していくよ！

「集合」とか「要素」、
「属する」って？簡単な言葉にしてみれば理解できる！

教科書くん

ある条件を満たすもの全体の集まりを集合といい、集合をつくっている個々のものを集合の要素という。

くまごろう

教科書では難しそうに話してるけど、実はとっても単純なハナシなんだ。
早速身近なものに置き換えて通訳していくよ！

では、身近なところで

「学校のクラス」

に置き換えて説明するね。

「集合」って？

ザックリいうと
「集合」とは、要は「あるグループ」というようなものだよ。

集合というのは、「ある条件を満たすもの全体の集まり」のことなんだよね。

「学校のクラス」で例えると・・

学校のクラスには「１年1組」というグループがあるよね。

これはつまり、「「1年１組である」という条件を満たす生徒の集まり」なんだね。

この集まりのことを「集合」と呼ぶ、というだけのことなんだ。

「要素」って？

ザックリいうと
「要素」とは、つまり「グループのメンバー」のこと！

グループにはもちろん、メンバーがいるよね。
「要素」というのは、「そのグループのメンバー」のことなんだ。

「学校のクラス」で例えると・・

「１年１組」のメンバーは、「1年１組の生徒たち」だよね。

だから「1年１組」という「集合」の「要素」は、「1年1組の生徒たち」のこと だよ。

では続けるよ。

教科書くん

aが集合Aの要素であるとき、aは集合Aに属するといい、a∈Aで表す。また、bが集合Aの要素でないことをb∉Aで表す。

くまごろう

つづけて学校のクラスに例えて通訳していくよ。

Aとかaとか、一体何のこと？

ザックリいうと
グループの名前やメンバーを省略しただけ！

グループの名前だけど、「１年１組」とかいちいち言ったり書いたりするのは大変だよね。

なので、グループの名前を省略して、たとえば「A」と呼ぼうよ！というだけのことなんだ。

そして要素（メンバー）のことも省略して、「a」と呼ぶんだよ。

「∈」って一体何？？

ザックリいうと
「グループのメンバーだよー」ということを表す記号

例えば、山田君は1年1組で、田中君は1年2組だったとしよう。
さらに山田君を「a」君、田中君を「b」君と呼ぶことにするよ。

くまごろう

図解するとこんな感じ

山田君「a」は1年1組の生徒だよね。
つまり、「1年1組のメンバー」だね。

この「あるグループのメンバーである」ということを「属する」という言葉で表現するんだ。

さらに「属する」ということを表すことができる記号があって、それが「∈」なんだ。

ということは、「山田君は１年１組のメンバー」ということを「山田君∈1年1組」と、記号で表せるんだね。

くまごろう

さらに山田君を「a」、１年1組を「A」と省略すれば、「a∈A」だけでいいんだ。

わかりやすいし、ラクチンだよね。

「∈」はなんて読むの？？

∈はそのまま「属する」と読むよ。
A∈Bなら、一般的に「AはBに属する」と読むよ。

このとき、Bの立場から考えると、「BはAを元げんとして含む」と読むよ。

じゃあ「∉」って一体何？？

ザックリいうと
「グループのメンバーじゃないよー」ということを表す記号

「属する」という記号があるなら、「属していない」という記号もあるんだよ。

それが「∉」 なんだ。

田中君「ｂ」は1年1組の生徒ではない。つまり「属していない」よね。

なので、
「田中君∉1年1組」
つまり、「ｂ∉A」と表すよ。

教科書の説明は、こういうことを言っているんだ。
すごく当たり前のことを言っているだけで、拍子抜けだね。

くまごろう

内容自体は身近な例に置き換えてみればカンタンに理解できるよね。あとは、∈とか∉の記号を覚えればいいだけだね。

集合のことを表すには書き方のルールがある

では教科書の内容の続きを見てみよう。

教科書くん

集合を表すには、要素を書き並べて表すか、要素の条件を書いて表す。

これは、「集合Aがどんなものかを説明する方法は２つあるよー」ということを言っているよ。

くまごろう

いきなり「集合A」とだけ言われても、「えっ　それ、なんのグループ？」ってなるでしょ。これを、「○○なグループ」と説明する方法があるということだね。

方法①
メンバーを1人1人紹介する！

方法のひとつはメンバーを1人1人書き並べること。

さっきの例えで言うと、1年1組の生徒の名前を1人ずつ書き並べる方法だね。

書き方にはルールがあるよ。

その集合の記号＝｛メンバー名・メンバー名・メンバー名・・・｝
　　　　　↓この場合は
A={山田・伊藤・鈴木・斎藤・・・}

という書き方をするんだ。

くまごろう

この「・・・」は以下省略の意味で使われているよ。

もし４人しかいないクラスなら、
A={山田・伊藤・鈴木・斎藤}でOKだよ。

方法②
メンバーになれる条件を紹介する！

もう一つの方法は、条件を書き記す。
1年１組のグループに入る条件は、そのままだけど「1年1組の生徒であること」だよね。

これにも書き方のルールがあるよ。

その集合の記号＝｛ｘ｜条件を示す文｝
というように書くんだ。
なので、今回の場合は

A={ｘ｜ｘは1年1組の生徒}

と書くことになるね。
ｘは要素の代表として登場しているよ。
「生徒名を一人だけ書くわけにいかないからｘって呼んでおくね」
といった感じかな。

A={ｘ｜　
の前半部分は
「集団Aはｘな人たちの集まりだよー。」
という意味で、

ｘは1年1組の生徒}
という後半部分は、
「ｘは1年1組の生徒だよー。」
という意味なんだ。