もっちゃんさん
質問コメント、通知機能で拝見しました。
ただ、実は今「ゆみねこの教科書」のサーバーを切り替えするなどの作業により、コメントの承認や直接の返信ができない状況です。
なので、通知機能で確認した、もっちゃんさんの質問内容に対して、まずはこちらでお答えしますね。

もっちゃんさんの疑問は、

・「原始ピタゴラス数」の「3辺が互いに素」という定義の正確さ
・「互いに素」の定義が「ペアごとに互いに素」であるか、「集合として互いに素」であるか

という２点かと思います。
結論から言うと、もっちゃんさんの解釈は完全に正しいです。

原始ピタゴラス数と「3辺が互いに素」について

まず、「ピタゴラス数」とは、a² + b² = c² を満たす3つの自然数 (a, b, c) の組のことです。
例えば、(3, 4, 5) は 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² を満たすのでピタゴラス数です。
そして、「原始ピタゴラス数」とは、そのピタゴラス数の組 (a, b, c) において、a, b, c の3つが「互いに素」であるものを指します。

ここで、「a, b, cの3つが互いに素」という言葉が、もっちゃんさんが疑問に思われたように、少し曖昧さを含みます。前の質問でも触れた、「集合として」なのか、「ペアとして」なのかでうすね。

「集合として互いに素」: gcd(a, b, c) = 1
「ペアごとに互いに素」: gcd(a, b) = 1 かつ gcd(b, c) = 1 かつ gcd(c, a) = 1
※gcdとは、最大公約数を表す数学的記号です。

もっちゃんさんが一覧で確認された通り、原始ピタゴラス数では、「ペアごとに互いに素」 という条件が満たされています。

なぜ「ペアごとに互いに素」でなければならないのか？

もし、a, b, c のうち、例えば a と b が互いに素でない（つまり、a と b に1以外の公約数 p がある）と仮定してみましょう。

a = px, b = py （pは公約数、x, yは整数）と書けます。
このとき、a² + b² = c² という式に代入すると、
(px)² + (py)² = c²
p²x² + p²y² = c²
p²(x² + y²) = c²

この式から、c² は p² で割り切れることがわかります。
つまり、c も p で割り切れるはずです（もし c が p で割り切れなければ、c² も p で割り切れ
ません）。

これは、a, b, c の3つに公約数 p が存在すること を意味します。

しかし、原始ピタゴラス数は「a, b, c が互いに素」なものであると定義されています。

もし「ペアごとに互いに素」という条件を満たしているならば、gcd(a, b) = 1 であり、上記のような公約数 p が存在することはありません。

したがって、「原始ピタゴラス数」の定義における「3辺が互いに素」とは、「ペアごとに互いに素」、つまり gcd(a, b) = 1 かつ gcd(b, c) = 1 かつ gcd(c, a) = 1 であることを指す、というもっちゃんさんの解釈は、数学的に正しいです。

もっちゃんさんの確認したいことについて、それぞれ考えてみましょう。

「a,b,cを集合として最大公約数が１であるという意味ではなく、（a,b）、（b,c）、（c,a）の3つのペアがそれぞれ互いに素であることを言っているという解釈で間違いないか？」
→ 間違いないです。 原始ピタゴラス数の定義では、この「ペアごとに互いに素」が本質です。

「原始ピタゴラス数の一覧を見た感じでは、一つのペアが互いに素でないというものは見当たらない感じ」
→ その通りです。原始ピタゴラス数という性質を持っていれば、自動的にすべてのペアが互いに素になっているはずだからです。

コメントに直接返せず申し訳ないです。
サーバー切り替えが安定したら、もっちゃんさんのコメントもデータを移行して、表示されるようにしておきますね。

現在、サーバー切り替えによる関係で、ページの上部に見慣れない英文が表示されているかと思います。PDFダウンロードも上手く機能しない場合があります。
もっちゃんさんはもちろん、みなさんにご迷惑をおかけして申し訳ないです。できるだけ早くこれらを元の状態に戻しますので、ご安心ください。