数学Ⅰ

「たすき掛け」を使う因数分解を詳しく解説!高校数学Ⅰ 「因数分解」(中編)

yumineko
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さて、今回は高校数学から新しく加わるもうひとつの公式「たすき掛け」の解説をするよ。
たすき掛けが必要になる因数分解の解き方パターンを見てみよう。

高校因数分解の解き方パターン③
「たすき掛けの公式を使って解く」

高校数学因数分解の解き方パターンは5つあったね。

その中の3つ目のパターンが「たすき掛け」の解き方なんだ。

くまごろう
くまごろう
「たすき掛け」が必要になる問題はたとえば・・

例題

2x2−5xy−3y2    を因数分解せよ

くまごろう
くまごろう
どうかな?
これまで学習したパターン①やパターン②の解き方は使えるかな
うーん・・
パターン①の「くくりだし」は出来ないね。
パターン②の公式も・・・

当てはまるのがないや。

くまごろう
くまごろう
そうなんだ。
それぞれの項の係数「2」と「-5」と「-3」では、くくりだしはできないし、
x2の前に係数があるから、今までに習った3つの因数分解の公式の形には当てはまらないから使えないよね。
くまごろう
くまごろう
そこで登場するのが4つ目のあたらしい公式なんだ。
つまり、x2の前に係数があって今までの公式が使えないから新しい公式を勉強する必要があるということだね。

たすきがけの公式とはどんな式?

新しく加わる因数分解の公式

④acx2+(ad+bc)x+bd=
(ax+b)(cx+d)    

あれっ!
これも新しい展開の公式
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
を逆にしただけだね!

展開の公式がピンと来ない
場合はここをチェック!

そう。
新しく増えた展開の公式も、
「xの前にそれぞれ異なる係数」があっても対応できるために加わった公式だったね。

因数分解でも同じこと。
「x2の前に係数があっても対応できるために加わった」というイメージでいいよ。

それでは、今回の問題を実際に公式に当てはめてみよう。

問題の式   2x2−5xy−3y2
 公式       acx2+(ad+bc)x+bd

それぞれ対応する部分に注目すると、
acx2=2x2
(ad+bc)x=−5xy
bd=−3y2
だよね。

つまり、aとcをかけたものが
「2」になるということだし、

adとbcを足すと
「−5xy」になるということだし、

bとdをかけたものが
「−3y2」になるんだよね。

この条件にあてはまる
4つの数字
a と b と c と d
を見つければいいんだ。

どうやって4つの数字を見つけるの?

4つも数字があるのに、どうやって見つけるのか見当もつかないよ!
くまごろう
くまごろう
たしかに、やみくもに探していたらとても無理だよね。
でも、
ヒントがあるのが分かるかな?

ヒント①
aとcをかけたものが「2」になる

くまごろう
くまごろう
今回の問題の場合、「aとc」はかけると「2」になるんだよね。
「かけて「2」になる数字の組み合わせ」って何が考えられる
えっと・・
1×2=2しかないかな。
うん、
1と2の組み合わせだね。
くまごろう
くまごろう
そう。
aとcは、「1と2」なんだよね。
どちらがどちらかはまだ分からないけどね。
少なくとも、
a=1で、c=2
それか、
a=2で、c=1

または
a=−1で、c=−2
a=−2で、c=−1

この4パターンだよね。

ヒント①から分かること

a=1、c=2
a=2、c=1
a=−1、c=−2
a=−2、c=−1

のどれかである。

同じことで、

ヒント②
bとdをかけたものが
「−3y2」になる。

かけると−3yになる
数字の組み合わせは
−yと3y
または
yと−3yだね。

b=−y、d=3y
b=y、d=−3y
b=3y、d=−y
b=−3y、d=y

この4パターンだね。

ある程度4つの数字の候補が
絞れてきたね。

最後に

ヒント③
adとbcを足すと
「−5xy」になる。

この3つめのヒントで
数字が決まるんだ。

足し引きした結果
−5になる、というのも
大体のパターンは考えられるよね。

(−2)+(−3)=−5
(−6)+(+1)=−5

 

−5になる組み合わせは他にもあるんじゃない?と思ってしまうところだけど、
ヒント①と②で分かったようにaもbもcもdも、候補は1から3の数字なんだ。
その数字を掛け合わせて出来るものを考えれば十分。
例えば、−7+2も−5になるけど、
−7がそもそもありえないよね。
(1、2、3を掛け合わせて7は出来ない)

これで候補が見つかったので、
いよいよ「たすき掛け」をしていくよ。

たすき掛けのやり方

たすきがけの手順

  • ①a,b,c,dそれぞれの候補の数字を
    決められた位置に置いていく
  • ②斜めにかける(これが「たすきがけ」)
  • ③それぞれの答えの和をもとめる
  • ④③の答えがxの係数の数字と一致すれば
    終わり!

図で解説するよ。


早速、候補の数字のパターンの
ひとつを置いてみよう。

斜めに掛け合わせる
(たすきがけ)


求めた積の和を求める

今回は、−2yと3yの和だから、
「y」になるね。
これは、問題の式 2x2−5xy−3y2
xの係数「−5y」とは一致しない。

だから、この組み合わせではないんだ。

では、他の組み合わせを試すよ。

たすきがけした積の和が、xの係数と一致したね!

ということは、この組み合わせが正解なんだ。

あとは、公式のa、b、c、d
それぞれに
みつけた正解の組み合わせの数字を
当てはめれば、それが答えだよ。

公式
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

(ax+b)(cx+d)に、

正解の組み合わせ
a=1、b=−3y、c=2、d=y
を当てはめて

(x-3y)(2x+y)

これが答えだね。

まとめ

yumineko
yumineko
「たすき掛け」を使う因数分解の解き方パターンを紹介したよ。でも、これってけっこう大変だよね。
なので、もっと簡単に答えを見つけられる「裏ワザ」も紹介するよ
ぜひチェックしてね!
ABOUT ME
yumineko
2児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。 志望校にトップ10位内で合格を果たす。 勉強をみるにあたって感じたのは、教科書の説明には子供には分かりづらい部分が多く、子供にイメージしやすく噛み砕いて説明するのがとても有効だということ。 同じように教科書の内容が分かりづらいと感じている子供たちの ヒントになれば、との思いで「教科書を分かりやすく通訳するサイト」創設。

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