自然数と素数とは？素因数分解のやり方のコツとは「整数の性質」のPDFをダウンロード
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yumineko
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青山学院大学教育学科卒業。TOEIC795点。２児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。志望校の特待生クラストップ10位内で合格を果たす。 ※サイト全体の運営実績についてはこちらにまとめています。
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ゆみねこ先生、また教えてください。次の理解は間違っていませんか？
1．互いに素な２と５は共通な因数を持たないので、それぞれを累乗した２のa乗と5のb乗（a、bは自然数）についても互いに素となる。またその逆も成り立つ。
2. ある数を素因数分解して、（５のa乗）ｘ（７のb乗）ｘ（11のｃ乗）（a、b、ｃは自然数）の形になった時、5,7,11は素数なので互いに素であり、また５のa乗、７のb乗、11のｃ乗それぞれの数も互いに素である。
宜しくお願いいたします。
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もっちゃんさん、コメント＆質問ありがとうございます。
1. 互いに素な数とその累乗について
「互いに素な２と５は共通な因数を持たないので、それぞれを累乗した２のa乗と5のb乗（a、bは自然数）についても互いに素となる。またその逆も成り立つ。」この理解は、正しいと考えます。
「2と5は互いに素」について
2と5は公約数（共通の約数）が1以外にありません。このように、公約数が1しかない2つの自然数を互いに素といいますね。これは正しいです。「2と5が互いに素なら、2のa乗と5のb乗も互いに素になる」について
これも正しいです。
なぜなら、2のa乗（例: 2, 4, 8, 16…）の約数は、すべて2の累乗（1, 2, 4, 8, …）になります。
一方、5のb乗（例: 5, 25, 125, 625…）の約数は、すべて5の累乗（1, 5, 25, 125, …）になります。
この2つの集合の約数の中で、共通して持っているのは「1」だけです。なので、2のa乗と5のb乗は、公約数が1しかないので、互いに素となります。「またその逆も成り立つ」について
「逆」というのは、「2のa乗と5のb乗が互いに素ならば、2と5も互いに素である」という意味になるかと思います。
これも正しいです。
もし2と5が互いに素でない（つまり、2と5に1以外の公約数がある）と仮定すると、その公約数は2でもあり5でもある数ということになりますが、これはありえません。2の素因数は2のみ、5の素因数は5のみなので、共通の素因数を持つことはありません。
したがって、2のa乗と5のb乗が互いに素であるならば、元の数である2と5も互いに素でなければなりません。
累乗の数が互いに素であれば、その元の素数も必ず互いに素であるという理由は、「累乗している数は、元の数が共通因数を持っていなければ、それらの累乗も共通因数を持たない」という性質に基づいています。2. 素因数分解の形について
「ある数を素因数分解して、（５のa乗）ｘ（７のb乗）ｘ（11のｃ乗）（a、b、ｃは自然数）の形になった時、5,7,11は素数なので互いに素であり、また５のa乗、７のb乗、11のｃ乗それぞれの数も互いに素である。」これも、正しいです。
「5, 7, 11は素数なので互いに素」について
5, 7, 11はそれぞれ素数であり、互いに素です。これは正しいです。「5のa乗、7のb乗、11のc乗それぞれの数も互いに素である」について
この理解も、正しいです。
なぜなら、
5のa乗の素因数は「5」だけです。
7のb乗の素因数は「7」だけです。
11のc乗の素因数は「11」だけです。
これらの数（5のa乗、7のb乗、11のc乗）は、それぞれ異なる素数だけを素因数に持っています。したがって、これらの数同士には1以外の公約数が存在しないため、互いに素となります。【補足】
この「互いに素」という言葉を、より厳密に言うと、
「5のa乗」と「7のb乗」は互いに素
「5のa乗」と「11のc乗」は互いに素
「7のb乗」と「11のc乗」は互いに素
という3つのペアがすべて互いに素であることを指します。
これは、1番目の質問で確認した「互いに素な数の累乗も互いに素である」という性質が、3つの数（5, 7, 11）に拡張されて適用されている、と考えることができます。いかがでしょうか？？
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私が二つの質問を並べた理由もくみ取っていただいた回答を頂きありがとうございます。
確認したいと思っていることが丁寧に返ってきてとても感激させられました。最後に出てきた3つの数の互いに素についてなのですが、例えば５，７，１０の3つの数の場合、5と10は互いに素ではありませんが、3つの数の最大公約数という意味では1なので、すべてのペア同士が互いに素ではなくとも、この3つの数のような場合は互いに素というものだと思ってたのですが？？
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前回の回答が役に立ったようで、私も嬉しいです。
さて、ご質問の件ですが、私が前の返信で「3つのペアがすべて互いに素であることを指す」と書いた部分と、もっちゃんさんが例に挙げられた「5, 7, 10」のようなケースには、少し説明の仕方の違いがあります。
【3つの数の「互いに素」について】
もっちゃんさんが例に挙げられた 「5, 7, 10」 の場合について考えてみましょう。
5 と 7: 公約数は1のみなので、互いに素です。
5 と 10: 公約数は1と5なので、互いに素ではありません（最大公約数は5です）。
7 と 10: 公約数は1のみなので、互いに素です。このように、3つの数（またはそれ以上の数の集まり）で、「すべてのペアが互いに素である」とは限らない というのが実情です。
では、もっちゃんさんの「3つの数の最大公約数という意味では1なので、すべてのペア同士が互いに素ではなくとも、この3つの数のような場合は互いに素というものだと思ってた」という点ですが、これは 「互いに素」という言葉の定義に、2つのケースがあるのが原因だと考えます。
「ペアごとに互いに素」
これは、もっちゃんさんが最初に確認された「5のa乗、7のb乗、11のc乗」のように、集合内のどの2つの数を取っても、それらが互いに素である 状態を指します。
この場合、集合全体の最大公約数は必ず1 になります。
私の前の返信では、この「ペアごとに互いに素」のニュアンスで説明していました。「集合として互いに素」
こちらは、集合全体の最大公約数が1である状態を指します。
もっちゃんさんが例に挙げられた「5, 7, 10」は、まさにこのケースに当てはまります。
5, 7, 10 の最大公約数は 1 です。
しかし、5 と 10 は互いに素ではありません。では、どちらの「互いに素」を使うのか？というところですが、数学の文脈によって、どちらの「互いに素」を指しているかが変わることがあります。
素因数分解との関連で「互いに素」という言葉が出てくる場合、多くは「ペアごとに互いに素」を意味することが多い です。なぜなら、その方が「素因数分解したときに、共通の素因数を持たない」という性質が明確になるからです。例えば、「5のa乗」「7のb乗」「11のc乗」の例では、それぞれが異なる素数（5, 7, 11）だけを素因数に持つため、どのペアを取っても共通の素因数を持たず、結果として「ペアごとに互いに素」となり、最大公約数も1になります。それに対して、「集合全体の最大公約数が1」 という意味で「互いに素」という言葉を使うこともあります。
例えば、ある整数問題で「3つの数 A, B, C の最大公約数が1ならば、A, B, C は互いに素である」といった表現が使われることがあります。もっちゃんさんが「5, 7, 10 のような場合は互いに素というものだと思ってた」という点ですが、それは 「集合全体の最大公約数が1」という意味での「互いに素」 としては正しい理解です。
しかし、私が前の返信で「5のa乗、7のb乗、11のc乗」について説明した文脈では、「ペアごとに互いに素」 という意味合いがより強く、その結果として最大公約数も1になる、という説明になっています。なので、
「5のa乗」「7のb乗」「11のc乗」のように、元の素数がすべて異なり、それらを累乗した数も、どのペアを取っても互いに素になる場合 は、「ペアごとに互いに素」 であり、当然「集合として互いに素」でもあります。
「5, 7, 10」のように、集合全体で見ると最大公約数が1になるけれど、一部のペアは互いに素でない場合 は、「集合として互いに素」ですが、「ペアごとに互いに素」 ではありません。
このように、「互いに素」という言葉には、少しニュアンスの違いがあるというのがポイントですね。お役に立てれば幸いです！！
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入れ違いで回答を頂いたようで先ほどの質問の1については今回の解答で理解できましたので質問の2だけお願いいたします。それにしても用語の使い方って難しいですね。
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入れ違いになってしまいましたね笑。
もっちゃんさんがネットでも調べてくださったとのこと、その熱心さに感銘を受けます。私の返信内容を基にご自身の言葉でまとめてくださったこともとても嬉しいです。「５のa乗」を塊としてみる時は何と呼べばいいのか？という件ですが、「中学校で学習する範囲で」どう呼べばいいかということで考えますね。
もっちゃんさんの考え通り、中学の数学では、こうした形はふつう「因数」と呼べば問題ありません。ただ、少しくわしく言いたいときや、数学に興味がある人が使う言い方としては、「素因数のべき乗（べきじょう）」という言葉もあります。
これは「素因数を何回かかけてできた形」という意味です。
なぜそう呼び分けるかというと、数学で「素因数分解」の話をしている文脈では、「因数」とは通常、「素数そのもの」を指すことが多いからです。中学数学の段階では、「因数」と呼ぶ認識で大丈夫かと思います。
本当に、数学用語の使い分けは難しいですね。
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お世話になります。
１，先生に疑問を投げかけてみて、色々ネットで調べてみたのですが、3つの数が互いに素であるかどうかは２つ考え方がある？？みたいで、先生が書かれていた3つのペアが互いに素でなければならないとするものと、3つの数の最大公約数が１であれば互いに素でないペアがあっても互いに素となるとするものです。
これって使い分けをしなければならないものなんですか？？２，素因数分解したときに、例えば（５のa乗）ｘ（７のb乗）において５のa乗の５は素因数、aは指数ですが、「５のa乗」を塊としてみる時は何と呼べばいいのですか？
単に因数と呼んどけばいいのでしょうか？
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また、教えてください。
1から100までの整数の中で、45と互いに素なものはいくつあるか？という問題です。
普通の集合算の解き方で、ベン図を用いて答えは53個とでました。ネットで互いに素な自然数の個数はオイラー関数を利用すると関係する素因数が多くなるほど早く解けるとありました。
試しにφ(45)を計算すると、φ(45)=24となったので、よくわからないままφ(45) = 24 を使って 90 までに 48個、残り 91〜100 の中で 45 と互いに素なのは 5個としたら答えが一致しました。
よくわからないままというのは、1～45の自然数で、45と互いに素な個数が24となった時、46から90までに45と互いに素な個数も24になることをどう示せばいいのかということです。
何時も変な質問ですがよろしくおねがいします。-
もっちゃんさん、自分でオイラー関数まで調べるなんて、本当に勉強熱心ですごいですね。
「なぜ1から45までで45と互いに素な個数が24個なら、46から90までも同じ24個になるのか？」ということですね。
これは、特定の条件下で「オイラー関数」が持つ「周期性」 という性質から来ています。まず根本から説明することになりますが、「45と互いに素な数」というのは、「45の約数（1以外）で割り切れない数」のことでしたね。
45の約数（1以外）は「3」と「5」ですね。
だから、「45と互いに素な数」というのは、「3でも割り切れないし、5でも割り切れない数」のことになりますね。
「1から45までの数」で、45と互いに素な数が24個ある。
これは、45という数そのものの性質（素因数が3と5しかないこと）によって決まっています。
オイラー関数で求める時に、式がφ(45) = 45 × (1 – 1/3) × (1 – 1/5)となるように、3と5を使うことになるからですね。さて、ここで 「46から90まで」 の数を見てみましょう。
この範囲の数は、前の「1から45まで」の数と、どんな関係があるかを考えてみます。例えば、
46 は、45 + 1
47 は、45 + 2
48 は、45 + 3
…
90 は、45 + 45
というように、「45に、1から45までの数を足した数」 になっていますね。では、この 「45 + (1から45までの数)」 という形になった数と、「45」が互いに素かどうかを考えてみましょう。
たとえば、
「45 + 1」＝46 と 45 は互いに素か？
45の約数は3と5。46は3でも5でも割り切れないので、46と45は互いに素です。（1から45までの「1」が互いに素だったのと同じですね！）
「45 + 2」＝47 と 45 は互いに素か？
47は3でも5でも割り切れません。なので、47と45は互いに素です。（1から45までの「2」が互いに素だったのと同じですね！）
「45 + 3」＝48 と 45 は互いに素か？
48は3で割り切れますね。（1から45までの「3」は45と互いに素ではありませんでした。）
なので、48と45は互いに素ではありません。
「45 + 5」＝50 と 45 は互いに素か？
50は5で割り切れますね。（1から45までの「5」は45と互いに素ではありませんでした。）
なので、50と45は互いに素ではありません。どうでしょうか？
「45 + (1から45までの数)」という形にしたときに、
「元の1から45までの数」が45と互いに素であったならば、その「45 + (その数)」という数も、必ず45と互いに素になる
ということがわかります。逆に、
「元の1から45までの数」が45と互いに素でなかった（つまり3か5で割り切れた）ならば、その「45 + (その数)」という数も、必ず45と互いに素ではなくなるのです。
（なぜなら、45+3 は、45も3で割り切れるし、3も3で割り切れるから、3という共通の約数を持ってしまいます。）つまり、「1から45までの数」で45と互いに素だった24個の数 が、そのまま 「46から90までの数」で45と互いに素な24個の数 に「対応」している、と言えることになります。
この、「ある数 N の倍数から次の N の倍数までの範囲で、N と互いに素な数の個数は一定になる」という性質使えば、計算が早くできるんですね。
だから、
「1から45まで」で24個
「46から90まで」（これは45 + 1 から 45 + 45 まで）でも、同じように24個
となるわけです。いかがでしょうか？？
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すごくわかりやすい説明ありがとうございました。オイラーって人すごい天才なんですね。オイラーって名前の付く難しい公式の多さにびっくりしました。盲人になっても論文を出し続けたとかちょっと信じられないです。
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ほんとうですね！！世の中にはすごい人がいるなぁと私もいつも感動します。
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テスト練習問題とまとめ的なものを投稿していただきありがとうございます。
図やイラスト的なものを添えて解説してもらったおかげですごく分かりました。
全教科の復習の仕方詳しく載せたりしてもらえないでしょうか……。
学力テストで意外な点数をとってしまい絶望しました。
お願いです！！！！！！