もっちゃんさん

中学校数学における「分数」の定義についてですね。

もっちゃんさんのまとめは、分数の概念を捉えようとする上でとてもよい着眼点を持っていると思います。
けれども、数学的な厳密さの点では少し修正・補足が必要です。

もっちゃんさんのまとめ：
「分数とは、２つの数a,bにおいてaをbで除する（割り算する）とき、その結果をa/b (bは0でない)の形で表すことをいう。ただしa,bはすべての種類の数が対象であり、数以外の文字式であっても良い。」

ここでのポイントと、より正確な表現を考えると・・・
「分数」という言葉の使われ方:
中学校の数学で「分数」という言葉が出てくる場合、多くは 「整数」を「整数」で割った（ただし割る数は0ではない）結果を指すことが多いです。
もっちゃんさんが「有理数の定義は整数/整数で表される数となっていて、有理数は分数とか分数の形で表されるという言い方は間違いとなっています」と言っているのは、まさにこの部分ではないかと思います。
「有理数」という概念を用いる場合、「分数」という言葉は「整数/整数」の形に限られることが多いです。

「a/b (bは0でない)の形で表すこと」という部分:
この「a/b」という 「形」 を指す場合、これは「有理数」の定義そのものととても近くなります。
そして、この「a」や「b」が「すべての種類の数が対象であり、数以外の文字式であっても良い」という部分が、少しぼんやりとしてしまいます。

より正確な定義に近づけるために修正するポイント:
中学校の数学で、特に「分数の定義」として説明する場合は、以下の点を明確にする必要があります。

「分数」という言葉の使われ方:
中学校で「分数」と単純に言う場合、それは「整数」を「整数」で割った（ただし割る数は0ではない）形を指すことが多いです。
例：「1/2」「3/4」「-5/3」など。

「有理数」との関係:
「有理数」は、「整数 a と 0 でない整数 b を用いて a/b の形で表せる数」と定義されます。
つまり、有理数であることは、「分数」の形（整数/整数）で表せることと同じ意味になります。

「a/b (bは0でない)の形で表すこと」を「分数」と呼ぶ場合:
もし、「a/b (bは0でない)の形で表されるもの」を大きな範囲で「分数」と呼ぶのであれば、それは「有理数」の定義そのものになります。
そして、「a」や「b」に「すべての種類の数が対象であり、数以外の文字式であっても良い」とすると、これは「有理数」の定義を超えて、「数式」や「代数式」の分野にも踏み込んでしまいます。

具体的に、中学校の範囲で「分数」の定義を考える場合:
中学校の教科書では、
「2つの整数a, b（ただしbは0でない）について、aをbで割った結果を a/b と書いたもの」
という説明が一般的です。
この「a/b」という表記そのものを「分数」と呼んでいます。
そして、この「a/b」の形にできる数を「有理数」と呼ぶ、という流れになります。

もっちゃんさんのまとめに対する、より正確な表現:
もし、中学校の範囲で「分数」という言葉の定義をまとめるとするならば、以下のような形が良いかもしれません。

【分数の定義について（中学数学の範囲）】
中学校で「分数」という言葉を使うとき、それは主に以下の2つの意味で使われます。
「整数 a」を「0ではない整数 b」で割った結果の「a/b」という「表記」や「形」そのものを指す場合。
例：「1/2」「-3/4」など。
上記「a/b」（ただしa, bは整数で、bは0ではない）という形で表される「数」のことです。
この「a/b」という形で表される数の集まりを、「有理数」と呼びます。

補足:
「a」や「b」に「数以外の文字式」が入る場合（例: (x+1)/2 や (a^2)/b など）は、「分数」というよりは「代数式」や「数式」として扱われます。これらも「分数のような形」をしてはいますが、中学数学で「分数の定義」として習うのは、主に整数同士の割り算の結果です。
「無理数」のように、「整数/整数」の形では表せない数もありますね（例えば √2 など）。これらの数は、分数の形では表せませんが、実数という大きな数の仲間には含まれます。
このように、中学数学では、「分数」という言葉は、基本的に「整数/整数」の形に限定して使われていて、それを「有理数」と呼ぶ、と理解するのが一般的だと思います。