数学Ⅰ

数学Ⅰ「整式の乗法」「指数法則」をこどもが読んでも分かるように噛み砕いて説明!

数学Ⅰ
「整式の乗法」と「指数法則」

教科書にはなんて書いてあるの??

教科書の説明

文字aをいくつか掛けたものを「aの累乗」という。
「aをn個掛けた累乗」を\(a^n\)(aのn乗)と書き、nは指数という。

なんだかまた難しい言葉ばかりで、嫌になってきた。
くまごろう
くまごろう
言葉は難しいけれど、実はもう今まで使ってきているよ。

太郎くんは「\(x^2\)」のことはなんて読んでいるかな?

そう、「xの2乗」だよね。

教科書くん
教科書くん
「aをn個掛けた累乗」をan(aのn乗)と書き・・・

これと同じことだよ(笑)

「\(x\)かける\(x\)」というように、\(x\)を2個掛けたものを\(x^2\)と書いているし、
「xの2乗」という言葉ももう使ってきているよね。

指数法則の用語を説明!
累乗・指数とは?

でも、ここで新しく登場する言葉もあるね。

「累乗(るいじょう)」「指数」だね。

累乗とは?

ザックリいうと
同じものを「累(かさねて)乗(かける)」ということ!

「累」という漢字は、糸の上に田という字が乗っているね。
これはもともとは田が3つ乗っていたんだ。
「糸をかさね合わせて太いより糸にしていく」様子がもとになっているんだよ。
3つの田はそれぞれ「小さなかたまり」を表している。
累という漢字の成り立ちを表したイラスト

だから、「累」は「かさねる」という意味を持っている んだ。

「乗」は「法」という言葉で使っているとおり、「かける」という意味 だよね。

つまり、「累乗」とは「かさねて、かける」ということだよ。

「xの累乗」は、「xをかさねてかけた」ものなんだ。

つまり、「xをくりかえし何個かかけたもの」だね。

くまごろう
くまごろう
ここでハッキリさせておきたいのは、
同じもの(xならxだけを)をかさねてかける」ということ。

指数とは?

ザックリいうと
「何回」かさねてかけるのかを指示する数のこと!

「指数」の「指」という字も皆はよく使っているよね。
例えば、「指示」なんて言葉で使われているね。

「指示」は「指し示す」という意味。
「こうして」と誰かに命令したり、教えたりするときに使う ね。

「\(x\)の累乗」は「\(x\)を何個かかさねてかける」という意味だったね。
でも、「\(x\)の累乗」だけだと、肝心の「\(x\)を何個かけるのか」が分からないよね

太郎
太郎
確かに・・

だから、「何個かけるのか?」を伝える「指示」が必要になるんだ。

\(x^2\)は、「\(x\)の累乗で、かける回数は2回だよ!」と
指示しているということなんだ。

指示するための数だから、「指数」なんだ。

ちなみに、この時のxは「底数」と呼ぶんだ。

「底」は「底力」でピンと来ないかな?
「底力」って、「その人のもともと持っていた力のマックス」
という意味だよね。

「底」は「もともと」、つまり「基本」という意味があるんだ。

「\(x\)の累乗」の「\(x\)」は、いわば主役だよね。
\(x\)は基本となるキャラクターなんだよ。

だから「基本となる数」=「底数」と呼ぶ んだ。

xの二乗のxが底数で、2は指数ということを表したイラスト
なるほどね。
でも、いちいち指数とか累乗とか使わなくても、\(x\)かける\(x\)でいいんじゃない?
なんで勉強が必要なの?
くまごろう
くまごろう
\(x\)かける\(x\)くらいならいいけど、「\(x\)を100回かける」とか言われたら、いちいち全部書くの大変じゃない?
xをたくさん書いて大変そうにしている男の子のイラスト
・・・・・・・だね(汗)

「\(x\)を100回かける」を「\(x^100\)」と書くだけで済ませられるなんて、累乗と指数はとても便利だね!

指数法則とは?
言葉にすれば、理解するのはカンタン!

ザックリいうと
指数を持っている数同士を計算するときのルール!

さあ、これで用語の意味は分かったかな?

では、こんどは指数法則とはなにか見ていこう。

「指数」は累乗するときの「指示するための数」だったよね。
この「指数」を持っている数同士を計算するとき、「指数はどうなっちゃうの?」
ということをまとめたのが「指数法則」だよ

覚える指数法則は、3つだけなんだ。

指数法則、
この3つのルールを覚えよう!

①\(a^m×a^n=\)\(a^{m+n} \)
(累乗の積は、指数の和)

②\((a^m)^n=a^{mn}\)
(累乗の累乗は、指数の積)

③\((ab)^n=a^nb^n\)
(積の累乗は、累乗の積)

またややこしくなってきた!難しそう!
くまごろう
くまごろう
一見難しそうだけど、言っていることは今まで習ってきたことで理解できちゃうよ。

①を例で考えてみるね。
\(a^2×a^3=a^{2+3}\)

つまり、
累乗同士をかけたときは、答えの指数は、かけた累乗それぞれの指数の足し算だよ!

ということを言っているんだ。

「それって本当?」という気もするよね。
試してみよう。

\(a×a\)(\(a\)が2個)\(×a×a×a\)(\(a\)が3個)
\(=a×a×a×a×a\)(\(a\)が5個)
\(=a^5\)

確かに答えの指数「\(5\)」は、かけた累乗それぞれの指数を足した「\(2+3=5\)」と同じだね。

こんなふうに、
もし指数法則を知らなくても、今まで習った知識で計算することもできる よね。

くまごろう
くまごろう
ではなんでこんな法則達を覚えなくてはいけないかというと、

ここから先累乗を含めた整式を掛けたりするときに、
指数法則を知っていればパッパッと計算できて便利だからなんだ。

逆に、知らないとひとつひとつ計算しなきゃいけなかったりで、
とても大変になる。頑張って覚えよう。

②も試してみよう。
\((a^2)^3=a^{2×3}\)

\((a×a)×(a×a)×(a×a)\)
\(=a×a×a×a×a×a\)
\(=a^6\)

確かに、答えの指数「6」は、累乗の指数と、それをさらに累乗するときの指数をかけた「\(2×3\)」と同じだね。

累乗をさらに累乗したときは、答えの指数は
指数同士をかけたものなんだね。

③はどうかな?
\((ab)^2=a^2b^2\)

\((ab)×(ab)\)
\(=a×b×a×b\)
\(=a^2×b^2\)
\(=a^2b^2\)

ある積の累乗は、その指数をそれぞれもつ
累乗の積と同じなんだね。

 

ABOUT ME
yumineko
2児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。 志望校にトップ10位内で合格を果たす。 勉強をみるにあたって感じたのは、教科書の説明には子供には分かりづらい部分が多く、子供にイメージしやすく噛み砕いて説明するのがとても有効だということ。 同じように教科書の内容が分かりづらいと感じている子供たちの ヒントになれば、との思いで「教科書を分かりやすく通訳するサイト」創設。

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