定義についての質問、大歓迎ですよ！
言葉の意味が曖昧だと、問題を解いていてもモヤモヤしますもんね。

もっちゃんさんが整理された１～４の内容、数学的にとても正確で、素晴らしい理解度です！
特に「図形とは点の集合である」という視点は、高校数学や大学数学にもつながる本質的な捉え方です。
頭の中をスッキリ整理するために、中学数学の視点で少し補足しますね。

【「立体」と「空間図形」の違いについて】
もっちゃんさんの書かれている通り、「空間図形」という大きな枠組みの中に「立体」が含まれます。

空間図形（Space figures）
「同一平面上にない図形」の総称です。
３次元空間にある「点、直線、平面、曲面、立体」すべてを含みます。
（例：ねじれの位置にある２直線、平面と直線の関係など）

立体（Solid）
空間図形の中でも、「空間の一部を界面（平面や曲面）で限り取ったもの」つまり「体積（中身）を持つもの」を指します。
（例：立方体、円錐、球など）

中学数学では、
「紙（平面）の上にペタッと描けるのが平面図形」
「紙から飛び出してしまう（高さや奥行きがある）のが空間図形」
というイメージで区別します。

【もっちゃんさんの整理の仕方について】
空間（３次元）：その通りです。縦・横・高さの世界ですね。
図形（点の集合）：その通りです。非常に鋭い視点です。
空間図形と立体：ここが一番の悩みどころだったと思いますが、「立体は空間図形の一部（体積を持つもの）」という理解で完璧です。
平面図形：その通りです。関数グラフも平面上の点の集合なので、平面図形の一種と言えます。

【まとめ】
図形という大きな世界の中に、
・平面図形（2次元：三角形、円、関数のグラフなど）
・空間図形（3次元：ねじれの位置、平面、立体など）
がある、という包含関係でイメージすると整理しやすいですね。

「立体とは？」と聞かれたら、シンプルに「空間内で、体積（中身の広がり）をもつ図形」と答えるのが一番わかりやすいかと思います。

「双対」、なかなかかっこいい響きの言葉ですよね。
高校数学や大学数学で深く学ぶ概念ですが、イメージがつかめればとても面白いところですね。

「双対」とは、ざっくり言うと「裏表の関係」や「対になる関係」のことを指します。
ある操作（今回は「面と頂点を入れ替える」こと）を行ったとき、AがBになり、BがAに戻るような、互いに入れ替えが可能なペアの関係を言います。

【正六面体と正八面体の関係について】
もっちゃんさんが気づかれた「２つの視点」、実はどちらも正解で、同じことを別の角度から言っているだけです。

図形的な作り方として、正六面体の「面の中心」を結んでいくと、正八面体ができます。
逆に、正八面体の「面の中心」を結んでいくと、正六面体ができます。

数的な性質としては、
正六面体（面が6、頂点が8）
正八面体（面が8、頂点が6）

このように、「面」の数と「頂点」の数が完全に入れ替わっていますよね。
つまり、「ある立体の『面』を『頂点』とみなして（中心を結んで）新しい立体を作ると、面と頂点の数が入れ替わったペアができる」。
この関係を「双対」と呼んでいるということですね。

では、正多面体以外でも使われるか？ということですが、結論から言うと使われます。

へこみのない多面体（凸多面体）であれば、一般的に双対な多面体を考えることができます。
ただ、「正多面体の双対は、また正多面体になる」という性質が非常にきれいなので、正多面体の話でよく取り上げられているようです。
（ちなみに、サッカーボールの形「切頂二十面体」の双対などもありますよ！）