もっちゃんさんの疑問は、

・円周角と中心角の関係（円周角は中心角の半分）の基本
・中心角が360度に近づくにつれて、円周角はどうなるのか？
・中心角がちょうど360度になってしまったときの円周角の扱い
・「179.999… = 180度」という無限の考え方との関連

という４つのポイントに整理できますね。一つずつ、分かりやすく説明していきます。

円周角と中心角の関係について（基本）
まず、もっちゃんさんの基本的な理解は正しいです。
中心角: 円の中心を頂点とし、円周上の2点を通る2本の線分（半径）が作る角です。
円周角: 円周上の1点を頂点とし、円周上の他の2点を通る2本の弦が作る角です。
関係: 同じ円弧に対する円周角の大きさは、その円弧に対する中心角の大きさの半分になります。
（中心角） = 2 × （円周角）

もっちゃんさんがおっしゃるように、円周をいくつかの円弧に分割して、それぞれの中心角を足すと360度になるのはその通りです。そして、それぞれの円弧に対する円周角も、中心角の半分なので、それらを足し合わせると必ず180度になります。これは、円周角の定理の基本的な性質ですね。

中心角が360度に近づくとき、円周角はどうなる？
ここからが、もっちゃんさんの核心的な疑問ですね。
円周をたくさんの小さな円弧に分割していくと、それぞれの中心角は小さくなります。
しかし、逆に 「円弧がどんどん大きくなって、中心角が360度に近づく」 という状況を考えてみましょう。
たとえば、円周を「2つの円弧」に分割するのではなく、「1つの円弧」だけを考えた場合を想像してみてください。
中心角が、例えば270度になったとします。
このとき、円周上の頂点A、B、Cがあるとします。中心O、弧ABに対する円周角は∠ACBです。
中心角が360度に近づくということは、円弧が円周全体に近づいていく、ということです。
もし、中心角が360度に近い角度（例えば359度）だったとしましょう。
このとき、円周角の頂点（仮にCとします）は、中心角を作る2つの半径の「すぐ近く」にあります。
中心角が360度に近いということは、円周角の頂点Cは、中心角を作る2つの半径の「始点」と「終点」がほぼ重なる、円周上の「ある一点」に非常に近づいている状態です。
中心角が360度に近づくにつれて、円周角も中心角の半分なので、180度に近づきます。
このときの円周角の頂点は、円周上のどこか一点に位置しますが、中心角が360度に近づくにつれて、その円周角の「両端」となる点（中心角を作る2つの半径が円周と交わる点）が、円周上の「一点」にどんどん近づいていくイメージです。

中心角がちょうど360度になってしまったとき、円周角はできない？
もっちゃんさんのご指摘は鋭いです。
中心角がちょうど360度になるということは、円周上の2点（中心角の始点と終点）が、円周上の「同じ一点」に重なってしまう ということになります。
この場合、円周角の定義を厳密に考えると、「円周上の2点を通る弦」 が必要ですが、2点が一点に重なってしまうと、弦は定義できなくなります。
また、中心角が360度ということは、円周角の頂点も、中心角を作る2つの半径の「始点」と「終点」が重なる円周上の「一点」に位置することになります。
そうなると、円周角の「頂点」と、円周角を作る「2つの弦の端」がすべて同じ点になってしまうため、「角」として意味をなさなくなります。

数学では、このような「極限の状態」や「定義が曖昧になる場合」は、「定義されない」 とする場合があります。

「179.999… = 180度」という無限の考え方との関連
ここでもっちゃんさんが「179.999…..=180度にするんだろうな」とおっしゃったのは、まさにこの「極限」という考え方とつながります。
数学では、ある値に限りなく近づくことを「極限」と言います。
中心角が360度に「限りなく近づく」とき、円周角は180度に「限りなく近づきます」。
この「限りなく近づく」という状態を考えると、数学的には180度とみなすことができるのです。
ただし、中心角が 「ちょうど360度」 になった瞬間に、円周角の定義から外れてしまうため、「179.999…度」のように「限りなく180度に近づく」という状態とは少し異なります。

「円周角はできない？」という疑問について、もう少し補足すると、
中心角が360度になった場合、円周角の頂点が一点に集まってしまうため、私たちがイメージする「角」としては定義されなくなります。
しかし、数学では、こうした「境界線」のような状態を考えるときに、「極限」という考え方を使って、その値に「限りなく近い」状態を考えることがあります。
円周角の定理を考える上では、「中心角が360度未満の範囲」で考えていることがほとんどです。
もし「中心角が360度」という状況をあえて考えるならば、それは「円周角」というよりは、線分が一点に重なった「退化（たいか）した状態」と考えることもできます。
もっちゃんさんが友達との会話で「179.999…..=180度にするんだろうな」という結論になったのは、「中心角が360度に近づく」という現象から、円周角が180度に近づくことの「極限」としての意味合いにたどりついたという点で、非常に鋭い考えだと思います。